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专题 05 数与式综合测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·青海西宁·统考中考真题）算式−3□1的值最小时，□中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】B
【分析】分别将各运算符号代入算式求值，再比较即可．
【详解】解：∵−3+1=−2，−3−1=−4，−3×1=−3，−3÷1=−3，
又∵−4<−3<−2，
∴−3−1=−4最小，
∴□中填入的运算符号是“-”．
故选B．
【点睛】本题考查有理数的加、减、乘、除运算，有理数的大小比较．掌握有理数的加、减、乘、除运算
法则是解题关键．
2．（3分）（2023·江苏宿迁·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2a−a=1 B．a3 ⋅a2=a5 C．(ab) 2=ab2 D．(a2) 4 =a6
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、2a−a=a，则此项错误，不符合题意；
B、a3 ⋅a2=a5，则此项正确，符合题意；
C、(ab) 2=a2b2，则此项错误，不符合题意；
D、(a2) 4 =a8，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关
键．
3．（3分）（2023·浙江衢州·统考中考真题）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号
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越强（单位：dBm），则下列信号最强的是（ ）
A．−50 B．−60 C．−70 D．−80
【答案】A
【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．
【详解】解：∵|−50|<|−60|<|−70|<|−80|，
则信号最强的是−50，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关
键．
4．（3分）（2023·河北·统考中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的
路程，约等于9.46×1012km．下列正确的是（ ）
A．9.46×1012−10=9.46×1011 B．9.46×1012−0.46=9×1012
C．9.46×1012是一个12位数 D．9.46×1012是一个13位数
【答案】D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. 9.46×1012÷10=9.46×1011，故该选项错误，不符合题意；
B. 9.46×1012−0.46≠9×1012，故该选项错误，不符合题意；
C. 9.46×1012是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 9.46×1012是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本
题的关键．
( 1 )
5．（3分）（2023·重庆·统考中考真题）估计√5× √6− 的值应在（ ）
√5
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
( 1 )
【详解】解：√5× √6− =√30−1，
√5
∵25<30<36，
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∴√25<√30<√36，即5<√30<6，
∴4<√30−1<5，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
1 2
6．（3分）（2023·天津·统考中考真题）计算 − 的结果等于（ ）
x−1 x2−1
1 1
A．−1 B．x−1 C． D．
x+1 x2−1
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
1 2 x+1 2
【详解】解： − = −
x−1 x2−1 (x−1)(x+1) (x−1)(x+1)
x+1−2
=
(x−1)(x+1)
x−1
=
(x−1)(x+1)
1
= ；
x+1
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
7．（3分）（2023·山东·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的
是（ ）
A．c(b−a)<0 B．b(c−a)<0 C．a(b−c)>0 D．a(c+b)>0
【答案】C
【分析】根据数轴可得，a<0<b<c，再根据a<0<b<c逐项判定即可．
【详解】由数轴可知a<0<b<c，
∴c(b−a)>0，故A选项错误；
∴b(c−a)>0，故B选项错误；
∴a(b−c)>0，故C选项正确；
∴a(c+b)<0，故D选项错误；
故选：C．
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【点睛】本题考查实数与数轴，根据a<0<b<c进行判断是解题关键．
8．（3分）（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则(2k+3) 2−4k2的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：(2k+3) 2−4k2
=(2k+3+2k)(2k+3−2k)
=3(4k+3)，
3(4k+3)能被3整除，
∴(2k+3) 2−4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a2−b2=(a−b)(a+b)通过因式分解，可以把多项
式分解成若干个整式乘积的形式．
9．（3分）（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，
“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，n−m；
第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动
命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n−m D．2n
【答案】D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：
m+n+n−m−m−n−n+m=0，结合2023÷4=505⋅⋅⋅3，从而可得答案．
【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，n−m；
第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m；
第3次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n；
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第4次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m；
第5次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m，m；
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
∵2023÷6=337⋅⋅⋅1，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为m+n+n−m=2n，
故选D
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运
用是解本题的关键．
2x 2×2 4
10．（3分）（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定f(x)= ，例如：f(2)= = ，
x+1 2+1 3
1 1
2× 2×
(1) 2 2 2×3 3 (1) 3 1
f = = ，f(3)= = ，f = = ，计算：
2 1 3 3+1 2 3 1 2
+1 +1
2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) (1)
f +f +f +⋯+f +f +f(1)+ f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)=（
101 100 99 3 2
）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
(1) (1)
【分析】通过计算f(1)=1,f(2)+f =2,f(3)+f =2，…可以推出
2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) (1)
f +f +f +⋯+f +f +f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)结果．
101 100 99 3 2
2
【详解】解：∵f(1)= =1,
1+1
1
2×
4 4 (1) 2 2 (1)
f(2)= = ,f = = ,f(2)+f =2,
1+2 3 2 1 3 2
1+
2
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1
2×
2×3 3 (1) 3 1 (1)
f(3)= = ,f = = ,f(3)+f =2,
1+3 2 3 1 2 3
1+
3
…
1
2×
2×100 200 1 100 2 1
f(100)= = ，f( )= = ，f(100)+f( )=2，
1+100 101 100 1 101 100
1+
100
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) (1)
f +f +f +⋯+f +f +f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)
101 100 99 3 2
=2×100+1
=201
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
( 1) 2
11．（3分）（2023·四川巴中·统考中考真题）在0, − ,−π,−2四个数中，最小的实数是
3
．
【答案】−π
( 1) 2 1
【分析】先计算出 − = ，再根据比较实数的大小法则即可．
3 9
( 1) 2 1
【详解】解： − = ，−π≈−3.14，
3 9
( 1) 2
故−π<−2<0< − ，
3
故答案为：−π．
【点睛】本题考查了平方的定义及比较实数的大小法则，熟练运用比较实数的大小法则是解题的关键．
12．（3分）（2023·江苏·统考中考真题）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是 （用含a的
代数式表示）．
【答案】πa3
【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，可得
V =πa2·a=πa3．
故答案为：πa3．
【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．
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13．（3分）（2023·江苏泰州·统考中考真题）若2a−b+3=0，则2(2a+b)−4b的值为 ．
【答案】−6
【分析】由2a−b+3=0，可得2a−b=−3，根据2(2a+b)−4b=2(2a−b)，计算求解即可．
【详解】解：由2a−b+3=0，可得2a−b=−3，
∴2(2a+b)−4b=4a+2b−4b=4a−2b=2(2a−b)=−6，
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算．
14．（3分）（2023·山东潍坊·统考中考真题）从−√2、√3，√6中任意选择两个数，分别填在算式
(□+○) 2÷√2里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
5 9
【答案】 √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）
2 2
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择−√2和√3，
则(−√2+√3) 2 ÷√2=(2−2√6+3)÷√2
=(5−2√6)÷√2
=5÷√2−2√6÷√2
5
= √2−2√3．
2
②选择−√2和√6，
则(−√2+√6) 2 ÷√2=(2−2√12+6)÷√2
=(8−2√12)÷√2
=8÷√2−2√12÷√2
=4√2−2√6．
③选择√3和√6，
则(√3+√6) 2 ÷√2=(3+2√18+6)÷√2
=(9+6√2)÷√2
=9÷√2+6√2÷√2
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9
= √2+6．
2
5 9
故答案为： √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）．
2 2
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
15．（3分）（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算
法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b) 7展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】128
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：(a+b) 5展开后系数为：1,5,10,10,5,1，
系数和：1+5+10+10+5+1=32=25，
(a+b) 6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，
系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26，
(a+b) 7展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，
系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27，
故答案为：128．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
16．（3分）（2023·湖南娄底·统考中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到
的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同
学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这(n+2)个同学之间的距离与原来n
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个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这(n+2)个同学排成圆圈后，又有一个同学
要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这
(n+3)个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
a
【答案】
2
2πr 2π(r+a) 2r
【分析】由第一次操作可得： = ，则n= ，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可
n n+2 a
2π(r+a) 2π(r+a+x) r+a
得 = ，解得x= ，再代入化简即可．
n+2 n+3 2+n
2πr 2π(r+a)
【详解】解：由第一次操作可得： = ，
n n+2
2r
∴n= ，
a
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则
2π(r+a) 2π(r+a+x)
= ，
n+2 n+3
r+a r+a a(r+a) a
x= = = =
∴ 2+n 2r 2(a+r) 2，
2+
a
a
故答案为：
2
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）计算：(−3) 2−√25+|−4|
（2）化简：(x+2y)(x−2y)−x(x−y)
【答案】（1）8；（2）−4 y2+xy
【分析】（1）根据有理数的乘方，求一个数的算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解；
（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解．
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【详解】解：（1）(−3) 2−√25+|−4|
=9−5+4
=8；
（2）(x+2y)(x−2y)−x(x−y)
=x2−4 y2−x2+xy
=−4 y2+xy．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的乘法，熟练掌握以上运
算法则以及乘法公式是解题的关键．
18．（6分）（2023·广东广州·统考中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，
C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)2(a+2)(a−2)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：A=2a2−8=2(a2−4)=2(a+2)(a−2)；
（2）解：①当选择A、B时：
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a
= = = ，
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a−4
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a−4
= = = ；
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a
②当选择A、C时：
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−2a
= = = ，
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a+4
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a+4
= = = ；
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−2a
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③当选择B、C时：
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−4a+4
= = = ，
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a+6
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a+6
= = = ．
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−4a+4
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化
简的方法．
19．（8分）（2023·河北·统考中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示
(a>1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S ,S ．
1 2
(1)请用含a的式子分别表示S ,S ；当a=2时，求S +S 的值；
1 2 1 2
(2)比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
【答案】(1)S =a2+3a+2，S =5a+1，当a=2时，S +S =23
1 2 1 2
(2)S >S ，理由见解析
1 2
【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S ,S ，S +S ，将a=2代入用=a2a表示
1 2 1 2
S +S 的等式中求值即可；
1 2
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S =a2，S =a，S =1，
甲 乙 丙
∴S =S +3S +2S =a2+3a+2，S =5S +S =5a+1，
1 甲 乙 丙 2 乙 丙
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∴S +S =(a2+3a+2)+(5a+1)=a2+8a+3，
1 2
∴当a=2时，S +S =22+8×2+3=23；
1 2
（2）S >S ，理由如下：
1 2
∵S =a2+3a+2，S =5a+1
1 2
∴S −S =(a2+3a+2)−(5a+1)=a2−2a+1=(a−1) 2
1 2
∵a>1，
∴S −S =(a−1) 2>0，
1 2
∴S >S ．
1 2
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解
题的关键．
20．（8分）（2023·四川攀枝花·统考中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．
决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分
赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支
球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不
1 1
再抽签，然后进行 决赛， 决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚
8 4
军，另外2支球队决出三、四名．
(1)本届世界杯分在C组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个C组分组积分赛对阵
表（不要求写对阵时间）．
(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
【答案】(1)C组分组积分赛对阵表见解答过程；
(2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
(3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可；
1 1
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场， 决赛， 决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案；
8 4
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1 1
（3）分组积分赛48场， 决赛一共8场， 决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各
8 4
1场，相加即可．
【详解】（1）C组分组积分赛对阵表：
阿根廷 沙特 墨西哥 波兰
阿根 阿根廷：沙
阿根廷：墨西哥 阿根廷：波兰
廷 特
沙特 沙特：阿根廷 沙特：墨西哥 沙特：波兰
墨西 墨西哥：沙
墨西哥：阿根廷 墨西哥：波兰
哥 特
波兰 波兰：阿根廷 波兰：沙特 波兰：墨西哥
1 1
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场， 决赛， 决赛，半决赛，决赛又踢了4场，
8 4
∴一共踢了3+4=7（场），
∴本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
（3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共8×6=48（场）；
1 1
决赛一共8场， 决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场；
8 4
∴一共踢了48+8+4+2+1+1=64（场）；
∴本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则．
21.（8分）（2023·福建厦门·统考模拟预测）“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂酿蜂蜜”这两句话从左往右读和
从右往左读，结果完全相同．文学上把这样的现象称为“回文”，数学上也有类似的“回文数”，比如
252，7887，34143，小明在计算两位数减法的过程中意外地发现有些等式从左往右读的结果和从右往左读
的结果一样，如：65−38=83−56；91−37=73−19；54−36=63−45．数学上把这类等式叫做“减
法回文等式”．
(1)①观察以上等式，请你再写出一个“减法回文等式”；
②请归纳“减法回文等式”的被减数ab（十位数字为a，个位数字为b）与减数cd应满足的条件，并证明．
(2)两个两位数相乘，是否也存在“乘法回文等式”？如果存在，请你直接写出“乘法回文等式”的因数xy
与因数mn应满足的条件．
【答案】(1)①45−27=72−54（答案不唯一）②a+b=c+d，证明见解析
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(2)存在，“乘法回文等式”的因数xy与因数mn应满足的条件为：xm=ny
【分析】（1）①根据观察发现“减法回文等式”的被减数中所有数字之和等于减数中所有数字之和，据
此规律即可得到答案；
②根据ab−cd=10(a−c)+(b−d)，dc−ba=10(d−b)+(c−a)，ab−cd=dc−ba，进行化简即可证明
结论；
（2）根据xy⋅mn=100xm+10xn+10 ym+ yn，nm⋅yx=100ny+10nx+10my+mx，
xy⋅mn=nm⋅yx，整理得xm=ny，即可得到结论．
【详解】（1）解：①观察发现，“减法回文等式”的被减数中所有数字之和等于减数中所有数字之和，
则45−27=72−54，也是“减法回文等式”；（答案不唯一）
②“减法回文等式”的被减数ab（十位数字为a，个位数字为b）与减数cd应满足的条件的条件为：
a+b=c+d，
证明：“减法回文等式”的被减数ab（十位数字为a，个位数字为b）与减数cd，
ab−cd=(10a+b)−(10c+d)=10(a−c)+(b−d)，
dc−ba=(10d+c)−(10b+a)=10(d−b)+(c−a)，
∵ab−cd=dc−ba，
则10(a−c)+(b−d)=10(d−b)+(c−a)，
10(a−c)−(c−a)=10(d−b)−(b−d)，
10(a−c)+(a−c)=10(d−b)+(d−b)，
11(a−c)=11(d−b)，
a−c=d−b，
∴a+b=c+d；
（2）存在，“乘法回文等式”的因数xy与因数mn应满足的条件为：xm=ny，理由如下：
xy⋅mn=(10x+ y)(10m+n)=100xm+10xn+10 ym+ yn，
nm⋅yx=(10n+m)(10 y+x)=100ny+10nx+10my+mx，
∵xy⋅mn=nm⋅yx，
则100xm+10xn+10 ym+ yn=100ny+10nx+10my+mx，
99xm=99ny，
∴xm=ny
【点睛】本题考查整式的运算，读懂题意，正确计算整式的加减，乘法运算是解决问题的关键．
22．（8分）（2023·山东青岛·统考中考真题）如图①，正方形ABCD的面积为1．
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(1)如图②，延长AB到A ，使A B=BA，延长BC到B ，使B C=CB，则四边形A A B D的面积为
1 1 1 1 1 1
______；
(2)如图③，延长AB到A ，使A B=2BA，延长BC到B ，使B C=2CB，则四边形A A B D的面积为
2 2 2 2 2 2
______；
(3)延长AB到A ，使A B=nBA，延长BC到B ，使B C=nCB，则四边形A A B D的面积为______．
n n n n n n
5
【答案】(1)
2
(2)5
1
(3)
(n2+2n+2)
2
【分析】（1）由正方形ABCD的面积为1则边长AB=BC=CD=AD=1，根据已知
A B=BA=BC=B C=CB=1，所以BB =2，根据S =S +S ，因为
1 1 1 AA B D △ABB 梯形AA B D
1 1 1 1 1
1 1
S = A B·BB ，S = (BB +AD)·AB，列式计算即可；
△ABB 1 2 1 1 梯形AA 1 B 1 D 2 1
（2）与（1）相似，由正方形ABCD的面积为1，则边长AB=BC=CD=AD=1，根据已知
A B=2BA=2BC=B C=2，所以BB =3，根据S =S +S ，因为
2 2 1 四边形AA B D △ABB 梯形ABB D
2 2 2 2
1 1
S = A B·BB ，S = (BB +AD)·AB，列式计算即可；
△ABB 2 2 2 2 梯形ABB 2 D 2 2
（3）由正方形ABCD的面积为1，则边长AB=BC=CD=AD=1，根据已知
，所以 ，根据 ，因为
A B=2BA=2BC=B C=2 BB =3 S =S +S
n n n 四边形AA B D △ABB 梯形ABB D
n n n n
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1 1
S = A B·BB ，S = (BB +AD)·AB，列式计算即可．
△ABB n 2 n n 梯形ABB n D 2 n
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴AB=BC=CD=AD=1，
∵A B=BA，B C=CB，
1 1
∴BB =BC+CB =2，A B=1，
1 1 1
∵A B⊥BB ，
1 1
1 1
∴S = A B·BB = ×1×2=1，
△ABB 1 2 1 1 2
∵AD⊥AB，
1 1 3
∴S = (BB +AD)·AB= ×(1+2)×1= ，
梯形AA 1 B 1 D 2 1 2 2
∵S =S +S ，
四边形AA B D △ABB 梯形ABB D
1 1 1 2
3 5
∴S =1+ = ；
四边形AA 1 B 1 D 2 2
5
故答案为： ；
2
（2）∵正方形ABCD的面积为1，
∴AB=BC=CD=AD=1，
∵A B=2BA=2，B C=2CB=2，
2 2
∴BB =BC+CB =2+1=3，A B=2，
2 2 2
∵A B⊥BB ，
2 2
1 1
∴S = A B·BB = ×2×(2+1)=3，
△ABB 2 2 2 2 2
∵AD⊥AB，
1 1
∴S = (BB +AD)·AB= ×(2+1+1)×1=2，
梯形ABB 2 D 2 2 2
∵S =S +S ，
四边形AA B D △ABB 梯形ABB D
2 2 2 2
∴S =3+2=5，
四边形AA B D
2 2
故答案为：5；
（3）∵正方形ABCD的面积为1，
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∴AB=BC=CD=AD=1，
∵A B=nBA=n，B C=nCB=n，
n n
∴BB =BC+CB =n+1，A B=n，
n n n
∵A B⊥BB ，
n n
1 1 1
∴S = A B·BB = ×n(n+1)= n(n+1)，
△ABB n 2 n n 2 2
∵AD⊥AB，
1 1 1
∴S = ×(BB +AD)·AB= ×(n+1+1)×1= ×(n+2)，
梯形ABB n D 2 n 2 2
∵S =S +S ，
四边形AA B D △ABB 梯形ABB D
n n n n
1 1 1
∴S = n(n+1)+ (n+2)= (n2+2n+2)，
四边形AA n B n D 2 2 2
1
故答案为：
(n2+2n+2)．
2
【点睛】本题考查了列代数式及代数式的求值，组合图形面积的计算，三角形的面积公式，梯形的面积公
式，掌握相关知识是解决问题的关键．
23．（8分）（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0<q<1．
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
例求 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于该正方形的面积，
2 2 2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
即 + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
1 1
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图②可知
2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于a ，a ，a ，…，a …等各条竖直线段的长度之和，
2 2 2 2 1 2 3 n
即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1，
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
所以， + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
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【实践应用】
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
任务一 完善 + + +⋯+ +⋯的求值过程．
3 3 3 3
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 + + +⋯+ +⋯=______．
3 3 3 3
2 2
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图④可知
3 3
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
所以， + + +⋯+ +⋯= ______．
3 3 3 3
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 + + +⋯+ +⋯的值．
4 4 4 4
任务三 用方法2，求q+q2+q3+⋯+qn+⋯的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
√5+1
长宽之比为 :1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
2
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2 4 6 2n
(√5−1) (√5−1) (√5−1) (√5−1)
观察图⑤，直接写出 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
q √5−1
【答案】任务一，方法1：2；方法2：(2,2)，2；任务二，3；任务三， ；[迁移拓展]
1−q 2
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
3 3
任务二，借助函数y= x+ 和y=x得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两
4 4
个函数图象的交点(2,2)到x轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数y=qx+q和y=x的图象，得出交点坐标，即可求解；
0
(√5−1)
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为1×1=1= ，第二个正方形的面积为
2
(√5+1 ) 2 (√5−1) 2 (√5−1) 2 (√5−1) 4 (√5−1) 6 (√5−1) 2n
−1 = ，……进而得出则 + + +⋯+ +⋯的值
2 2 2 2 2 2
√5+1
等于长宽之比为 :1的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，即可求解．
2
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 + + +⋯+ +⋯= 2
3 3 3 3
故答案为：2．
2 2
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图④可知
3 3
因为两个函数图象的交点的坐标为(2,2)，
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
所以， + + +⋯+ +⋯= 2．
3 3 3 3
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故答案为：(2,2)，2．
3 3
任务二：参照方法2，借助函数y= x+ 和y=x的图象，¿，
4 4
解得：¿
∴两个函数图象的交点的坐标为(3,3)，
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2
+ + +⋯+ +⋯=3．
4 4 4 4
( q q )
任务三 参照方法2，借助函数y=qx+q和y=x的图象，两个函数图象的交点的坐标为 , ，
1−q 1−q
q
∴q+q2+q3+⋯+qn+⋯=
1−q
0
(√5−1)
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为1×1=1= ，第二个正方形的面积为
2
(√5+1 ) 2 (√5−1) 2
−1 = ，……
2 2
(√5−1) 2 (√5−1) 4 (√5−1) 6 (√5−1) 2n √5+1
则 + + +⋯+ +⋯的值等于长宽之比为 :1的矩形减去1个
2 2 2 2 2
面积为1的正方形的面积，
(√5−1) 2 (√5−1) 4 (√5−1) 6 (√5−1) 2n √5+1 √5−1
即 + + +⋯+ +⋯= ×1−1=
2 2 2 2 2 2
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
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