250609_101942-菁英班强化高数第四章解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_强化_高数

第四章 常微分方程 4-1综合测试 1.【答案】D 【解析】由于（D）中的 y  C 1 y 1  C 2 y 2  ( 1  C 1  C 2 ) y 3  C 1 ( y 1  y 3 )  C 2 ( y 2  y 3 )  y 3 其中 y 1  y 3 和 y 2  y 3 是对应的齐次方程的两个解，且 y 1  y 3 与 y 2  y 3 线性无关. （此处作一简单说明：令 A ( y 1  y 3 )  B ( y 2  y 3 )  0 ，即 A y 1  B y 2  ( A  B ) y 3  0 ，由 于 y 1 ， y 2 ， y 3 线性无关，则 A  0 ， B  0 ，  ( A  B )  0 . 因此 y 1  y 3 与 y 2  y 3 线性 无关） 又 y 是原方程的一个特解，故 3 y  C 1 y 1  C 2 y 2  ( 1  C 1  C 2 ) y 3 是原方程通解，应选 （D）. 2.【答案】 3    ， 2   ， 1    ，通解为 y  C 1 e x  C 2 e 2 x  x e x ， C 1 , C 2 为任意常 数. 【解析】由题设特解知原方程的特征根为 1 和 2 ，所以特征方程为 ( r  1 ) ( r  2 )  0 ，即 r 2  3 r  2  0 ，于是 3    ， 2   . 为确定，只需将y  xex代入方程，得 1 ( x 2 ) e x 3 ( x 1 ) e x + 2 x e x e x      ，求得 1 .    从而原方程的通解为 y  C 1 e x  C 2 e 2 x  x e x ，其中 C 1 , C 2 为任意常数. 3.【答案】 y   y   2 y  e x  2 x e x 【解析】由题设知， e 2 x 与ex是相应齐次方程两个线性无关的解，且 x e x 是非齐次方程的 一个特解，故此方程是 y y2y  f(x).将 y  x e x 代入上式，得 f(x)(xex)(xex)2xex 2ex xex ex xex 2xex ex 2xex 因此所求方程为yy2yex 2xex. 4.【答案】 y   2 y   2 y  0 【解析】由通解形式可看出所对应的特征根为 r1 ,2  1  i ，从而特征方程为 [r(1i)][r(1i)]r2 2r20 于是所求方程为 y   2 y   2 y  0 . 5.【答案】A 【解析】由 y  l n x x 得 y   l n l n x 2  x 1 ，代入微分方程得 l n l n x 2 x 1 l 1 n x x y       ， 则 x y l n 1 2 x l n x x 2 2 2 x y x 2 2          . 6.【答案】B 【解析】由线性微分方程的性质知，C[y (x)y (x)]是该微分方程对应的齐次方程的 1 2 解，且含有一个任意常数，故 C [ y 1 ( x )  y 2 ( x ) ] 是齐次方程的通解，而 y 1 ( x ) 是原方程的 一个特解，由线性微分方程解的性质知（B）正确. 7.【答案】(1t2)[ln(1t2)1] dx 【解析】由 2tex 0，得exdx 2tdt，积分并由条件 dt x t 0  0 ，得 e x  1  t 2 ，即xln(1t2).dy dy dt ln(1t2)2t   (1t2)ln(1t2)， dx dx 2t dt 1t2 d d 2 x y 2   d d ( 1 x   t d d 2 y x ) [  l n  ( 1 d d  t [ ( 1 2 t )   2 t ) d d 1 ] l x t n ( 1  t 2 ) ]  2 t l n ( 1 1  2  t t t 2 2 )  2 t 8.【答案】（1） y ( x )  e  a x  x 0 f ( t ) e a td t ；（2）证明略 【解析】（1）原方程的通解为 y ( x )   e e    a a d x [ x F   ( x f ) (  x C ) e ]  a d x d x  C   e  a x   f ( x ) e a x d x  C  其中 F ( x ) 是 f ( x ) e a x 的任一原函数. 由 y ( 0 )  0 ，得 C   F ( 0 ) ，故 y ( x )  e  a x [ F ( x )  F ( 0 ) ]  e  a x  x 0 f ( t ) e a td t （2） y ( x )  e  a x  x 0 f ( t ) e a td t  k e  a x  x 0 e a td t  k a e  a x ( e a x  1 )  k a (1  e  a x ) ， x  0 . 9.【答案】 y ( x )   e ( 2 1 x   e 1  , 2 ) e 2 x , x x   1 1 , . 【解析】当 x  1 时，有y2y 2，其通解为 ye 2dx 2e 2dx dxC  e2x  2e2xdxC  Ce2x 1  1 1 1 由 y(0)0，得C 1，所以ye2x 1(x1). 1 当x1时，有y2y 0，其通解为 y  C 2 e  2 d x  C 2 e 2 x ( x  1 ) . 由limC e2x  lim(e2x 1)e2 1，得C e2 e2 1，即C 1e2. x1 2 x1 2 2 所以y(1e2)e2x(x1).于是，若补充定义函数值y e2 1，则所求的在 x1 (   ,   ) 上的连续函数为 y ( x )   e ( 2 1 x   e 1  , 2 ) e 2 x , x x   1 1 , . 显然， y ( x ) 满足题中所要求的全部条件. 10.【答案】 y  2 3 x 32  1 3 【解析】令y p，则y p，原方程化为 p ( x  p 2 )  p . 两边同时除以 p p ，得 x p  p  1 p  ，将 p   d d p x dx x 带入上式，得   p，此为一 dp p 阶线性微分方程，故 x  e  1p d p   p e   1p d p d p  C   p ( p  C ) . 带入初始条件y(1)1，即 p(1)1，则 C  0 ，于是 p 2  x ，故 p  x ，即 d d y x  x . 解得 y  2 3 x 32  C 1 ，代入初始条件 y ( 1 )  1 1 ，可得C  ，故所求的特解为 1 3 y  2 3 x 32  1 3 . 11.【答案】 y  C 1  e  3 x ( C 2 c o s a x  C 3 s i n a x )  9  x a 2 ，其中 C 1 ， C 2 ， C 3 为任意常 数. 【解析】特征方程r36r2 (9a2)r 0的三个根为r 0， 1 r 2 ,3   3  a i . 对应齐次方程的通解为yC e3x(C cosaxC sinax) 1 2 3 设原方程的特解为 y *  A x 1 ，代入原方程，得A . 因此，原方程通解为 9a2 x y C e3x(C cosaxC sinax) ，其中 1 2 3 9a2 C 1 ，C ，C 为任意常数． 2 312.【答案】 y   (  C C 1 1   C C x 2 x 2 ) e   2 1 2 x  x 2 (  a e 1   2 2 x 2 ) , e a x , a a     2 2 , . 【解析】特征方程为 r 2  4 r  4  0 ，特征根为r 2，对应齐次方程的通解为 1,2 y  ( C 1  C 2 x ) e  2 x 当a2时，设非齐次方程的特解为 y   A e a x ，代入原方程，得 A  ( a 1  2 ) 2 1 ，y  eax； (a2)2 当 a   2 时，设非齐次方程的特解为 y   A 1 x 2 e  2 x ，代入原方程，得 A 1  1 2 ， y   1 2 x 2 e  2 x ，故通解为 y   (  C C 1 1   C C x 2 x 2 ) e   2 1 2 x  x 2 (  a e 1   2 2 x 2 ) , e a x , a a     2 2 , . 其中 C 1 ， C 2 为任意常数. 13.【答案】D 【解析】令 P  ( x x   a y y ) 2 ， Q  ( x  y y ) 2 . 由于 P d x  Q d y 为某个函数的全微分，则 P Q  ，即 y x ( a  2 ) x  a y   2 y  ( a  2 ) x  ( a  2 ) y . 所以仅当 a  2 时，上式恒成 立. 14.【答案】 y  C x 1  C x 22 ，C ， 1 C 2 为任意常数 【解析】本题是欧拉微分方程求解问题，主要考查欧拉方程的解法及简单的求导和积分运 算. 其求解过程如下： d 令xet，记D  ，则原方程变为 dtD(D1)y4Dy2y 0， 即 d d 2 t y 2  3 d d y t  2 y  0 . 此方程的特征根是1，2，其通解是 y  C 1 e  t  C 2 e  2 t . 所以 原方程的通解是 y  C x 1  C x 22 ，其中 C 1 ， C 2 为任意常数.4-1拓展提升 1.【答案】 y   4 y  s i n 2 x 【解析】由二阶线性微分方程解的叠加原理可知， y 1  y 2  c o s 2 x  s i n 2 x 是该方程对应 的齐次方程（记为（*））的一个解，于是 c o s 2 x  ( c o s 2 x  s i n 2 x )  s i n 2 x 也是方程 （*）的解，即（*）有两个线性无关的解 c o s 2 x 和 s i n 2 x ，由此可见方程的特征根为 2i，特征方程为2 40，从而知原方程为 y   4 y  f ( x ) ；又注意到  1 4 x c o s 2 x 是这个方程的一个解，从而 f ( x )    1 4 x c o s 2 x    4   1 4 x c o s 2 x   s i n 2 x ，因此该 方程为 y   4 y  s i n 2 x . 11  2.【答案】ey   x3C ，其中 x3  C 为任意常数 1 1 【解析】由yxey  0得eyyx ey 0，即 x x d ( d e x y )  1 x e y  x ，令 z  e y ，则 dz 1  z  x，这是 dx x z 关于 x 的一阶线性微分方程，解得 z  e   1x d x   x e  1x d x d x  C   1 x  1 3 x 3  C  11  ，所以原方程的通解为ey   x3C ，其 x3  中 C 为任意常数.  1  3.【答案】x y21Cey ，其中     C 为任意常数. dx  1 2 【解析】当y 0时方程可改写为     x1，这是以 dy  y2 y y 为自变量，x为未知函 数的一阶线性微分方程，由求解公式可知x   e y     2 e 1  2 y 1  y  2y  d y  1 2 y   e  e 1y  d  1   2 y  y  2y C d y   d y   y C 2 e  1y   e e  1y 1y  2  ln C y     e  y 1y 2   2 ln y 1  d C y e  1y C   其中 C 为任意常数. 1 tan y 4.【答案】 arctan  xC，其中 2 2 C 为任意常数. 【解析】因为 t a n 2 y  s e c 2 y  1 ，所以 y  s e c 2 y  s e c 2 y  1  0 可化为 (tany)tan2 y20，令 t a n y  u ，则 d d u x  u 2  2 ，这是可分离变量的方程，化简 为 u d 2 u  2  d x ，积分得 1 2 a r c t a n u 2  x  C ，即 1 2 a r c t a n t a n 2 y  x  C ，其中C为 任意常数. 5.【答案】xy2(x y)3 【解析】这是齐次微分方程，令 y  x u ，则 y   u  x u  代入可得 dy du x2(2uu2)  x u  ，即 dx dx x2(12u) x d d u x  u  2 1 u   2 u u 2 整理得 x d d u x  u 1   u 2 2 u ，分离变量得 ( 1 u  ( 1 2 u  ) u d ) u  d x x ，两边积分得  (1 u  (1 2 u  ) u d ) u    1 u  1 3  u  d u   d x x 即 u ln u 3ln1u ln Cx ，整理得 Cx，即xyC(x y)3；把 (1u)3 x  1 ， y(1)2代入可确定常数 C  2 ，从而所求特解为 x y  2 ( x  y ) 3 . 6.【答案】A 【解析】因方程不显含自变量x，可令 p  y  并以 y 为自变量，于是 d dy d dp dy dp dp y    (p)  p ，代入原方程得2yp 1 p2 ，分离变量得 dxdx dx dy dx dy dy2pdp dy  ，积分得 1 p2 y 1  p 2  C y ，利用 y  1 时 p   1 可确定常数 C  2 ，因而有 p 2  2 y  1 ，即 p   2 y  1 （因为已知y(1)1），从而得方程 d d y x   2 y  1 ，用 分离变量法可得 2 y  1   x  C 1 ，利用初值 y ( 1 )  1 可确定常数 C 1  2 ，故所求特解为 2y12x，即 y  1 2 ( x 2  4 x  5 ) ，选（A）. 7.【答案】B 【解析】这是伯努利方程，方程两边同乘 y 得到 y d d y x  x y 2  1 2 x e  x 2 ，令 z  y 2 ，则 z2yy即 y y   z 2  ，代入上述方程得 z 2   x z  1 2 x e  x 2 ，整理得 z   2 x z  x e  x 2 ，此为 z关于x的一阶线性微分方程，由公式得 z e 2xdx  xex2 e 2xdx dxC  ex2 xex2 ex2 dxC       1  ex2 xdxC ex2 x2 C     2  1  即 y2 ex2  x2 C ，由于 2  y ( 0 )  1 ，可得 C  1 1  x2 ，故特解为y x2 1e 2 . 2 8.【答案】D 【解析】方法一：令P(x,y) y2 1， Q ( x , y )  2 x y  c o s y ，由   P y  2 y    Q x 可知该 方程为全微分方程，归结为求u(x,y)使得du  PdxQdy. 原方程改写为(y2 1)dxxd(y2 1)dsiny0即d((y2 1)xsiny)0，因此通解 为(y2 1)xsinyC，故答案选（D）. P Q 方法二：令P(x,y) y2 1，Q(x,y)2xycosy，由 2y 可知该方程为全 y x微分方程，归结为求 u ( x , y ) 使得du  PdxQdy. u 由  P(x,y) y2 1， x   u y  Q ( x , y )  2 x y  c o s y ，将   u x 对 x 积分得 u(y2 1)xC(y)，再对 y 求偏导得   u y  2 x y  C ( y )  2 x y  c o s y ，故 C(y)cosy，积分得 C ( y )   s i n y  C ，故u(x,y)(y2 1)xsinyC，通解为 (y2 1)xsinyC，选（D）. 方法三：令P(x,y) y2 1， Q ( x , y )  2 x y  c o s y ，由   P y  2 y    Q x 可知该方程为全 微分方程，归结为求 u ( x , y ) 使得du  PdxQdy. 取特殊路径如下图折线路径 (x,y) x y u(x,y) PdxQdy  P(x,0)dx Q(x,y)dy (0,0) 0 0 x y  (1)dx (2xycosy)dy 0 0 xxy2 sin y  x(y2 1)sin y 通解为 ( y 2  1 ) x  s i n y  C ，选（D）. 9.【答案】D d2y dy 【解析】对于欧拉方程x2  px qy 0（ dx2 dx p , q 为常数），令xet ，则 d d y x  d d y t  d d t x  1 x  d d y t ，d d 2 x y 2   d d   d d d d x d d t y x y t     d d d t x   1 x d 1 x  x  d y d t 1 2 x    d d y t 1 x   d 1 x  d 2 d d x  y t d d  2 t y 2   1 2 x 1 x  2 d d  y t d d y t d2y dy 代入原方程得到二阶线性常系数方程 (p1) qy0，对于本题即化为 dt2 dt d2y dy  2y 0，特征方程为2 20，解得2, 1，故通解为 dt2 dt 1 2 y C e2tC et，即 1 2 y  C x 12  C 2 x ，故选（D）. 10.【答案】 y t  C (  5 ) t  1 2 t 2  1 3 t  3 1 6 ，其中 C 为任意常数 【解析】原方程的一般形式为y 5y 3t2 t，其对应的齐次差分方程为 t1 t y t 1  5 y t  0 ，其通解为 y c ( t )  C (  5 ) t ，（C为任意常数）. 因为 f(t)3t2 t是 t 的 二次多项式，且 a   5  1 ，故设原方程的特解为y* t2 t，其中,,为待定 t 常数，于是 y *t 1 ( t 1 ) 2 ( t 1 )          ，代入原方程得 (t1)2 (t1)5(t2t)3t2t即 6t2 (26)t63t2 t，于是有 6 3   ， 6 2 1      ， 1 60，解出 ， 2 1 3    ， 3 1 6    ，故差分方程的通解为 1 1 1 y C(5)t  t2  t ，其中C为任意常数. t 2 3 364-2综合测试 1.【答案】 f(x)e2x xex 【解析】因为 x  1 0 f ( t x ) d t   1 0 f ( t x ) d t x u  t x  x 0 f ( u ) d u ， x 1 所以 f(x)3 f(t)dt2x f(tx)dtex 0. 0 0 可化为 f ( x )  3  x 0 f ( t ) d t  2  x 0 f ( t ) d t  e  x  0 . 两边对 x 求导得 f ( x )  3 f ( x )  2 f ( x )  e  x . 由 2 3 2 0      得 1 1    ， 2 2    ，则方程 f ( x )  3 f ( x )  2 f ( x )  0 的通解为Cex C e2x. 令 1 2 f ( x )  3 f ( x )  2 f ( x )  e  x 的一个特解为y axex，代 0 入得 a  1 ，则原方程的通解为 f ( x )  C 1 e  x  C 2 e  2 x  x e  x . 由 f ( 0 )  1 ， f ( 0 )   1 得 C 1  0 ， C 2  1 ，故原方程的解为 f ( x )  e  2 x  x e  x . 2.【答案】 f ( x )  e  1x 【解析】设 y   f ( x f  ( x h ) x )  1h ，则 l n y  1 h l n f ( x f  ( x h ) x ) ，于是有 1 f(xhx) ln f(xhx)ln f(x) limln y lim ln lim h0 h0 h f(x) h0 h ln f(xhx)ln f(x)  xlim  x[ln f(x)] h0 hx 1  f(xhx)h 从而lim   ex[lnf(x)] ，代入题目所给等式得 h0 f(x)  e x ln f ( x )  e 1x ，故有 1 1 1 x[lnf(x)]  ，即[lnf(x)]  . 两边积分得，ln f(x) C ，即 x x2 x 1 f ( x )  C e  1x . 1  再由条件 lim f(x)1，得C 1，即 f(x)e x. x+3.【答案】（1） F ( x )  2 F ( x )  4 e 2 x ；（2） F ( x )  e 2 x  e  2 x 【解析】（1）由 F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) g2(x) f 2(x) [f(x)g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可见 F ( x ) 所满足的一阶微分方程为 F ( x )  2 F ( x )  4 e 2 x . （2）该微分方程式一阶非齐次线性微分方程，其通解为 F ( x )  e   2 d x   4 e 2 x e  2 d x d x  C   e  2 x   4 e 4 x d x  C   e 2 x  C e  2 x . 将 F ( 0 )  f ( 0 ) g ( 0 )  0 代入上式得 C   1 ，于是 F ( x )  e 2 x  e  2 x . 4.【答案】 u   4 u  e x ；通解为 y  C 1 c o c s o s 2 x x  2 C 2 s i n x  5 c e o x s x ， C 1 , C 2 为任意常数. 【解析】由题意可知， y  u s e c x ， y   u  s e c x  u t a n x s e c x y   u  s e c x  2 u  t a n x s e c x  u s e c 3 x  u t a n 2 x s e c x . 代入原方程，将原方程化为 u   2 u  t a n x  u s e c 2 x  u t a n 2 x  2 u  t a n x  2 u t a n 2 x  3 u  e x 即 u   4 u  e x . 解得通解 u  C 1 c o s 2 x  C 2 s i n 2 x  1 5 e x ，还原成y ，得原方程的通解 cos2x ex yC 2C sinx ， 1 cosx 2 5cosx 其中 C 1 , C 2 为任意常数. 5.【答案】（1） y   y  s i n x 1 ；（2）y ex ex  sinx 2dx 1 1 【解析】（1）   ， dy dy y dx d d 2 y x 2  d d y  d d x y   d d x  d d x y   d d x y   ( y y  ) 2  1 y    ( y y  ) 3 代入微分方程，化简得y y sinx. （2）方程 y   y  s i n x 对应的齐次方程 y   y  0 的通解为 Y  C 1 e x  C 2 e  x . 设方程 y   y  s i n x 的特解为 y   A c o s x  B s i n x ，可得A0， B   1 2 . 1 1 故 y  sinx，从而y y sinx的通解为y Cex C ex  sinx. 2 1 2 2 由 y ( 0 )  0 ， y ( 0 )  3 2 ，得 C 1  1 ， C 2   1 ，故所求初值问题的解为 y  e x  e  x  1 2 s i n x . 6.【答案】 y  2 x  1  x 2 dy dy 1 1 dy 【解析】y    ， dx dt dx sint dt dt y    d d s 2 y 2 x 1 2 i n  t d d t 2 d y 2 d t  d d  y x c s  o i n  s 3 1 d d t t x t d d  y t  c o s i n s 2 t t d d y t  s 1 i n t d d 2 t y 2    s 1 i n t   1 d2y cost dy cost dy 将 y,y代入原方程，得(1cos2t)    y 0 sin2t dt2 sin3t dt  sint dt 即 d d 2 t y 2  y  0 ，其特征方程为r2 10，解得r  i，于是此方程的通解为 y  C 1 c o s t  C 2 s i n t ，从而原方程的通解为 y  C 1 x  C 2 1  x 2 . 由y 1， x0 y 2，得C 2，C 1，故所求方程的特解为y2x 1x2. x0 1 27.【答案】 f ( u )  C 1 e u  C 2 e  u ， C 1 ， C 2 为任意常数 【解析】   z x  f ( u ) e x s i n y ，   z y  f ( u ) e x c o s y ，   2 x z 2  f ( u ) e x s i n y  f ( u ) e 2 x s i n 2 y ，   2 y z 2   f ( u ) e x s i n y  f ( u ) e 2 x c o s 2 y ， 代入原方程，得 f ( u )  f ( u )  0 ，由此解得， f ( u )  C 1 e u  C 2 e  u （ C 1 ， C 2 为任意常 数）. 8.【答案】（1）验证略；（2） f ( u )  l n u , u  0 【解析】（1）记 u  x 2  y 2 ，由复合函数求导公式，有   z x  f ( u )   u x  f ( u ) x 2 x  y 2  f ( u ) x u ，   2 x z 2  f ( u ) x u 2 2  f ( u ) u  u x 2   u x  f ( u ) x u 2 2  f ( u ) u 2  u 3 x 2 由对称性可得   2 y z 2  f ( u ) y u 2 2  f ( u ) u 2  u 3 y 2 ，从而得所需验证的方程 f ( u )  f ( u u )  0 （*） （2）降阶法：令 f ( u )  p ， f ( u )  d d p u dp p ，方程（*）成为  0，分离变量，积 du u 分得 p  C u 1 . df C 再由  p  1 ，积分得 du u f ( u )  C 1 l n u  C 2 ，（这里不写成ln u 的原因是 u  x2  y2 0）. 再由初始条件 f(1)0， f(1)1得C 0，C 1，故得 2 1f ( u )  l n u ， u  0 . 9.【答案】 f(x)2cosxsinxx2 2，通解是 x2y2 2ysinx ycosx 2xy C ， 2 C 为任意常数． P Q 【解析】由全微分方程的充要条件  知， y x f ( x )  2 x y  x 2  2 x y  f ( x ) ，即 f(x) f(x) x2. 解得， f ( x )  C 1 c o s x  C 2 s i n x  x 2  2 . 由 f ( 0 )  0 ， f ( 0 )  1 求得 C 1  2 ， C 1，从而得 2 f ( x )  2 c o s x  s i n x  x 2  2 . 于是原方程为 [ x y 2  ( 2 c o s x  s i n x ) y  2 y ] d x  (  2 s i n x  c o s x  2 x  x 2 y ) d y  0 其通解是  2 y s i n x  y c o s x  x 2 2 y 2  2 x y  C ，其中C为任意常数.4-2拓展提升 1.【答案】 1 n 2 ( 2 m a  b ) 【解析】y2myn2y0的特征方程 2 2 m n 2 0      的特征根是 1 m m 2 n 2 ( m m 2 n 2 ) 0           ， 2 m m 2 n 2 0       由此可见微分方程的任何一个解 y C 1 e x1 C 2 e 2 x     都满足 l i x  m  y  0 ， 又因 y C 1 1 e x1 C 2 2 e 2 x        ，从而又有 l i x  m  y   0 ；故对于特解 y  y ( x ) 满足 y ( 0 )  a ， y ( 0 )  b ，有 0  y(x)2my(x)n2y(x)dx y(x)  2my(x)  n2  y(x)dx   0 0 0 0   y(0)2my(0)n2 y(x)dx(2mab)n2 y(x)dx 0 0 即   0  y ( x ) d x  1 n 2 ( 2 m a  b ) . 2.【答案】 b a ， 0 【解析】以y(x)为因变量，这是一阶线性微分方程， y ( x )  e  a x   e a x f ( x ) d x  C   e  a x   x 0 e a t f ( t ) d t  C 0  ，其中 C 0  y ( 0 ) ， 于是 l i x  m  y ( x )  l i x  m  C 0 e  a x  l i x  m   x 0 e a t e f a ( x t ) d t  0  l i x  m  e a x a f e ( x a x )  b a ，再利用方程得 b lim y(x) lim f(x)ay(x)ba 0. x x a 3.【答案】C 【解析】先求题设一阶线性微分方程的全部解， x x y e P(x)dx 0dxCCe P(x)dx Ce  0 P(t)dtC 1 Ce  0 P(t)dt ，C为任意常数；  方程的解y(x) 0，且以T 为周期 x  P(t)dt  y Ce 0 且C0，   xT P(t)dt  x P(t)dt   x P(t)dt   xT P(t)dt  y(xT) y(x)C  e 0 e 0  Ce 0  e x 1       x P(t)dt   T P(t)dt  Ce 0  e 0 1  0     T 0 P ( t ) d t  0 故答案选（C）. 1 1 4.【答案】xC eyC ey yey  sin y，其中 1 2 2 2 C 1 , C 2 为任意常数. 【解析】 dy 1 1 y   ， dx dx x(y) dy y   d d x  d d y x   d d y  d d y x   d d y x  d d y  x 1 ( y )   d d y x   [ x 1 ( y ) ] 2  x ( y )  x 1 ( y )   [ x x ( ( y y ) ) ] 3 则原方程可化为  ( x x  ) 3  ( x  e y  s i n y ) ( 1  x ) 3  0 ，即 x   x  e y  s i n y （*） 方程（*）为二阶常系数非齐次线性方程，与方程（*）相应的齐次方程的特征方程为 r2 10，特征根为 r1 ,2   1 ，故与方程（*）相应的齐次方程的通解为 xC eyC ey ，其中 1 2 C 1 , C 2 为任意常数； 可设方程（*）的一个特解为x*  Ayey BcosyCsiny，代入方程（*），得 1 1 1 1 A ,B 0,C  ，于是，x*  yey  sin y，故方程（*）的通解（即原方程的 2 2 2 2 1 1 通解）为xC eyC ey yey  sin y，其中C ,C 为任意常数. 1 2 2 2 1 25.【答案】 f ( x )  ( 1  x ) e  2 x  ( 1  x ) e 2 x 【解析】 2 x  f(x u2 v2)dudv d rf(xr)dr 0 0 u2v2x2 x 2 rf(xr)dr 0 xr u  x x  2 x f(u)du uf(u)du  0 0  原式化为 f ( x )  4  x  x 0 f ( u ) d u   x 0 u f ( u ) d u   e 2 x  e  2 x ， 由于 x  x 0 f ( u ) d u ，  x 0 u f ( u ) d u ，e2x， e  2 x 均可导，故 f(x)可导， x 方程两边求导得 f(x)4 f(u)du 2e2x 2e2x ， 0 再求导得 f ( x )  4 f ( x )  4 e 2 x  4 e  2 x ； f ( x )  4 f ( x )  0 的通解为 f(x)Ce2x C e2x ； 1 2 令 f(x)4f(x)4e2x 的特解为 f (x)axe2x ，代入得 1 a  1 ，即 f (x) xe2x ； 1 令 f(x)4f(x)4e2x 的特解为 f 2 ( x )  b x e  2 x ，代入得 b   1 ，即 f 2 ( x )   x e  2 x ， 则原方程的通解为 f ( x )  C 1 e  2 x  C 2 e 2 x  x e 2 x  x e  2 x ，因为 f ( 0 )  2 ， f ( 0 )  0 ，所 以  C  1 2  C C 1  2  2 C 2 2 ,  0 , 解得 C 1  C 2  1 ，故 f ( x )  ( 1  x ) e  2 x  ( 1  x ) e 2 x . 6.【答案】C 【解析】设子弹在时刻 t ds d2s 进入的深度为s(t)，则其速度与加速度分别为 与 ，根据 dt dt2 牛顿第二定律可得子弹在沙箱中运动时满足 m d d 2 t s 2   k d d s t （记为方程①），其中 m 为子 ds d2s dv 弹的质量，k 0是阻力与子弹速度成正比的比例系数，记v ，则  ，代入 dt dt2 dtdv 方程①可得m kv（记为方程②），初值为v(t) v ，为了求出 dt t0 0 v  v ( s ) ，由 d d v t  d d v s d d s t  v d d v s 可把方程②转化为求 m v d d v s   k v 即 d v   k m d s ，并利用v v 积 s0 0 分得 v   k m s  v 0 ，由 v  0 得 s  m k v 0 ，因此能打进的深度是 m k v 0 ，答案选（C）. 7.【答案】D 【解析】微分方程 y   a y   b y  0 的特征方程为 r 2  a r  b  0 ，其判别式   a 2  4 b ； 当   0 时，特征方程有两个不同的解，设为 r1 , r 2 ，则 y  C 1 e r x1  C 2 e r2 x （ C 1 , C 2 为任意 常数），当且仅当 C 1  C 2  0 时y 才具有周期性； 当   0 时，特征方程有两个相同的解，设为r r r，则 1 2 y  ( C 1  C 2 x ) e rx （ C 1 , C 2 为任意常数），当且仅当 C 1  C 2  0 时 y 才具有周期性； 当0，设特征方程的解为r i，r i，则 1 2 y ex(C cosxC sinx)， 1 2 当 0   时， y 才具有周期性，由 r1 r 2 a 2 0       得 a  0 ，又   a 2  4 b  0 ， 故b0. 综上，当a0， b  0 时， y   a y   b y  0 的解在 (   ,   ) 上均有周期性，故答案选 （D）. 8.【答案】 1 1 h 【解析】记V V(t)为冰块的体积， m ( t ) 为冰块边长，按题意，冰块的融化速度为 d d V t   k ( 6 m 2 ) dV dm dm ，又V m3 得到 3m2 ，即有3m2 k(6m2)化简得 dt dt dt dm 2k，分离变量得dm2kdt，两边积分得m2ktm(0)（记为方程（*））， dt令 t  1 ，得 m (1 )  m ( 0 )   2 k . 当冰块完全融化时，m(T)0，由（*）式得02kT m(0) m(0) m(0) 1 m(1) V(1) 3 即T    ，又  3  3 0.91， 2k m(0)m(1) m(1) m(0) V(0) 4 1 m(0) 1 故T  11(h)，因此，冰块完全融化需要的时间约为 m(1) 1 m(0) 1 1 h . 9.【答案】（1） y ( t )  2 0 0 3 0 (1  e  t4 0 ) ；（2） 4 0 l n 2 ( m i n ) 【解析】 （1）在 [ t , t  d t ] 内，池中污染物的微元dy等于进入的污染物量减去流出的污染物量，再 减处理的污染物量，即 d y  1 3  5 0 d t  1 y 0 ( 0 t 0 ) 0  5 0 d t  0 .0 2  y ( t ) d t 即 d d y t  1 4 0 y  5 0 3 ，此 为一阶线性微分方程，用公式法求得 y ( t )  e   14 0 d t   5 0 3 e  14 0 d td t  C   C e  14 0 t  2 0 3 0 0 ， 又 y ( 0 )  0 ，得 C   2 0 0 3 0 ，于是 y ( t )  2 0 0 3 0 (1  e  t4 0 ) . （2）从池中流出的污染物的质量浓度为 1 y 0 ( 0 t 0 ) 0  1  1 e 5  t4 0 ( k g / m 3 ) ，令 1  1 e 5  t4 0  1 3 0 ， 解得 t  4 0 l n 2 ( m i n ) ，故经过40ln2(min)，从池中流出的污染物的质量浓度为 1 kg /m3 . 30 10.【答案】4(y1)(x1)2 y 【解析】由曲率计算公式及曲线为凹曲线知，k  ，因为为该曲线在相应 3/2 1(y)2  点处的切线的倾斜角（ c o s 0   ），所以 c o s s e 1 c 1 ( 1 t a n ) 2 1 1 ( y ) 2          ， 于是由 k 2 y 2 1 c o s   知 [ 1  ( y y  ) 2 ] 3 /2  1  2 ( y y 2 ) 2 ，整理得微分方程 2 y 2 y   [1  ( y ) 2 ] 2 ，此为不显含 x 的二阶可降阶微分方程，令 p  d d y x ， d2y dp dp dy dp     p ，代入上述微分方程化简为 dx2 dx dy dx dy 2 y 2 p d d p y  (1  p 2 ) 2 ，分离变量 得 (1 2  p d p p 2 ) 2  d y y 2 ，解得y (p2 1) y(p2 1)C . 由于曲线在点 1 (1 , 1 ) 处的切线水平， 故 y(1)1，y(1)0，于是有 1  1  C 1 ， C 1  0 ，故得到y p2 1，即 dy  y1，分离变量后积分得 dx  2 y  1  x  C 2 ，由y(1)1得 C 2   1 ，于是 2 y1 x1，化简为 4 ( y  1 )  ( x  1 ) 2 .