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株洲市二中教育集团 2024 年上学期高一期末联考
数学试题（答案）
命题人：马应鹏、何小燕 审题人：刘意云 时量：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．集合M={x|−3≤x≤2}，N={x|lnx≤1}，则M∩N=（ ）
A．(0,2] B．[−3,e] C．(−∞,−3] D．(0,e]
2．已知复数z满足(1−i)z=|√3+i|，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量⃗a，⃗b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则|⃗a+2⃗b|=（
）
A．2 B．2√2 C．4 D．8
4．若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）
4√3 8√3
A． π B．4√3π C． π D．8√3π
3 3
5．已知正方体ABCD−A B C D ，平面AB C与平面DD C C的交线为l，则（ ）
1 1 1 1 1 1 1
A．l//A D B．l//B D C．l//C D D．l//D C
1 1 1 1
π 1 π
6．已知cos(α+ )= ，则sin(α− )+sin2α=（ ）
4 6 4
7 10 2 4
A． B． C．− D．−
9 9 9 9
7．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B=“n次中至多有
一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
3
A．当n=2时，P(A+B)= B．当n=2时，事件A与事件B不独立
4
3
C．当n=3时，P(AB)= D．当n=3时，事件A与事件B不独立
8
8．已知函数f(x)的定义域为R，且f(1+x)+f(1−x)=f(x)，f(0)=2，则f(2022)+f(2024)=（
）
A．−1 B．0 C．1 D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1；
B．数据36，28，22，24，22，78的第80百分位数为36；
1
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 ；
51
D．若样本数据x ,x ,⋯,x 的平均数为2，则3x +2,3x +2,⋯,3x +2的平均数为8.
1 2 n 1 2 n
第 1 页
学科网（北京）股份有限公司10．氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量N随时间t（单位：
t
年）的衰变规律满足关系式 N=N ⋅2 − 12.43，其中N 0 表示氚原有的质量，则（ ）（参考数据：
0
lg2≈0.301）
A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为12.43年；
B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失；
1
C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 ；
32
D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N ，则x>17.
0
11．已知正四棱锥O−ABCD的底面边长为√6，侧棱长为2√3，则（ ）
A．OC与平面ABCD所成的角为60❑∘；
B．若点P为正四棱锥O−ABCD外接球的球心，则四棱锥P−ABCD的体积为4；
C．若点M在底面内（包含边界）运动，N为OD中点，则当MN//平面OBC时，点M的轨迹长度为√6
；
D．若以点O为球心，√3为半径的球O的球面与正四棱锥O−ABCD的棱OA，OB，OC，OD分别交于点
21
E，F，G，H，则多面体ABCD−EFGH的体积为 .
4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
{4x−2,x<1 3
12．已知函数f(x)= 则f(f( ))=______.
3❑ x,x≥1 4
π 1
13．已知平行四边形ABCD中，|⃗AB|=5，|⃗AD|=4，∠A= .若点M满足⃗AM= ⃗MB，点N为AB中
3 4
点，则⃗DM⋅⃗DN=____________________.
14．在△ABC中，AB=3AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC.
（1）k的取值范围为____________________________________.
3
（2）若S = ，当BC最小时，k的值为
△ABC 2
____________________________________________________________________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量
⃗m=(√3cosA,sin A)，⃗n=(5,5)，且⃗m//⃗n.
（1）求角A的大小；
（2）若a=3√7，3sinB=2sinC，求△ABC的面积.
16．（本题满分15分）某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩
（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
第 2 页
学科网（北京）股份有限公司（1）求图中a的值；
（2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[50,60)和[60,70)内的学生中共抽取6人查看他们的答题情
况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[50,60)内的概率；
（3）已知落在[80,90)的平均成绩x=84，方差s ❑ 2=6，落在[90,100]的平均成绩y=98，方差
1
s ❑ 2=12，求落在[80,100]的平均成绩z，并估计落在[80,100]的成绩的方差s2 .
2
1
17．（本题满分15分）如图，在三棱柱ABC−A B C 中，AB⊥AC， A A =AB=AC=2，A 在底
1 1 1 2 1 1
面ABC的射影为BC的中点，D为B C 的中点.
1 1
（1）证明：A D⊥平面A BC；
1 1
（2）求二面角A −BD−B 的正弦值.
1 1
18．（本题满分17分）我校南门有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划
有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安
李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁
边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度AM=d（米），停车位相对道路倾斜的
π π
角度∠E❑ ′ A❑ ′M=θ，其中θ∈( , ).
6 3
3
（1）若cosθ= ，求EE❑ ′和E❑ ′M的长；
5
第 3 页
学科网（北京）股份有限公司（2）求d关于θ的函数表达式d(θ)；
（3）若d=3，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
19．（本题满分17分）已知Q:a ,a ,⋯,a 为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的
1 2 k
n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在a ,a ,a ,⋯,a ( j≥0)，使得a +a +a +⋯+a =n，则称Q为
i i+1 i+2 i+j i i+1 i+2 i+j
m−连续可表数列.
（1）判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；
（2）若Q:a ,a ,⋯,a 为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；
1 2 k
（3）若Q:a ,a ,⋯,a 为20-连续可表数列，且a +a +⋯+a <20，求证：k≥7.
1 2 k 1 2 k
【参考答案】
株洲市二中教育集团 2024 年上学期高一期末联考
数学试题（答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．A
2．D
3．B
4．C
5．C
6．A
π π 1
【详解】令α+ =t，则α=t− ，cost= ，
4 4 6
π π π
所以sin(α− )+sin2α=sin(t− )+sin(2t− )
4 2 2
=−cost−cos2t=−cost+1−2cos2t
1 1 7
=− +1− = 故选：A.
6 18 9
7．D
1 1 1 1 1 1
【详解】当n=2时，AB表示一正一反，故P(AB)=2⋅ ⋅ = ，P(A)=2⋅ ⋅ = ，
2 2 2 2 2 2
1 1 3 1 3
P(B)=1−P(B)=1− ⋅ = ，P(AB)= ≠ =P(A)P(B)，故B正确；
2 2 4 2 8
1 3 1 3
此时P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)= + − = ，故A正确；
2 4 2 4
1 1 1 3
当n=3时，P(AB)=3⋅ ⋅ ⋅ = ，故C正确；
2 2 2 8
1 1 1 1 1 1 3
此时P(A)=1−P(A)=1− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ，
2 2 2 2 2 2 4
1 1 1 1 1 1 1 3 3 1
P(B)= ⋅ ⋅ +3⋅ ⋅ ⋅ = ，所以P(AB)= = ⋅ =P(A)P(B)，则事件A与事件B独立，故
2 2 2 2 2 2 2 8 4 2
D错误.故选：D.
8．C
【详解】令x=0，则2f(1)=f(0)=2，则f(1)=1
再令x=1，则f(2)+f(0)=f(1)，则f(2)=−1
因为f(1+x)+f(1−x)=f(x)，则f(1−x)+f(1+x)=f(−x)，则f(x)=f(−x)，
第 4 页
学科网（北京）股份有限公司所以f(x)为偶函数，用x+1替换x，则f(2+x)+f(x)=f(x+1)，则f(2+x)=−f(1−x)，所以f(x)关
3 3
于点( ,0)中心对称，则f( )=0，f(x)为周期函数且周期为6
2 2
所以f(2022)=f(0)=2，f(2024)=f(2)=−1，则f(2022)+f(2024)=−1+2=1，故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．ABD
10．AC
12.43
− 1
【详解】当t=12.43时，N=N ⋅2 12.43= N ，此时样本中氚的质量衰变了一半，故A正确，
0 2 0
24.86
− 1
当t=24.86时，N=N ⋅2 12.43=2−2 ⋅N = N ，故B错误，而当t=62.15时，
0 0 4 0
− 62.15 1 1
N=N ⋅2 12.43=2−5 ⋅N = N ，得到经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 ，故C正确，
0 0 32 0 32
x 0.4N 2
由题意得 0.4N =N ⋅2 − 12.43，化简得x=−12.43log 2 N 0=−12.43log 25 ，
0 0
0
lg5 1−lg2
=−12.43(log 2−log 5)=−12.43(1−log 5)=−12.43(1− )=−12.43(1− )，
2 2 2 lg2 lg2
1−0.301
将lg2≈0.301代入其中，可得x≈−12.43(1− )=16.43>16，故D错误.故选：AC
0.301
11．ACD
【详解】如图所示，AB=BC=CD=AD=√6，连接AC，BD交于点O ，则CO =√3，
1 1
OO =√OC❑ 2−CO ❑ 2=3
1 1
OO
对于A，tan∠OCO = 1=√3，故所成角为60❑∘，A正确；对于B，连接OO ，则OO ⊥平面
1 CO 1 1
1
ABCD，OO =3，点P在OO 上，
1 1
因为CO ⊂平面ABCD，所以CO ⊥OO ，设正四棱锥O−ABCD外接球的半径为R，
1 1 1
在Rt△PCO 中，PC❑ 2=CO ❑ 2+PO ❑ 2 ，即R❑ 2=3+(3−R)❑ 2，解得R=2，
1 1 1
1
所以PO =3−2=1，则V = ×6×1=2，故B错误；
1 P−ABCD 3
对于C，取CD，AB的中点K，J，连接KN，JN，JK，则KN//OC，
因为四边形ABCD为正方形，所以AB=CD，AB//CD，
又CD，AB的中点为K，J，所以BJ=CK，
所以四边形BCKJ为平行四边形，则JK//BC，JK=BC=√6，
因为KN⊄平面OBC，OC⊂平面OBC，
所以KN//平面OBC，同理可得JK//平面OBC，
又KN，JK⊂平面JKN，且KN∩JK=K，
第 5 页
学科网（北京）股份有限公司所以平面JKN//平面OBC，
因为N∈平面JKN，且MN//平面OBC，
所以M∈平面JKN，又M∈平面ABCD，平面JKN∩平面ABCD=JK，
所以M∈JK，即点M的轨迹为JK，所以点M的轨迹长度为√6，故C正确；
对于D，以点O为球心，√3为半径的球O的球面与正四棱锥O−ABCD的棱OA，OB，OC，OD分别交
于点E，F，G，H，则OG=OH=OE=OF=√3，
所以GH//CD，HE//AD，EF//AB，GF//BC，则四边形EFGH为正方形，
OC2+OD2−CD2 3
在△COD中，cos∠COD= =
2OC⋅OD 4
OG2+OH2−GH2 3 √6
在△GOH中，cos∠GOH= = ，得GH= ，
2OG⋅OH 4 2
√6
所以GH=HE=EF=FG= ，且多面体ABCD−EFGH是一个正四棱台且正四棱台ABCD−EFGH的
2
1 3 3
高ℎ = OO = ，上底面面积S❑ ′= ，下底面面积S=6，
2 1 2 2
1 1 3 √ 3 3 21
且正四棱台ABCD−EFGH的体积V = ℎ(S❑ ′+√S❑ ′S+S)= × ×(6+ 6× + )= 故D正
3 3 2 2 2 4
确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．3
23
13．
2
1
【详解】由题意可得：⃗AB⋅⃗AD=5×4× =10
2
1
⃗DM=⃗AM−⃗AD= ⃗AB−⃗AD
5
1
⃗DN=⃗AN−⃗AD= ⃗AB−⃗AD
2
1 1 1 7 1 7 23
∴⃗DM⋅⃗DN=( ⃗AB−⃗AD)( ⃗AB−⃗AD)= ⃗AB2− ⃗AB⋅⃗AD+⃗AD2= ×25− ×10+16= .
5 2 10 10 10 10 2
第 6 页
学科网（北京）股份有限公司23
故答案为： .
2
3
14．（1） (0, )
2
【详解】设∠BAD=∠CAD=α，AC=b，AB=c=3b，AD=kb，
BD AB BD❑ 2
由角平分线定理， = =3， =9，
CD AC CD❑ 2
由余弦定理，BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcosα=9b2+k2b2−6kb2cosα，
CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcosα=b2+k2b2−2kb2cosα
所以9b2+k2b2−6kb2cosα=9(b2+k2b2−2kb2cosα)，
3 π 3 3
化简得k= cosα，因为α∈(0, )，故k= cosα∈(0, )；
2 2 2 2
3√5
（2） （本题第一空2分，第二空3分）
5
1 3 3 1
【解析】由题意，S = AB⋅ACsin2α= b2sin2α= ，因此b2= ，由余弦定理，
△ABC 2 2 2 sin2α
BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos2α=10b2−6b2cos2α，
10−6cos2α 4cos2α+16sin2α 2
故BC2= = = +8tanα≥8，
sin2α 2sinαcosα tanα
2 1
当且仅当 =8tanα时等号成立，此时tanα= .显然α为锐角，
tanα 2
1 1
由tanα= ⇒sinα= cosα代入sin2α+cos2α=1中，得
2 2
2√5 3 3√5
cosα= ，负值舍去，由（1）知，此时k= cosα= .
5 2 5
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
√3cosA sin A
15．（1） 【详解】由⃗m//⃗n可得， = ，所以tan A=√3，…………4分
5 5
π
而A∈(0,π)，所以A= .…………5分
3
（2） 由3sinB=2sinC得3b=2c，…………7分
9 3
由余弦定理知a2=b2+c2−2bccosA=63，即63=b❑ 2+ b❑ 2− b❑ 2 ，解得b❑ 2=36，…………10分
4 2
1 1 √3 27√3
所以b=6，c=9，故△ABC的面积为S= bcsin A= ×6×9× = .…………13分
2 2 2 2
16．（1） 0.03
【详解】(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)×10=1，解得a=0.03；…………3分
8
（2）
15
第 7 页
学科网（北京）股份有限公司【解析】由原始分在[50,60)和[60,70)中的频率之比为0.01:0.02=1:2，
故抽取的6人中，原始分在[50,60)中的有2人，在[70,80)中的有4人.…………5分
2×4 8
P= =
则从6人中抽取2人，恰有一人原始成绩在[50,60)内的概率 1 15；…………9分
×6×5
2
334
（3） /47.7
7
25x+10 y 25×84+10×99
【解析】z= = =88，…………11分
35 35
25(s2+x2 )+10(s2+ y2 ) 25(6+842 )+10(12+982 ) 334
s2= 1 2 −z2= −882= ≈47.7…………15分（另一个
35 35 7
方差公式也对。没写方差公式，直接得到答案的，扣2分。）
17．（1） 详见解析；
【详解】设E为BC的中点，由题意得A E⊥平面ABC，∴A E⊥AE，
1 1
∵AB=AC，∴AE⊥BC，故AE⊥平面A BC，…………3分
1
由D，E分别为B C ，BC的中点，得DE//B B且DE=B B，从而DE//A A，
1 1 1 1 1
∴四边形A AED为平行四边形，…………5分
1
故A D//AE，又∵AE⊥平面A BC，∴A D⊥平面A BC；…………7分
1 1 1 1
3√7
（2） .
8
【解析】作A F⊥BD，且A F∩BD=F，连结B F，
1 1 1
由AE=EB=√2，∠A EA=∠A EB=90❑∘，得A B=A A=4，由A D=B D，A B=B B，得
1 1 1 1 1 1 1 1
△A DB≅△B DB，由A F⊥BD，得B F⊥BD，
1 1 1 1
因此∠A FB 为二面角A −BD−B 的平面角，…………11分
1 1 1 1
由A D=√2，A B=4，∠D A B=90❑∘，得BD=3√2，
1 1 1
4 1
A F=B F= ，由余弦定理得，cos∠A FB =− …………14分
1 1 3 1 1 8
3√7
所以sin∠A FB = …………15分
1 1 8
18．（1） EE❑ ′=3，ME❑ ′=2
【详解】注意到∠E❑ ′ A❑ ′M+∠A❑ ′E❑ ′M=90❑∘，又∠A❑ ′E❑ ′F❑ ′=90❑∘，
则∠A′E′M+∠AE′E=90∘⇒∠M A′E′=∠AE′F′=θ.
3
则EE′=E❑ ′F′cosθ=5× =3，…………2分
5
第 8 页
学科网（北京）股份有限公司π π 4 5 4
又θ∈( , )，则sinθ= ，ME❑ ′=A❑ ′E❑ ′sinθ= × =2；…………4分
6 3 5 2 5
5 5 π π
（2） d(θ)=5cosθ+ sinθ− ，θ∈( , )
2 2 6 3
【解析】由图，d=AM=E❑ ′E−AE+ME❑ ′，
5 5 5 π π
又由（1），则d=AM=5cosθ+ sinθ−2.5，即d(θ)=5cosθ+ sinθ− ，θ∈( , )；…………9
2 2 2 6 3
分（没写定义域扣1分）
（3） 59个
5 5
【解析】由（2），3=5cosθ+ sinθ− ⇒10cosθ+5sinθ=11.
2 2
11−10cosθ 11−10cosθ
则sinθ= ，则sin2θ+cos2θ=( ) 2+cos2θ=1，
5 5
4 24
化简得：125cos2θ−220cosθ+96=0，解得cosθ= 或cosθ=
.
5 25
π π 1 √3 4 3
因θ∈( , )，则
