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2026年中考数学一轮复习 有理数
一．选择题（共10小题）
1．人类能听到的声音的最高频率是2×104Hz，海豚能听到的声音的最高频率是人类能听到的声音的最高
频率的7.5倍．请用科学记数法表示海豚能听到的声音的最高频率（ ）
A．1.5×105Hz B．15×104Hz
C．22.6×104Hz D．2.6×103Hz
2．如图，A，B，C、D四个点将数轴上﹣6与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的
是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．对于任意正整数a和b，现定义一种新运算：F（a+b）＝F（a）•F（b）．若F（2）＝3，则F
（100）的结果是（ ）
A．150 B．300 C．350 D．3100
4．据悉，毕节市今年的油菜计划种植任务是103.84万亩，其中金沙、黔西、织金属于油菜生产重点县
（市）．已知一粒油菜籽的质量约为0.0000015kg．数据0.0000015用科学记数法表示为（ ）
A．15×10﹣7 B．1.5×10﹣7 C．1.5×10﹣6 D．0.15×10﹣5
5．若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（ ）
1 1
A．− B．﹣1 C． D．3
3 3
3−a
6．如图，点A在点B的左侧，点A，B在数轴上表示的数分别为1﹣a和 ，则a的值可能是（ ）
2
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣1
7．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名
相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”，“正负术”
实际上符合现代有理数的加减运算法则，这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古
代数学的一个辉煌成就，其中“异名相益”即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被
减数的绝对值与减数的绝对值之和，下列能体现“异名相益”这句话含义的算式是（ ）
A．（+5）+（﹣3）＝+（5﹣3） B．（﹣5）﹣（+3）＝﹣（5﹣3）
C．（+5）﹣（﹣3）＝+（5+3） D．（﹣3）﹣（﹣5）＝（﹣3）+5＝2
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8．已知四个有理数在数轴上的对应点A，B，C，D的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最
大的是（ ）
A．点A表示的数 B．点B表示的数
C．点C表示的数 D．点D表示的数
9．在综合实践课上，两位同学利用一台旧的电子秤进行称重实验．阳阳在电子秤上放上一叠书，显示重
量的读数为5kg，然后小浦在书上面又放上质量为0.2kg的砝码，显示重量的读数为5.3kg．根据实验
数据可以发现，这一叠书的实际重量是（ ）
49 10 250 260
A． kg B． kg C． kg D． kg
10 3 53 53
10．六年级四位同学对生活数据进行估计，估计最准确的是（ ）
A．六年级学生跑步速度大约是每秒0.75米
B．数学课本的封面大约是500cm2
C．一台家用两门冰箱容积约3000毫升
D．一名六年级学生体重大约是0.5吨
二．填空题（共9小题）
11．某生物学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3
月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，并绘制了如图所示的
趋势图，根据趋势图预测当昼夜温差为15℃时，100颗种子浸泡后的发芽数约为 颗．
12．某种计算机完成一次基本运算的时间约为2纳秒，即0.000000002秒，其中数据0.000000002秒用科
学记数法表示为 秒．
13．太阳是太阳系的中心天体，是离我们最近的一颗恒星．太阳与地球的平均距离为14960万km，用科
学记数法表示14960万km应记为 km．
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14．节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有 120万种以上．数据120万用科学记数法表示为
．
15．在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是 ．
物质 铁 酒精 液态氧 水
凝固点（单位： 1535 ﹣117 ﹣218 0
℃）
16．负数的概念，最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上 20℃记作+20℃，则零下10℃应记作
℃．
17．氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法表示为5×10n，则n的值为 ．
18．扬州是中国历史文化名城，瘦西湖的湖水清澈见底．经检测，湖水中某种有益微生物的直径约为
0.000026米，数据0.000026用科学记数法表示为 ．
19．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高2m时，水位变化记
作+2m，则水库的水位下降1m时，水位变化记作 m．
三．解答题（共9小题）
20．先阅读，后探究相关的问题．
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|
5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两
点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则
点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 ；如果|AB|＝3，那么x为
．
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等．
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ．
21．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和5，P为数轴上一点，对应数为x．
（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数．
（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明
理由．
（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，
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则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
22．一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走
了5.5千米到达超市D，最后回到货场．
（1）以货场为原点，以东为正方向，用一个单位长度表示 1千米，你能在数轴上分别表示出货场A，
批发部B，商场C，超市D的位置吗？
（2）超市D距货场A多远？
（3）此款货车每千米耗油约0.1升，每升汽油6.20元，请你计算他需多少汽油费？
23．小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ．
（3）从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为
24，（注：每个数字只能用一次，如：23×[1﹣（﹣2）]＝8×3＝24），请另写出一种符合要求的运算
式子 ．
24．将15、12、9、6、3、0、﹣3、﹣6、﹣9填入下列方格内，使大方格的横、竖、斜对角的三个数字
之和都相等．
25．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所
对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 ．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说
明理由．
26．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|
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5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两
点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则
点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 ；如果|AB|＝3，那么x为
；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
27．数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示：
（1）请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“＜”连接起来： ；
（2）如果|a|＝2，|c|＝1，表示数b的点到原点的距离为3，则a＝ ，b＝ ，c＝
．
（3）在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点两个单位长
度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？
28．在学习有理数这一章知识的过程中，我校初一年级李华同学对数学运算非常感兴趣，并自主探究了
a+b+|a−b|
一种新运算“〇”，规则如下：对两个有理数a，b，定义a〇b= ．请你根据上述运算
2
规则解决以下问题：
（1）计算：3〇5＝ ；2023〇2022＝ ．
（2）若|x﹣1|〇|x﹣2|＝1，则所有满足条件的x的和为 ．
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2026年中考数学一轮复习 有理数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．人类能听到的声音的最高频率是2×104Hz，海豚能听到的声音的最高频率是人类能听到的声音的最高
频率的7.5倍．请用科学记数法表示海豚能听到的声音的最高频率（ ）
A．1.5×105Hz B．15×104Hz
C．22.6×104Hz D．2.6×103Hz
【答案】A
【分析】根据题意，海豚能听到的最高频率为人类最高频率的 7.5倍，计算出计算海豚的最高频率，
再按科学记数法表示．
【解答】解：海豚能听到的声音的频率为 7.5×2×104＝15×104Hz＝1.5×105Hz．
故选：A．
【点评】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
2．如图，A，B，C、D四个点将数轴上﹣6与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的
是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】根据数轴上﹣6到5之间的距离为5﹣（﹣6）＝11，分成五等分，从而知道每一份为2.2个单
位，然后分别表示A、B、C、D表示的数，根据绝对值越小则越靠近原点，从而进一步求出对应的绝
对值即可解决此题．
【解答】解：∵﹣6到5的距离为：5﹣（﹣6）＝11，数轴上﹣6与5两点间的线段五等分，
∴每一份为11÷5＝2.2，
∴A点表示的数为﹣6+2.2＝﹣3.8，B点表示的数为：﹣6+2.2×2＝﹣1.6，C点表示的数为﹣6+2.2×3＝
0.6，B点表示的数为：﹣6+2.2×4＝2.8，
∵|0.6|＜|﹣1.6|＜|2.8|＜|﹣3.8|，
∴点C表示的数最靠近原点．
故选：C．
【点评】此题主要考查的是绝对值的灵活运用以及数轴上两点间距离的计算，解决此题的关键是根据
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题意正确表示A、B、C、D表示的数，同时理解绝对值的意义是表示一个数的点到原点的距离．
3．对于任意正整数a和b，现定义一种新运算：F（a+b）＝F（a）•F（b）．若F（2）＝3，则F
（100）的结果是（ ）
A．150 B．300 C．350 D．3100
【答案】C
【分析】当a＝1，b＝1时，F（2）＝F（1）×F（1）＝3，所以F(1)=√3，F（100）＝F（1+1+……
+1）＝F（1）×F（1）×……×F（1）=√3 100=350，据此解答．
【解答】解：当a＝1，b＝1时，
F（1+1）
＝F（1）×F（1）
＝F（2）
＝3，
因此：F（1）2＝3，
即F(1)=√3，
F（n）
＝F（1+1+……+1）
＝F（1）×F（1）×……×F（1）
＝ F（1）n，
代入F(1)=√3，
n
F（n）
=(√3)
n=32，
100
F（100）
=3 2
=350．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解决本题的关键在于识别出新运算的规律与指数函数的相
似性并利用已知条件推导出通项公式．
4．据悉，毕节市今年的油菜计划种植任务是103.84万亩，其中金沙、黔西、织金属于油菜生产重点县
（市）．已知一粒油菜籽的质量约为0.0000015kg．数据0.0000015用科学记数法表示为（ ）
A．15×10﹣7 B．1.5×10﹣7 C．1.5×10﹣6 D．0.15×10﹣5
【答案】C
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．
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【解答】解：0.0000015＝1.5×10﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左
边第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一
般形式为a×10﹣n．
5．若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（ ）
1 1
A．− B．﹣1 C． D．3
3 3
【答案】B
【分析】根据用数轴上的点表示有理数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数，据此即可解答．
【解答】解：根据用数轴上的点表示有理数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数可得：
1 1
−1＜− ＜ ＜3，
3 3
∴位于最左边的是﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查用数轴比较有理数的大小，熟练掌握该知识点是关键．
3−a
6．如图，点A在点B的左侧，点A，B在数轴上表示的数分别为1﹣a和 ，则a的值可能是（ ）
2
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣1
【答案】C
3−a
【分析】根据数轴上点的位置得到不等式1−a＜ ，求出a的取值范围解答即可．
2
3−a
【解答】解：由条件可知1−a＜ ，
2
解得a＞﹣1，
符合的数值为0，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解不等式．熟练掌握以上知识点是关键．
7．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名
相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”，“正负术”
实际上符合现代有理数的加减运算法则，这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古
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代数学的一个辉煌成就，其中“异名相益”即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被
减数的绝对值与减数的绝对值之和，下列能体现“异名相益”这句话含义的算式是（ ）
A．（+5）+（﹣3）＝+（5﹣3） B．（﹣5）﹣（+3）＝﹣（5﹣3）
C．（+5）﹣（﹣3）＝+（5+3） D．（﹣3）﹣（﹣5）＝（﹣3）+5＝2
【答案】C
【分析】根据“异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值
之和”，即可求解．
【解答】解：（+5）﹣（﹣3）＝+（5+3），
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握该知识点是关键．
8．已知四个有理数在数轴上的对应点A，B，C，D的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最
大的是（ ）
A．点A表示的数 B．点B表示的数
C．点C表示的数 D．点D表示的数
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义结合实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置，即可求出结果．
【解答】解：设点A、B、C、D对应的数分别是数a、b、c、d，
由实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置可知：
|a|绝对值最大．即点A距离原点最远．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值最大的数就是到原点距离最大的数是解题的关键．
9．在综合实践课上，两位同学利用一台旧的电子秤进行称重实验．阳阳在电子秤上放上一叠书，显示重
量的读数为5kg，然后小浦在书上面又放上质量为0.2kg的砝码，显示重量的读数为5.3kg．根据实验
数据可以发现，这一叠书的实际重量是（ ）
49 10 250 260
A． kg B． kg C． kg D． kg
10 3 53 53
【答案】B
【分析】物品的实际重量与电子秤的实际读数总是保持着一定的比例．根据放砝码前后的比例不变来
求出书的实际重量即可．
【解答】解：设这叠书的实际重量为x kg，
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x x+0.2 10
根据题意得： = ，解得：x= ，
5 5.3 3
10
答：这叠书的实际重量为 kg，
3
故选：B．
【点评】本题主要考查比例关系的运用，通过两次称重结果的变化，从而建立方程，求解出实际重量．
解这道题的关键在与理解物品实际重量与电子称读数总保持一定比例的关系．
10．六年级四位同学对生活数据进行估计，估计最准确的是（ ）
A．六年级学生跑步速度大约是每秒0.75米
B．数学课本的封面大约是500cm2
C．一台家用两门冰箱容积约3000毫升
D．一名六年级学生体重大约是0.5吨
【答案】B
【分析】没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫作估算，根据情景选择合适的计量单位，
根据生活经验，对每种单位和数据大小的认识，即可作出选择．
【解答】解：六年级四位同学对生活数据进行估计，
估计最准确的是数学课本的封面大约是500cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是对生活中数据进行判断．
二．填空题（共9小题）
11．某生物学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3
月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，并绘制了如图所示的
趋势图，根据趋势图预测当昼夜温差为15℃时，100颗种子浸泡后的发芽数约为 3 6 颗．
【答案】36
【分析】本题为预估题目，不是实际精确计算题，根据所给图象进行预估即可．
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【解答】首先，根据所给图象，把直线延长，对应的温差15°时，发芽数约为36颗．
其次，根据图中数据发现，温差每提升1度，发芽数约增加3颗，也可预测，当温差为15°时，发芽数
约为36颗．
故答案为：36．
【点评】本题考查数据图象分析，根据图形推断即可．
12．某种计算机完成一次基本运算的时间约为2纳秒，即0.000000002秒，其中数据0.000000002秒用科
学记数法表示为 2×1 0 ﹣ 9 秒．
【答案】2×10﹣9．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000002＝2×10﹣9．
故答案为：2×10﹣9．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．太阳是太阳系的中心天体，是离我们最近的一颗恒星．太阳与地球的平均距离为14960万km，用科
学记数法表示14960万km应记为 1.496×1 0 8 km．
【答案】1.496×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：14960万＝149600000＝1.496×108．
故答案为：1.496×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有 120万种以上．数据120万用科学记数法表示为
1.2×10 6 ．
【答案】1.2×106．
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于
10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
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【解答】解：120万＝1200000＝1.2×106．
故答案为：1.2×106．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
15．在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是 液态氧 ．
物质 铁 酒精 液态氧 水
凝固点（单位： 1535 ﹣117 ﹣218 0
℃）
【答案】液态氧．
【分析】根据正数和负数的实际意义得出最小的数即可．
【解答】解：由题意可得最小的数为﹣218，
则凝固点最低的物质为液态氧，
故答案为：液态氧．
【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键．
16．负数的概念，最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上 20℃记作+20℃，则零下10℃应记作
﹣ 1 0 ℃．
【答案】﹣10．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上20℃记作+20℃，则零下10℃应记作﹣10℃．
故答案为：﹣10．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对
具有相反意义的量．
17．氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法表示为5×10n，则n的值为 ﹣ 1 1 ．
【答案】﹣11．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵0.00000000005＝5×10﹣11，
∴n等于﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
18．扬州是中国历史文化名城，瘦西湖的湖水清澈见底．经检测，湖水中某种有益微生物的直径约为
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0.000026米，数据0.000026用科学记数法表示为 2.6×1 0 ﹣ 5 ．
【答案】2.6×10﹣5．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000026＝2.6×10﹣5．
故答案为：2.6×10﹣5．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
19．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高2m时，水位变化记
作+2m，则水库的水位下降1m时，水位变化记作 ﹣ 1 m．
【答案】见试题解答内容
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：水库的水位升高2m时，水位变化记作+2m，
则水库的水位下降1m时，水位变化记作﹣1m，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
20．先阅读，后探究相关的问题．
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|
5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两
点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则
点B和点C表示的数分别为 ﹣ 2. 5 和 1 ，B，C两点间的距离是 3. 5 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 | x +1 | ；如果|AB|＝3，那么x为 2 或﹣
4 ．
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 ﹣ 1 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等．
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣ 5 ≤ x ≤ 2 ，最小值是 7 ．
【答案】见试题解答内容
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【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到x的值两个；
（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；
（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．
【解答】解：（1）如图，
B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的距离是1﹣（﹣2.5）＝3.5；
故答案为：﹣2.5，1，3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为：|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
如果|AB|＝3，即|x+1|＝3，
x+1＝3或﹣3，
那么x为﹣4或2；
故答案为：|x+1|，2或﹣4；
（3）|x+4|＝|x﹣2|，表示点A到﹣4和2的距离相等，
若点A表示的整数为x，则当x为﹣1时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
故答案为：﹣1；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
最小值为：2﹣（﹣5）＝7，
故答案为：﹣5≤x≤2，7．
【点评】本题考查了绝对值和数轴上两点的距离，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两
个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．
21．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和5，P为数轴上一点，对应数为x．
（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数．
（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明
理由．
（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，
则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出AB之间的距离，再根据P点的位置，求出它对应的数．
（2）因分情况进行讨论P点在A点左侧，AB中间和B点右侧三种情况进行讨论．
（3）可列出方程求出需要的时间．
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【解答】解：（1）因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB＝7，
又因P为线段AB的三等分点，
7 14
所以 AP＝7÷3= 或AP＝7÷3×2= ，
3 3
1 8
所以P点对应的数为 或 ；
3 3
（2）若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x＝10，
7
解得：x=− ；
2
若P在A点、B中间，
∵AB＝7，
∴不存在这样的点P；
若P在B点右侧，则x﹣5+x+2＝10，
13
解得：x= ；
2
（3）设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，
①当P为AB的中点，则
5﹣6x+（﹣2﹣x）＝2×（﹣3x），
解得：x＝3；
②当A为BP中点时，则
2×（﹣2﹣x）＝5﹣6x﹣3x，
9
解得：x= ，
7
③当B为AP中点时，则
2×（5﹣6x）＝﹣2﹣x﹣3x，
3
解得：x= ，
2
9 3
答：第 分钟时，A为BP的中点；第 分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点．
7 2
【点评】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据数轴和路程问题，列出一
元一次方程求解，注意分情况讨论，不要漏解．
22．一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走
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了5.5千米到达超市D，最后回到货场．
（1）以货场为原点，以东为正方向，用一个单位长度表示 1千米，你能在数轴上分别表示出货场A，
批发部B，商场C，超市D的位置吗？
（2）超市D距货场A多远？
（3）此款货车每千米耗油约0.1升，每升汽油6.20元，请你计算他需多少汽油费？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意画出数轴即可；
（2）根据数轴可得答案；
（3）首先计算出行驶的总路程，然后再计算出耗油量和费用即可．
【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）AD＝2km；
（3）（2+1.5+5.5+2）×0.1×6.2＝6.82（元），
答：他需6.82元汽油费．
【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确利用数轴表示出各点位置．
23．小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 6 ．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ﹣ 2 ．
（3）从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为
24，（注：每个数字只能用一次，如：23×[1﹣（﹣2）]＝8×3＝24），请另写出一种符合要求的运算
式子 （﹣ 2 ） 3 × [ ﹣（ 2+ 1 ） ] ＝ 2 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）找出+3与+2，使其乘积最大即可；
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（2）找出+3与﹣2，使其商最小即可；
（3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可．
【解答】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是6；
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是﹣2；
（3）从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为
24，
（注：每个数字只能用一次，如：23×[1﹣（﹣2）]＝8×3＝24），请另写出两种符合要求的运算式子
（﹣2）3×[﹣（2+1）]＝24；
故答案为：（1）6；（2）﹣2；（3）（﹣2）3×[﹣（2+1）]＝24
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．将15、12、9、6、3、0、﹣3、﹣6、﹣9填入下列方格内，使大方格的横、竖、斜对角的三个数字
之和都相等．
【答案】见试题解答内容
【分析】将题中所有的数字相加求和，再÷3＝9 （每行3个数之和）再把这堆数分为3份：15，12，
9，6，3，0，﹣3，﹣6，﹣9再从每份中选出数，比如选15，再选6，在后一份没数适合，因此排除；
选15，再选3，再选﹣9，这样采取排除法即可求出答案．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题考查了有理数加法的应用，此题是考查学生能否灵活运用所学知识解决实际问题，找出
规律是解此题的关键所在．
25．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所
对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|＝ 7 ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 ﹣ 5 、﹣ 4 、﹣ 3 、﹣ 2 、﹣ 1 、
0 、 1 、 2 ．
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（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说
明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；
（2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；
（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7，
故答案为：7；
（2）当x＞2时，
|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得，x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在，
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣
2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在，
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3，
理由：当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3，
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3，
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3，
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．
【点评】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论
的数学思想解答．
26．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|
5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两
点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则
点B和点C表示的数分别为 ﹣ 2. 5 和 1 ，B，C两点间的距离是 3. 5 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 | x ﹣（﹣ 1 ） | ；如果|AB|＝3，那么x为
﹣ 4 ， 2 ；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 ﹣ 1 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣ 5 ≤ x ≤ 2 ．
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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；
（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；
（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．
【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣
2.5）＝3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，
2；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．
【点评】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点
是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．
27．数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示：
（1）请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“＜”连接起来： a ＜ c ＜ b ；
（2）如果|a|＝2，|c|＝1，表示数b的点到原点的距离为3，则a＝ ﹣ 2 ，b＝ 3 ，c＝ ﹣ 1
．
（3）在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点两个单位长
度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用数轴上a，b，c的位置进而得出大小关系；
（2）利用绝对值的意义以及结合数轴得出答案；
（3）利用（2）中所求得出爬行的方法．
【解答】解：（1）如图所示：a＜c＜b．
故答案为：a＜c＜b；
（2）∵|a|＝2，|c|＝1，表示数b的点到原点的距离为3，
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∴由数轴可得：a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1．
故答案为：﹣2，3，﹣1；
（3）由（2）可得：向左爬行1个单位长度或向右爬行3个单位长度，能爬行到距离原点两个单位长
度的位置．
【点评】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质，正确利用数形结合得出是解题关键．
28．在学习有理数这一章知识的过程中，我校初一年级李华同学对数学运算非常感兴趣，并自主探究了
a+b+|a−b|
一种新运算“〇”，规则如下：对两个有理数a，b，定义a〇b= ．请你根据上述运算
2
规则解决以下问题：
（1）计算：3〇5＝ 5 ；2023〇2022＝ 202 3 ．
（2）若|x﹣1|〇|x﹣2|＝1，则所有满足条件的x的和为 3 ．
【答案】（1）5；2023；
（2）3．
【分析】（1）根据已知新运算规则计算即可；
3 3
（2）分四种情况讨论：①当x＜1时；②当1≤x＜ 时；③当 ≤x≤2时；④当x＞2时，根据绝对
2 2
值的意义，分别求解，即可得到答案．
3+5+|3−5|
【解答】解：（1）3〇5= =5，
2
2023+2022+|2023−2022|
2023〇2022= =2023．
2
故答案为：5；2023；
（2）分四种情况讨论：
①当x＜1时，x﹣1＜0，x﹣2＜0，则|x﹣l|＝l﹣x，|x﹣2|＝2﹣x，
∴ |x﹣ 1| 〇 |x﹣ 2|
|x−1|+|x−2|+||x−1|−|x−2|| 1−x+2−x+|1−x−(2−x)| 3−2x+|−1|
= = = =2−x=
2 2 2
1，
解得：x＝1；
3
②当1≤x＜ 时，x﹣1≥0，x﹣2＜0，则|x﹣l|＝x﹣l，|x﹣2|＝2﹣x，|2x﹣3|＝3﹣2x，
2
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∴ |x﹣ 1| 〇 |x﹣ 2|
|x−1|+|x−2|+||x−1|−|x−2|| x−1+2−x+|x−1−(2−x)| 1+|2x−3| 1+3−2x
= = = = =2−x=
2 2 2 2
1，
解得：x＝1；
3
③当 ≤x≤2时，x﹣1≥0，x﹣2≤0，则|x﹣l|＝x﹣l，|x﹣2|＝2﹣x，|2x﹣3|＝2x﹣3，
2
∴ |x﹣ 1| 〇 |x﹣ 2|
|x−1|+|x−2|+||x−1|−|x−2|| x−1+2−x+|x−1−(2−x)| 1+|2x−3| 1+2x−3
= = = = =x−1=
2 2 2 2
1，
解得：x＝2；
④当x＞2时，x﹣1＞0，x﹣2＞0，则|x﹣l|＝x﹣l，|x﹣2|＝x﹣2，|2x﹣3|＝3﹣2x，
∴ |x﹣ 1| 〇 |x﹣ 2|
|x−1|+|x−2|+||x−1|−|x−2|| x−1+x−2+|x−1−(x−2)| 2x−3+|x−1−x+2| 2x−3+1
= = = = =x−1=
2 2 2 2
1，
解得：x＝2；
∴满足条件的x的值为1和2．
∴所有满足条件的x的和为1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了绝对值的意义，新定义运算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
21
