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中考数学一轮复习 无理数与实数
一．选择题（共10小题）
1．（2025•漳平市期末）如果√32.37≈1.333，√323.7≈2.872，那么√32370约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
2．（2025•黄陂区校级自主招生）实数 的平方根为（ ）
√a2
A．a B．±a C．±√a D．±√|a|
3．（2025•毕节市）√38的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．√2 D．±√2
4．（2025•江汉区校级模拟）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1
5．（2025•安达市校级月考）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
6．（2025•承德模拟）如果√150x（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（2025•呼伦贝尔）若|3﹣a|+√2+b=0，则a+b的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
22
8．（2025•福田区校级模拟） 、 ，−√3，√3343，3.1416，0.
3
⋅中，无理数的个数是（ ）
7
π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025•和县期末）在下列结论中，正确的是（ ）
A．√ 5 2 5 B．x2的算术平方根是x
(− ) =±
4 4
C．﹣x2一定没有平方根 D．√9的平方根是±√3
10．（2025•枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．ac＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c
二．填空题（共5小题）
11．（2025•庆阳）√16的平方根是 ．
12．（2025•仁寿县校级月考）若一个正数的两个平方根是 2a﹣1和﹣a+2，则a＝ ，这
个正数是 ．
13．（2021春•莆田期末）已知：（x2+y2+1）2﹣4＝0，则x2+y2＝ ．
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14．（2025•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝ ．
2
15．（2025•常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[ ]＝0，[3.14]＝3．按此规
3
定[√10+1]的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•内黄县期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出
来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是
小数部分．
又例如：
∵√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，
∴√7的整数部分为2，小数部分为（√7−2）．
请解答：（1）√17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果√5的小数部分为a，√13的整数部分为b，求a+b−√5的值；
（3）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
17．（2025•克拉玛依区校级期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）√m+5的平方根又是多少？
18．（2025春•昆明期中）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是√43的整数部
分．
（1）求a，b，c的值；
9
（2）求2a﹣b+ c的平方根．
2
19．（2025•民勤县校级期中）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平
方根．
20．（2025•饶平县校级模拟）若x、y都是实数，且y=√x−3+√3−x+8，求x+3y的立方根．
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中考数学一轮复习 无理数与实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025•漳平市期末）如果√32.37≈1.333，√323.7≈2.872，那么√32370约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
【考点】立方根．
【专题】常规题型；数感；运算能力．
【答案】C
【分析】根据立方根，即可解答．
【解答】解：∵√32.37≈1.333，
∴√32370=√32.37×1000≈1.333×10＝13.33．
故选：C．
【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
2．（2025•黄陂区校级自主招生）实数 的平方根为（ ）
√a2
A．a B．±a C．±√a D．±√|a|
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】首先根据算术平方根的定义可以求得 |a|，再利用绝对值的定义可以化简|a|即可得到
√a2=
结果．
【解答】解：∵当a为任意实数时， |a|，
√a2=
而|a|的平方根为±√|a|．
∴实数 的平方根为 ．
√a2 ±√|a|
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方根的性质，注意此题首先利用了 |a|，然后要注意区分平方根、
√a2=
算术平方根的概念．
3．（2025•毕节市）√38的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．√2 D．±√2
【考点】立方根；算术平方根．
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【答案】C
【分析】首先根据立方根的定义求出√38的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：√38=2，2的算术平方根是√2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意关键是要首先计算√38=2．
4．（2025•江汉区校级模拟）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1
【考点】平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．
【解答】解：当2m﹣4＝3m﹣1时，m＝﹣3，
当2m﹣4+3m﹣1＝0时，m＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m﹣4与3m﹣1相等或互为相反数是解题的关键．
5．（2025•安达市校级月考）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
【考点】平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b
的值．
【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，
∴a＝±2，b＝±3，
∵ab＜0，
∴a＝2，则b＝﹣3，
a＝﹣2，b＝3，
则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．
6．（2025•承德模拟）如果√150x（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；数感；运算能力．
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【答案】B
【分析】如果√150x（0＜x＜150）是一个整数，则它一定是一个数的平方的形式．把 150分解
因数得5，5，2，3，凑质数的平方即可解决问题．
【解答】解：∵√150x=√5×5×2×3x，
而√150x（0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，
∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，
所以可以是6，24，54，96共有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的性质，解题关键是把150分解因数得5，5，2，3，凑质数
的平方即可．
7．（2025•呼伦贝尔）若|3﹣a|+√2+b=0，则a+b的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【答案】B
【分析】根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式求出a、b的值，计算即可．
【解答】解：由题意得，3﹣a＝0，2+b＝0，
解得，a＝3，b＝﹣2，
a+b＝1，
故选：B．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为 0时，这几个非负数都为0是解题
的关键．
22
8．（2025•福田区校级模拟） 、 ，−√3，√3343，3.1416，0.
3
⋅中，无理数的个数是（ ）
7
π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数．
【专题】数感．
【答案】B
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方开不尽
的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． π π
22
【解答】解：在 、 ，−√3，√3343，3.1416，0.
3
⋅中，
7
π
无理数是： ，−√3共2个．
故选：B． π
【点评】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是
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无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中√3343=7是有理数中的整数．
9．（2025•和县期末）在下列结论中，正确的是（ ）
A．√ 5 2 5 B．x2的算术平方根是x
(− ) =±
4 4
C．﹣x2一定没有平方根 D．√9的平方根是±√3
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】二次根式．
【答案】D
【分析】根据平方根的意义逐项判断．
√ 5 5
【解答】解：A. (− ) 2= ，故错误；
4 4
B．x2的算术平方根是|x|，故错误；
C．﹣x2，当x＝0时，平方根为0，故错误；
D.√9的平方根为±√3，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根与算术平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．
10．（2025•枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．ac＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c
【考点】实数与数轴．
【专题】数形结合．
【答案】D
【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，
∴A、ac＜bc，故A选项错误；
B、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|＝b﹣a，故B选项错误；
C、∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；
D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，
∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．
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故选：D．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025•庆阳）√16的平方根是 ± 2 ．
【考点】平方根；算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平
方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵√16=4
∴√16的平方根是±2．
故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根
是0；负数没有平方根．
12．（2025•仁寿县校级月考）若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝ ﹣ 1 ，这个
正数是 9 ．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，由此即可列出方程求解．
【解答】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得：a＝﹣1．
则这个数是（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
故答案为：﹣1，9
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
13．（2021春•莆田期末）已知：（x2+y2+1）2﹣4＝0，则x2+y2＝ 1 ．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据条件可以得到（x2+y2+1）2＝4，然后两边同时开平方即可求出x2+y2的值．
【解答】解：∵（x2+y2+1）2﹣4＝0，
∴（x2+y2+1）2＝4，
∵x2+y2+1＞0，
∴x2+y2+1＝2，
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∴x2+y2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平方根的定义，形如x2＝a的方程的解法，一般直接开方计算即可．此题也
利用整体代值的思想．
14．（2025•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝ 2 ．
【考点】平方根．
【专题】计算题；实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
2
15．（2025•常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[ ]＝0，[3.14]＝3．按此规
3
定[√10+1]的值为 4 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】压轴题；新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出√10的范围，求出√10+1的范围，即可求出答案．
【解答】解：∵3＜√10＜4，
∴3+1＜√10+1＜4+1，
∴4＜√10+1＜5，
∴[√10+1]＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了估计无理数的应用，关键是确定√10+1的范围，题目比较新颖，是一道比较
好的题目．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•内黄县期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出
来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是
小数部分．
又例如：
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∵√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，
∴√7的整数部分为2，小数部分为（√7−2）．
请解答：（1）√17的整数部分是 4 ，小数部分是 √17− 4 ．
（2）如果√5的小数部分为a，√13的整数部分为b，求a+b−√5的值；
（3）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）4，√17−4；
（2）1；
（3）﹣12+√3．
【分析】（1）先估算出√17的范围，即可得出答案；
（2）先估算出√5、√13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（3）先估算出√3的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【解答】解：（1）∵4＜√17＜5，
∴√17的整数部分是4，小数部分是 √17−4，
故答案为：4，√17−4；
（2）∵2＜√5＜3，
∴a=√5−2，
∵3＜√13＜4，
∴b＝3，
∴a+b−√5=√5−2+3−√5=1；
（3）∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
∴11＜10+√3＜12，
∵10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10+√3−11=√3−1，
∴x﹣y＝11﹣（√3−1）＝12−√3，
∴x﹣y的相反数是﹣12+√3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出√3、√5、√13、√17的范围是解此题的关键．
17．（2025•克拉玛依区校级期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）√m+5的平方根又是多少？
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【考点】算术平方根；平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出m；
（2）利用（1）的结果及平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）＝0
解得m＝4．
则这个正数是（m+3）2＝49．
（2）√m+5=3，则它的平方根是±√3．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
18．（2025春•昆明期中）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是√43的整数部
分．
（1）求a，b，c的值；
9
（2）求2a﹣b+ c的平方根．
2
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；
9
（2）求出代数式2a﹣b+ c的值，再求这个数的平方根．
2
【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，
∴3a+1＝﹣8，
解得，a＝﹣3，
∵2b﹣1的算术平方根是3，
∴2b﹣1＝9，
解得，b＝5，
∵√36＜√43＜√49，
∴6＜√43＜7，
∴√43的整数部分为6，
即，c＝6，
因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，
（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，
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9 9
2a﹣b+ c=−6﹣5+ ×6＝16，
2 2
9
2a﹣b+ c的平方根为±√16=±4．
2
【点评】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估
算是正确解答的前提．
19．（2025•民勤县校级期中）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平
方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2＝4，2x+y+7＝27，列方程解出x、y，
最后代入代数式求解即可．
【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，
∴x﹣2＝4，
∴x＝6，
∵2x+y+7的立方根是3
∴2x+y+7＝27
把x的值代入解得：
y＝8，
∴x2+y2的算术平方根为10．
【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中．
20．（2025•饶平县校级模拟）若x、y都是实数，且y=√x−3+√3−x+8，求x+3y的立方根．
【考点】立方根；非负数的性质：算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据二次根式的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y的值，从
而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．
【解答】解：∵y=√x−3+√3−x+8，
{x−3≥0
∴ ，
3−x≥0
解得：x＝3，
将x＝3代入原式，得到y＝8，
∴x+3y＝3+3×8＝27，
∴√327=3，
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即x+3y的立方根为3．
【点评】本题考查了代数式的求值和立方根的定义，关键是学会构建不等式组解决问题．
12
