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专题13 等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型
维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边
三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点
的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。
而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去
相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连
接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.等边三角形中维维尼亚模型...............................................................................................................2
模型2.等腰三角形中维维尼亚模型...............................................................................................................7
..................................................................................................................................................14
模型1.等边三角形中维维尼亚模型
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条件：在等边 中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作
AM⊥BC。
结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM；
②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。
（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。
图1 图2
证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵ 是等边三角形，∴AB=BC=AC，
则 ，
∵ ； ∴PD+PE+PF=AM。
②如图3，连结AP，BP，CP。∵ 是等边三角形，∴AB=BC=CA，
则 ，
∵ ； ∴PD+PE-PF=AM。
例1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点
分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（ ）
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A． B． C．2 D．
例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边 外一点，设点P到三边的距离
，且 ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形 内一点，且 ， ，
，以下3个结论：① ；② ；③ ；④若点P到 三边的距离
分别为 ， ， ，则有 ，其中正确的有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例4．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在 中， 且 过A作
于点P，点M是直线 上一动点，设点M到 两边 、 的距离分别为m，n，
的高为h．
(1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由．
(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．
(3)如图（3），当点M运动到 的延长线上时，求证：
模型2.等腰三角形中维维尼亚模型
条件：如图，等腰 （AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，
结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。
②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。
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图1 图2
证明：①如图1，连结AP；∵ 是等边三角形，∴AB=AC，
则 ，∵ ； ∴PE+PD=CF。
①如图2，连结AP；∵ 是等边三角形，∴AB=AC，
则 ，∵ ； ∴PF-PE=CD。
例1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一
点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4 ，则OE+OF的值为( )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
例2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形 沿EF折叠，使点D落在点B处，P为
折痕 上的任意一点，过点P作 ，垂足分别为G，H，若 ， ，则 ．
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例3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰 并标注： ，
，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．
(1)甲同学提出： ______度；(2)乙同学提出： 的面积为：______；
(3)丙同学提出：点D为边 的中点， ， ，垂足为E、F，请求出 的值；
(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边 上任一点， ， ， ，垂足为E、F、
H，则有 ．请你为丁同学说明理由．
例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形 中， ，点 是底边
上的一点， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ．求证： 为定长．
（2）如图（2），已知在等腰三角形 中， ，点 是底边 的延长线上的一点， ，
垂足为点 ， ，垂足为点 ．求证： 为定长．（3）如图（3），已知：点 为等边三角
形 内任意一点，过 分别作三边的垂线，分别交三边与 、 、 ．求证： 为定长．
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例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，
∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．
(1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度．
(2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．
①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断 BCD的形状，
并明理由．(3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足△为E，点P为
边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN
与CE的数量关系？请说明理由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻
角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2 dm，
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AD＝3dm，BD＝ dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求 DEM与 CEN的周长之和．
△ △
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰 中， ， ， 是 外一
点， 到三边的垂线段分别为 ， ， ，且 △ ，则 的长度为（ ）△
A．5 B．6 C． D．
2．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是
底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（ ）
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A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.35
3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图， 是三角形内一点， ，若
，且 是等边三角形，则 的周长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 为等边三角形，点 是 边上异于B， 的任意
一点， 于点E． 于点F．若 边上的高线 ，则 ．
5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点 为此三角形内
部（包含三角形的边）的一点且 到三角形三边的距离和为7，则 的最小值为 ．
6．（2024八年级·广东·培优）如图， 中， ，点P是边 上任意一点，点Q是 延长线
上任意一点，过点P分别作 于点D， 于点E，过点Q分别作 于点F，
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于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”）
7．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，将矩形 沿 折叠，使点D落在点B上，点C落在点
处，点Р为折痕 上的任一点，过点Р作 ，垂足分别为G、H，若 ，
， 则下列结论正确的有 （填正确结论的序号）① ② 的面积是
③ ④ ．
8．（2024八年级·广东·培优）如图，在 中，线段AD为中线，点O为线段AD的中点，直线l经过
点O，且B，C两点在l的同侧，过点B，C，D，A作直线l的垂线，垂足分别为点E，F，H，G．则下列
说法一定正确的有 ．
① ；② ；③ ；④若点B，C位于l异侧，有 ．
9．（2023·四川内江·中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家
刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图
形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形 中， ， ，对角线 与
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交于点O，点E为 边上的一个动点， ， ，垂足分别为点F，G，则
．
10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知等腰 中， ， ，P为三角形内
（含边）一点，过点P分别作 、 、 的垂线，垂足分别为D、E、F．若 ，则 长
为 ；若 ，则点P运动的路径长为 ．
11.（23-24八年级下·河南南阳·期中）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点过点P分别作
PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）观察猜想:如图1，当点P在BC边上时，此时点P、D重合，试猜想PD，PE，PF与AB的数量关系：
．
（2）类比探究:如图2，当点P在△ABC内时，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，试写出
PD，PE，PF与AB的数量关系，并加以证明．
（3）解决问题:如图3，当点P在△ABC外时，若AB＝6，PD＝1，请直接写出平行四边形PEAF的周长
．
12．（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1，在 ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，
过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明
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的证明思路：如图2，连接AP，由 ABP与 ACP面积之和等于 ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需
写出证明过程）．
变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和
方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明．
从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l、l，分别是函数 和 的图
1 2
像，l、l 与x轴的交点分别为A、B．
1 2
（2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是 ；（3）说明 ABC是等腰三角形；
（4）若l 上的一点M到l 的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．
2 1
13.（23-24九年级上·四川成都·期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰 中，
．即 ，∵ ，∴ 是个固
定值．
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(1)如图1，在矩形 中， 与 交于O， ，P是 上不与A和D重合的一个动点，
过点P分别作 和 的垂线，垂足分别为E，F，则 的值为_________．
知识应用：(2)如图2，在矩形 中，点M，N分别在边 ， 上，将矩形 沿直线 折叠，
使点D恰好与点B重合，点C落在点 处．点P为线段 上一动点（不与点M，N重合），过点P分别
作直线 ， 的垂线，垂足分别为E和F，以 ， 为邻边作平行四边形 ，若
的周长是否为定值？若是，请求出 的周长；若不是，请说明理由．
(3)如图3，当点P是等边． 外一点时，过点P分别作直线 、 、 的垂线、垂足分别为点
E、D、F．若 ，请直接写出 的面积_________．
14．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：如图， 中， ， 为底边 上任意
一点，点 到两腰的距离分别为 ，腰上的高为 ，连接 ，则 ，即：
，∴ （定值）．
(1)理解与应用：如图，在边长为 的正方形 中，点E为对角线 上的一点，且 ， 为
上一点， 于 ， 于 ，试利用上述结论求出 的长．
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(2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 的位置可以由“在底边上任一点”放
宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边 内任意一点 到各边的距离分别为 ，等边
的高为 ，试证明 （定值）．
(3)拓展与延伸：若正 边形 ，内部任意一点 到各边的距离为 ，请问 是否为
定值？如果是，请合理猜测出这个定值．
15．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到
两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
(1)如图一，在等腰 中， ， 边上有一点D，过点D作 于E， 于F，过
点C作 于G.利用面积证明： ．
(2)如图二，将矩形 沿着 折叠，使点A与点C重合，点B落在 处，点G为折痕 上一点，过
点G作 于M， 于N.若 ， ，求 的长．
(3)如图三，在四边形 中，E为线段 上的一点， ， ，连接 ，且 ，
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， ， ，求 的长．
16．（2023·陕西渭南·二模）（1）【问题提出】
如图1，在等腰 中， ，P是底边 上的任一点（不与B、C重合）， 于E，
于F， 于D．求证： ；
（2）【问题探究】如图2， 和 是两个含 的直角三角形，其中 ，
，连接 、 ， ，求 的长；
（3）【问题解决】如图3，四边形 是某农业观光园的部分平面示意图， 是一条灌溉水渠，E为
入口，E在线段 上，管理人员计划从入口E处沿 、 分别修两条笔直的小路，将园区分割为
、 和 三个区域，用来种植不同的农作物．根据设计要求， ， ，且
， 米， 米， 米，已知修建小路 、 每米的造价为50元，求
所修小路 的总费用．
17．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）学完三角形的高后，小明对三角形与高线做了如下研究：如图，D
是 中BC边上的一点，过点D、A分别作 、 、 ，，垂足分别为点E、
F、G，由 与 的面积之和等于 的面积，有等量关系式：
．像这种利用同一平面图形的两种面积计算途径可以得出相关线段的数量
关系式，从而用于解决数学问题的方法称为“等积法”，下面请尝试用这种方法解决下列问题．
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(1)如图（1），矩形 中， ， ，点P是 上一点，过点P作 ， ，垂
足分别为点E、F，求 的值；
(2)如图（2），在 中，角平分线 ， 相交于点O，过点O分别作 ， ，垂
足分别为点M，N，若 ， ，求四边形 的周长．
18．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，点 是矩形 的对角线BD上的一点，且 ，
， ，点 为直线 上的一点，且 于点 ， 于点 ．
(1)如图1，当点 为线段 中点时，易证： ；
(2)如图2，当点 为线段 上的任意一点(不与点 、点 重合)时，其它条件不变，则 中的结论是否
仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，当点 为线段 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则 与 之间又具有怎样的数量
关系？请证明你的猜想．
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