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2024~2025 学年度高一下学期期中考试数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．如图， 斜二测画法的直观图是 ， 的面积为6，那么 的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面 ，且 ， ，则直线 ， 的关系为（ ）
A．不可能相交 B．一定异面
C．一定平行 D．相交、平行或异面都有可能
5．已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
6．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，则此三角
形（ ）
A．无解 B．有一解 C．解的个数不确定 D．有两解
7．如图，为了测量河对面 ， 两建筑物之间的距离，小胡同学在 处观测， ， 分别在 处的北
偏西 、北偏东 方向．再往正东方向行驶32米至 处，观测 在 处的正北方向， 在 处的北偏西 方向，则 ， 两建筑物之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
8．如图所示，在正方体 中， ， 分别为 ， 上的中点，且 ， 点
是正方形 内的动点，若 平面 ，则 点的轨迹长度为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数 满足 ， 是 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数 在复平面中对应的点在第三象限 B． 的虚部为
C． D．
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线 平面 ，则 与 内任何直线都平行
B．若直线 ， 不共面，则 ， 为异面直线
C．若直线 平面 ，平面 平面 ，则D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
11．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，角 的角平分线交 于点 ，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的面积为 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量 ， ，满足 ， ，且 ，则 ________．
13．将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与
圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为________．
14．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，
向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为
拿破仑三角形）的顶点”．在 中，已知 ，且 ，现以 ， ， 为
边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ， ， ，则 的面积的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知复数 ，且 为纯虚数．
（1）求复数 ；
（2）若复数 ，求复数 的模．
16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥 中，四边形 是平行四边形， ， 交于
点 ，点 是棱 上的一点，且 平面 ．（1）求证：点 是 的中点；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请加以证明，并写出 的值；
若不存在，请说明理由．
17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系 中， ， ， ．
（1）若 ，求实数 ， 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
18．（本小题满分17分）如图，在 中，点 满足 ， 是线段 的中点，过点 的直
线与边 ， 分别交于点 ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 的最小值．
19．（本小题满分17分）在 中，设角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
，且三角形的外接圆半径为 ．
（1）求 的大小；（2）若 的面积为 ，求 的值；
（3）设 的外接圆圆心为 ，且满足 ，求 的值．参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A A B D D A
题号 9 10 11
答案 AC ACD AC
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由题意， ，则 ，故选B．
2．【答案】D
【解析】 ， ，∵ ，∴ ，即
，∴ ．故选D．
3．【答案】A
【解析】由 ，则 ，如图，作出还原后 ，
则 ，故 ，所以 ．故选A．
4．【答案】A
【解析】由平面 ，且 ， 可知直线 ， 没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平
行或异面．故选A．
5．【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，则 ，且 ，解得 或 ，所以
圆锥的侧面积为 或 ，故选B．6．【答案】D
【解析】由正弦定理 ，得 ，解得 ．因为 ，所以 ．又因
为 ，所以 或 ，故此三角形有两解．故选D．
7．【答案】D
【解析】由题意知 ， ， ，所以 ，在 中，由正弦
定理，得 ，解得 ，又 ， ，所以 ，
，又 ，在 中，由余弦定理，得
，解得 ，所以 ， 两建筑
物之间的距离为 米．故选D．
8．【答案】A
【解析】如图所示，作 交 于点 ，作 交 于点 ，连接 ，∵
， ， ，∴平面 平面 ，又∵ 点是正方形
内的动点，∴点 在线段 上，即轨迹 ．故选A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC
【解析】 ， 在复平面中对应的点在第三象限，故A正确；
的虚部为5，故B错误；
，故C正确；
虚数不能比较大小．故D错误，故选AC．
10．【答案】ACD
11．【答案】AC
【解析】由余弦定理得 ，即 ，所以 ，又 ，所以
， ，解得 ．
在 中， ，故A正确；
在 中， ，解得 ．故B错误；
，故C正确；
，解得 ，故D错误，故选AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】
【解析】依题意， ，而 ， ．且 ，
则 ，所以 ．
13．【答案】
【解析】设铁球的半径为 ，则圆柱的高为 ，所以铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为．
14．【答案】
【解析】设 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．
由题设得， ，
∴ ， ，故 ．
在 中，由余弦定理可得， ，
即 ，
又 ．∴ ，
即 （等号当 时成立），
故 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得 ，2分
∵ 是纯虚数，
∴ ， ，4分
∴ ，
∴ ；6分（2） ，9分
∴ ，∴ ，11分
∴ ．13分
16．【答案】（1）详见解析 （2）存在点 ，使得平面 平面 ，此时 ，证明见解
析
【解析】（1）因为四边形 是平行四边形，则点 是 的中点，因为 平面 ，平面
平面 ， 平面 ，所以 ，4分
所以 ，所以点 是 的中点；7分
（2）存在点 ，使得平面 平面 ，此时 ，9分
因为点 是 的中点，所以 ，所以 ，又四边形 是平行四边形，所以
，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．11分
在 中，点 是 的中点， ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，13分
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ．15分
17．【答案】（1） ， （2）1
【解析】（1）由 ，有 ，2分
有 4分解得
故 ， ；7分
（2）由 ，9分
，11分
又由 ，有 ，解得 ，
故 ．15分
18．【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，
所以 ．2分
因为 是线段 的中点，所以 ，4分
设 ．则有 ，5分
因为 ， ， 三点共线，所以 ，6分
解得 ，即 ，所以 ，所以 ；8分
（2）因为 ，同理可得 ，
由（1）可知， ，所以 ，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，即 ，12分所以 ，14分
当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 的最小值为 ．17分
19．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）在 中， ，
由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
整理得 ，3分
在 中， ，则 ，
又因为 ，所以 ；5分
（2） ，得 ．
由正弦定理 ，得 ，所以 ．
则 ．
由余弦定理得 ，所以 ，
所以 的值为 ；10分
（3） ，
，所以 ，所以 ，
又 ，同理， ，
所以 ，14分
由正弦定理 ，得 ， ，
代入化简得 ，
所以 ．17分
