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2026年中考数学一轮复习 数与式
一．选择题（共14小题）
a
1．设正整数a，b，c＞100，满足c2﹣1＝a2（b2﹣1），则 的最小值是（ ）
b
1 1
A． B． C．2 D．3
3 2
2．为了求 1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令 S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则 2S＝2+22+23+24+…
+22012+22013，因此 2S﹣S＝22013﹣1，所以 1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算
1+5+52+53+…+52012的值是（ ）
52013−4 52013−1
A．52013﹣1 B．52013+1 C． D．
4 4
3．如图，将1、√2、√3三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与
（2014，2014）表示的两个数的积是（ ）
A．√6 B．√3 C．√2 D．1
4．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝
13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（ ）
A．46 B．45 C．44 D．43
5．2008年9月25日，中国国家主席胡锦涛在酒泉卫星发射中心“问天阁”为执行神舟 7号飞行任务的
航天员壮行．3天后，神舟7号巡天归来，在太空中留下了中国人骄人的足迹．根据这些事实和数据，
我们发现有可能存在这样的等式：神舟7号问天×3＝问天神舟7号．上述等式中，每个汉字代表从0
到9中的不同自然数（其中7已经被使用）．要使得等式成立，则神舟7号＝（ ）
A．2075 B．3075 C．3076 D．3078
3
6．已知甲、乙两等差级数的项数均为6，甲、乙的公差相等，且甲级数的和与乙级数的和相差 ．若比
2
较甲、乙的首项，较小的首项为1，则较大的首项为何？（ ）
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5 5
A． B． C．5 D．10
4 2
7．将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363 B．361 C．359 D．357
8．有n个依次排列的整式：第一项是 a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为 b ，
1
将b 加2记为b ，将第二项与b 相加作为第三项，将b 加2记为b ，将第三项与b 相加作为第四项，
1 2 2 2 3 3
以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①b ＝2a+5；
3
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b +b +…+b ＝2ak+k2；
1 2 k
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
9．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ）
A．12 B．20 C．28 D．36
10．如图，一枚棋子放在七角棋盘的第 0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动 1，2，
3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3
号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
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11．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入
第一个整数x ，只显示不运算，接着再输入整数x 后则显示|x ﹣x |的结果．比如依次输入1，2，则输
1 2 1 2
出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有
如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地
一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个
一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是 0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的
正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．
上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．对于数列a ，a ，a ，…，已知|a |＝1，对于每一个k＝1，2，…，|a |＝|a +1|．
1 2 3 1 k+1 k
（1）若n＝2019，则|a +a +…+a |最小可能值为x；
1 2 n
（2）若n＝2020，则|a +a +…+a |最小可能值为y．
1 2 n
则x+y＝（ ）
A．2020 B．100 C．87 D．44
E．无法确定
13．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入
第一个整数 x ，只显示不运算，接着再输入整数 x 后则显示|x ﹣x |的结果．比如依次输入1，2，则
1 2 1 2
输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．
①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1；
②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；
③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为
k，若k的最大值为2021，那么k的最小值是2019．以上说法正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
14．设x
1
、x
2
、x
3
，…，x
40
是正整数，且x
1
+x
2
+x
3
+⋯+x
40
＝58，则x
1
2+x
2
2+x
3
2+…+x
40
2的最大值和最小值
为（ ）
A．400，47 B．400.94 C．7200，94 D．200，94
二．填空题（共11小题）
15．已知xa＝1，xb＝2，则x2a﹣3b＝ ．
16．已知√3≈1.732，√30≈5.477，那么√300000≈ ．
17．已知 a，b 为互不相等的非零实数，满足 a2（b+c）＝b2（c+a）＝8，则 c2（a+b）+2abc＝
．
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18．某乡镇今年葡萄大丰收，产量达到 4.8万吨，比去年增产了二成，该乡镇去年葡萄的产量是
万吨．
19．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”
给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．
请依据上述规律，写出（x﹣2）5展开式中含x4项的系数是 ．
20．已知M＝2ab﹣3a+1，N＝a+3ab﹣5当a为任意数值时，5M﹣3N的值为定值，则b的值为
．
21．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|b﹣a|−√b2−√3 (a+b) 3= ．
22．已知√a+b−33+|b+3|＝b+3，x为√a+b的整数部分，y为√a+b的小数部分，则3x﹣2y的值为
．
23．如图，将一个半径为1的圆沿数轴正方向滚动，已知点A在数轴上对应的数是1，则滚动一周后点A
的对应点A 所表示的数为 ．
1
{ 2⊗1=k+1
24．定义一种新运算为a b＝ax+by，例如（﹣2） 3＝﹣2x+3y．若 的解满足x﹣y≤4，
1⊗2=3k−1
⊗ ⊗
则满足条件的k的取值范围是 ．
25．对于一个三位数m，其各个数位上的数字互不相等，若m的百位数字与个位数字之和等于十位数字
的2倍，则称m为“凤凰数”．例如：357，∵3+7＝5×2，∴357是“凤凰数”；469，∵4+9≠6×2，
∴469不是“凤凰数”，则278（是，不是） “凤凰数”；若“凤凰数”m的各个数位上
的数字之和能被7整除，则满足条件的m的最小值是 ．
三．解答题（共9小题）
26．已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．
（1）求A﹣2B；
（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
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27．一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，可将这个数记作ab，类似的，一个三位数可记作
abc，其中a是百位数字，b是十位数字，c是个位数字．
【基础应用】
（1）①a6= （用含a的式子表示）；
②若4a+b7=72，则a＝ ，b＝ ；
【能力提升】
（2）①若三位数aba是7的倍数，求a与b的数量关系；
②若ab×ba=mkm，则k＝ ；
【思维拓展】
（3）是否存在两位数ab=b2−a2，若存在，求出符合要求的两位数ab，若不存在，请说明理由．
28．十一黄金周期间，淮安动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，
负数表示比前一天少的人数）．
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
人数变化 +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2
（单位：万
人）
（1）若9月30日的游客人数记为a万人，请用含a的代数式表示10月2日的游客人数；
（2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？
（3）若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间淮安动物园门票收入是多少元？
29．综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“（a+b）”的展开式”开展主题学习．
【阅读发现】
我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了（a+b）n的展开式（按a的次数由
大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示．
（1）观察图 1 中的规律可知，图中“★”表示的数是 ，（m﹣1）3的展开式为
；
【运用规律】
(m+2024) 3−(m−2024) 3
（2）判断代数式 的值是否会随着m的变化而变化，若不变，求这个值；
3m2+20242
若变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图是一个棋盘，由8×8个黑白交替的正方形方块组成，A，B分别表示起点和终点，有一颗棋
子在A方块处．棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从
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A方块出发7步走到B方块，则共有 种不同的走法．（图中★表示的是其中的一种走法）
30．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和
理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别
为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：
（m+n）2＝m2+2mn+n2．
（1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且a＜b＜c）和一个小正方形拼成的大
正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式；
（2）如图2，在（1）的条件下，若a+b＝7，c＝5，求阴影部分的面积；
（3）如图3，以（1）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于
以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形ABCD的面积．
31．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分
1 2x
式，例如：分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．
x+1 x2+1
x 2x2 2x2
例如，分式 ， 是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： =
x+1 x+1 x+1
2x2+2x−2x 2x(x+1) 2x 2x+2−2 2
= − =2x− =2x−2+ ．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
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4x+1
（1）将假分式 化为一个整数与一个真分式的和；
2x−1
x2
（2）若x是整数，且假分式 的值为正整数，求x的值；
x−2
4x2+7x−3 1
（3）若假分式 化为一个整式与一个真分式的和的形式为A+ ，A，B均为关于x的多项
x+2 B
式，若A＝4a﹣9，B＝b﹣10，求a2+b2+ab的最小值．
32．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换
机）．
（1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为 ， ；
（2）你认为当输入数等于 时（写出一个即可），其输出结果为0；
（3）你认为这个“数值转换机”不可能输出 数；
（4）有一次，小明操作的时候，输出的结果是 2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是
（用含自然数n的代数式表示）．
33．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新
的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方
形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
34．某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼
成的图形面积来解释．
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例如，图1可以解释（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn．于是小明拼出如图2所示的边长为（a+b+c）
的正方形ABCD，用不同方法表示正方形ABCD的面积，即可得到一个代数恒等式．
（1）这个代数恒等式是：（a+b+c）2＝ ；
（2）小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题：
①已知，a＞b＞c＞0，M＝a+b+c，N＝ab+bc+ac，且M2＞4N．
求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
②在①的条件下，若M＝15，N＝56，且a，b，c为整数，求a，b，c的值．
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2026年中考数学一轮复习 数与式
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
a
1．设正整数a，b，c＞100，满足c2﹣1＝a2（b2﹣1），则 的最小值是（ ）
b
1 1
A． B． C．2 D．3
3 2
【答案】C
a
【分析】根据题意，将c2﹣1＝a2（b2﹣1）变形，即可得到 的最小值，本题得以解决．
b
【解答】解：∵c2﹣1＝a2（b2﹣1），正整数a，b，c＞100，
∴c2＝a2（b2﹣1）+1＝a2b2﹣a2+1＜a2b2，
∴c＜ab，
∴c≤ab﹣1，
∴a2b2﹣a2+1＝c2≤（ab﹣1）2，
化简，得
a2≥2ab，
a
∴ ≥2，
b
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的最
小值．
2．为了求 1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令 S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则 2S＝2+22+23+24+…
+22012+22013，因此 2S﹣S＝22013﹣1，所以 1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算
1+5+52+53+…+52012的值是（ ）
52013−4 52013−1
A．52013﹣1 B．52013+1 C． D．
4 4
【答案】D
【分析】根据题目所给计算方法，令S＝1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，
求出4S的值，进而求出S的值．
【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52012，
则5S＝5+52+53+…+52012+52013，
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5S﹣S＝﹣1+52013，
4S＝52013﹣1，
52013−1
则S= ．
4
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
3．如图，将1、√2、√3三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与
（2014，2014）表示的两个数的积是（ ）
A．√6 B．√3 C．√2 D．1
【答案】B
【分析】根据观察数列，可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，
根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：每三个数一循环，1、√2、√3，则前7排共有1+2+3+4+5+6+7＝28个数，
因此（8，2）在排列中是第28+2＝30个，
30÷3＝10，（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，
即（8，2）表示的数是√3，
前2014排共有1+2+3…+2014＝（1+2014）×2014÷2＝2029105个数，
因此（2014，2014）在排列中是第2029105个，
2029105÷3＝676368…1，
（2014，2014）表示的数正好是第676369轮的一个数，
即（2014，2014）表示的数是1，
√3×1=√3，
故选：B．
【点评】本题考查了数字的变化类，利用了数字的变化规律．
4．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝
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13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（ ）
A．46 B．45 C．44 D．43
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方和数字的变化寻找规律即可求解．
【解答】解：23＝3+5，第一项为22﹣2+1，最后一项为3+2×1
33＝7+9+11，第一项为32﹣3+1，最后一项为7+2×2
43＝13+15+17+19，第一项为42﹣4+1，最后一项为13+2×3
…
453的第一项为452﹣45+1＝1981，最后一项为1981+2×44＝2069，
1981到2069之间有奇数2019，
∴m的值为45．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是根据数字的变化情况寻找规律．
5．2008年9月25日，中国国家主席胡锦涛在酒泉卫星发射中心“问天阁”为执行神舟 7号飞行任务的
航天员壮行．3天后，神舟7号巡天归来，在太空中留下了中国人骄人的足迹．根据这些事实和数据，
我们发现有可能存在这样的等式：神舟7号问天×3＝问天神舟7号．上述等式中，每个汉字代表从0
到9中的不同自然数（其中7已经被使用）．要使得等式成立，则神舟7号＝（ ）
A．2075 B．3075 C．3076 D．3078
【答案】C
【分析】根据题意，设神舟7号＝A，问天＝B，可得（A×100+B）×3＝B×10000+A，化简299A÷3.25＝
9997B÷3.25可得92A＝3076B进而可得结果．
【解答】解：根据题意，设神舟7号＝A，问天＝B，
∵神舟7号问天×3＝问天神舟7号．
∴（A×100+B）×3＝B×10000+A，
300A+3B＝10000B+A，
299A＝9997B，
∵299A÷3.25＝9997B÷3.25，
92A＝3076B，
A 9997 3076
∴ = = ．
B 299 92
∴A＝3076．
故选：C．
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【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
3
6．已知甲、乙两等差级数的项数均为6，甲、乙的公差相等，且甲级数的和与乙级数的和相差 ．若比
2
较甲、乙的首项，较小的首项为1，则较大的首项为何？（ ）
5 5
A． B． C．5 D．10
4 2
【答案】A
【分析】设甲、乙两等差级数中乙级数的首项较小，令b ＝1，较大的首项为a ，设两等差级数的公差
1 1
3
为d，根据甲级数的和与乙级数的和相差 列出方程，解方程即可．
2
【解答】解：设甲、乙两等差级数中乙级数的首项较小，令b ＝1，较大的首项为a ，设两等差级数的
1 1
公差为d，则
6×5
∵甲级数的和为6a + d＝6a +15d，
1 2 1
6×5
乙级数的和为6×1+ d＝6+15d，
2
3
∴（6a +15d）﹣（6+15d）= ，
1 2
3
∴6a ﹣6= ，
1 2
5
∴a = ．
1 4
故选：A．
【点评】本题考查了等差级数，掌握等差级数的求和公式是解题的关键．
7．将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363 B．361 C．359 D．357
【答案】A
【分析】根据数字的变化类寻找每一行数字的变化规律即可求解．
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【解答】解：观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：
第一行的第一个数：1×0+1＝1
第二行的第一个数：2×1+1＝3
第三行的第一个数：3×2+1＝7
…
第n行的第一个数：n•（n﹣1）+1
∴第19行的第一个数：19×18+1＝343
∴第19行的第11个数：343+10×2＝363
故选：A．
【点评】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找每一行数字的变化规律．
8．有n个依次排列的整式：第一项是 a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为 b ，
1
将b 加2记为b ，将第二项与b 相加作为第三项，将b 加2记为b ，将第三项与b 相加作为第四项，
1 2 2 2 3 3
以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①b ＝2a+5；
3
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b +b +…+b ＝2ak+k2；
1 2 k
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
【答案】A
【分析】根据题意可以得出规律，第n项为（a+n﹣1）2，b ＝2a+2n﹣1，根据规律逐项求解判断即可．
n
【解答】解：由题意可知，第一项为（a+0）2，第二项为（a+1）2，
∴b ＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，
1
∴b ＝2a+3，
2
∴b ＝2a+3+2＝2a+5，故①正确，
3
∴第三项为a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2，
当a＝2时，第三项为16，故②正确，
∴第四项为（a+2）2+2a+5＝（a+3）2，
∴b ＝2a+7，
4
∴第五项为（a+3）2+2a+7＝（a+4）2，
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..．
∴b ＝2a+2n﹣1，
n
∴第n项为（a+n﹣1）2，
∴第2022项为（a+2021）2故④错误，
若第四项与第五项的和25，
则（a+3）2+（a+4）2＝25，
解得a＝0或a＝﹣7，故③错误，
当n＝k时，b +b +…+b
1 2 k
＝（2a+1）+（2a+3）+…+（2a+2k﹣1）
＝2ka+[1+3+5+…+（2k﹣1）]
＝2ka+k2，
故⑤正确，
故正确的为：①②⑤，
故选：A．
【点评】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律时解答此题的关键，难
度较大．
9．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ）
A．12 B．20 C．28 D．36
【答案】C
【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2
和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，
∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣
（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28
∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．
故选：C．
【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
10．如图，一枚棋子放在七角棋盘的第 0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动 1，2，
3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3
号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（
）
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A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
1
【分析】因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k= k（k+1），然后根据题目中所给的第k次
2
依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
1 1
【解答】解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k= k（k+1），应停在第 k（k+1）﹣7p
2 2
格，
1
这时p是整数，且使0≤ k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
2
1
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
2
1 1
若7＜k≤10，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， k（k+1）﹣7p＝7m+ t（t+1），
2 2
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，
即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．
故选：D．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
11．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入
第一个整数x ，只显示不运算，接着再输入整数x 后则显示|x ﹣x |的结果．比如依次输入1，2，则输
1 2 1 2
出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有
如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地
一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个
一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是 0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的
正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．
上述结论中，正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；
②根据运算规则可知最大值是4；
③根据运算规则可知最小值是0；
④根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结
果是最小值，进而分析得出即可．
【解答】解：①根据题意可以得出：|1﹣2|＝|﹣1|＝1，
|1﹣3|＝|﹣2|＝2，
|2﹣4|＝|﹣2|＝2，
故①符合题意
②对于1，2，3，4，按如下次序输入：1、3、2、4，可得：|1﹣3|﹣2|﹣4|＝4，
全部输入完毕后显示的结果的最大值是4
故②符合题意；
③对于1，2，3，4，按如下次序输入：1、3、4、2，可得：|1﹣3|﹣4|﹣2|＝0，
全部输入完毕后显示的结果的最小值是0，
故③符合题意；
④∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数 2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为
k，k的最大值为10，
∴设b为较大数字，当a＝1时，|b﹣|a﹣2|＝|b﹣1|＝10，
解得：b＝11，
故此时任意输入后得到的最小数为：|2﹣|11﹣1|＝8，
设b为较大数字，当b＞a＞2时，|b﹣|a﹣2|＝|b﹣ a+2|＝10，
则b﹣ a+2＝10，即b﹣ a＝8，则a﹣ b＝﹣8，
故此时任意输入后得到的最小数为：|a﹣|b﹣2|＝|a﹣ b+2|＝6，
综上所述：k的最小值为6．
故④符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整数的奇偶性问题以及含有绝对值的函数最值问题．
12．对于数列a ，a ，a ，…，已知|a |＝1，对于每一个k＝1，2，…，|a |＝|a +1|．
1 2 3 1 k+1 k
（1）若n＝2019，则|a +a +…+a |最小可能值为x；
1 2 n
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（2）若n＝2020，则|a +a +…+a |最小可能值为y．
1 2 n
则x+y＝（ ）
A．2020 B．100 C．87 D．44
E．无法确定
【答案】D
【分析】逐层分析a （k＝1，2，3，…）的值有可能是多少，取每个a 的值求和，找规律得到x；再
k k
求x+y的值．
【解答】解：∵|a |＝1；
1
∴a ＝1或a ＝﹣1；
1 1
∵|a |＝|a +1|；
2 1
∴|a |＝2或0；
2
∴a ＝±2或0；
2
同理a ＝±3或±1，a ＝±4或±2或0，a ＝±5或±3或±1，…，a ＝±2019或±2017或…或±1，
3 4 5 2019
当a 值为﹣1，a ＝0时，a +a 值为﹣1；当a 值为1，a ＝2时，a +a 值为3；当a 值为1，a ＝﹣2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
时，a +a 值为﹣1；
1 2
当a 值为﹣1，a ＝0，a ＝﹣1时，a +a +a 值为﹣2；当a 值为1，a ＝﹣2，a ＝﹣1时，a +a +a 值
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
为﹣2；当a 值为﹣1，a ＝0，a ＝1时，a +a +a 值为0；当a 值为﹣1，a ＝2，a ＝1时，a +a +a
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
值为0；当a 值为1，a ＝2，a ＝﹣3时，a +a +a 值为0；当a 值为1，a ＝2，a ＝3时，a +a +a 值
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
为6；
1
以此类推发现：奇数个求和时，a +a +…+a =− （k+1），
1 2 k 2
1
a 1 +a 2 +…+a k﹣1 =− 2 （k+1）+1×2，
1
a 1 +a 2 +…+a k﹣2 =− 2 （k+1）+1×2，
1
a 1 +a 2 +…+a k﹣3 =− 2 （k+1）+1×2+3×2，
1
a 1 +a 2 +…+a k﹣4 =− 2 （k+1）+1×2+3×2，
…，
1
偶数个求和时，a +a +…+a =− k，
1 2 k 2
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1
a 1 +a 2 +…+a k﹣1 =− 2 k，
1
a 1 +a 2 +…+a k﹣2 =− 2 k+2×2，
1
a 1 +a 2 +…+a k﹣3 =− 2 k+2×2，
1
a 1 +a 2 +…+a k﹣4 =− 2 k+2×2+4×2，
1
a 1 +a 2 +…+a k﹣5 =− 2 k+2×2+4×2，
…，
∴a +a +a +…+a 的值为﹣1010+2×（1+3+5+…+2n﹣1）＝﹣1010+2n2，
1 2 3 2019
当n＝22时，|a +a +a +…+a |＝﹣1010+2×222＝42此时最小；
1 2 3 2019
a +a +a +…+a 的值为﹣1010+2×（2+4+…+2m）＝﹣1010+2m（m+1）；
1 2 3 2020
当m＝22时，|a +a +a +…+a |＝﹣1010+2×22×23＝2此时最小；
1 2 3 2020
∴x＝42，y＝2；
∴x+y＝44．
故选：D．
【点评】本题考查数字分层分析，找规律求和．
13．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入
第一个整数 x ，只显示不运算，接着再输入整数 x 后则显示|x ﹣x |的结果．比如依次输入1，2，则
1 2 1 2
输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．
①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1；
②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；
③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为
k，若k的最大值为2021，那么k的最小值是2019．以上说法正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；
②根据运算规则可知最大值是5；
③根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结
果是最小值，进而分析得出即可．
【解答】解：①根据题意可以得出：|1﹣2|＝|﹣1|＝1，|1﹣3|＝|﹣2|＝2，|2﹣4|＝|﹣2|＝2，最后输出
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的结果是2，故①不符合题意；
②对于2，3，6，按如下次序输入2、3、6，可得：|2﹣3|＝1，|1﹣6|＝5，全部输入完毕后显示的结果
的最大值是5，
故②不符合题意；
③∵随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为
k，k的最大值为2021，
∴设b为较大数字，当a＝1时，|b ﹣|a﹣2||＝|b﹣1|＝2021，解得：b＝2022，
故此时任意输入后得到的最小数为：|2﹣|2022﹣1||＝2019，
设b为较大数字，当b＞a＞2时，|b﹣|a﹣2||＝|b﹣ a+2|＝2021，
则b﹣ a+2＝2021，即b﹣ a＝2019，则a﹣ b＝﹣2019，
故此时任意输入后得到的最小数为：|a﹣|b﹣2||＝|a﹣ b+2|＝2017，
综上所述：k的最小值为2017．
故③不符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力．
14．设x
1
、x
2
、x
3
，…，x
40
是正整数，且x
1
+x
2
+x
3
+⋯+x
40
＝58，则x
1
2+x
2
2+x
3
2+…+x
40
2的最大值和最小值
为（ ）
A．400，47 B．400.94 C．7200，94 D．200，94
【答案】B
【分析】把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x 2+x 2+x 2+…+x 2的最大值和最小值是存在
1 2 3 40
的．
①设x ≤x ≤…≤x ，由（x ﹣1）2+（x +1）2＞x 2+x 2，所以，当x ＞1时，把x 调到1，这时，
1 2 40 1 2 1 2 1 1
x 2+x 2+…+x 2将增大，所以可以求出最大值．②若存在两数x，x，使得x﹣x≥2（1≤i＜j≤40），
1 2 40 i j j i
根据（x+1）2+（x﹣1）2＝x2+x2﹣2（x﹣x﹣1）＜x 2+x 2，所以在x ，x ，x ，…，x 中，若两数差
i j i j i j 1 2 1 2 3 40
大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，x 2+x 2+x 2+…+x 2将减小，可以求出最小值．
1 2 3 40
【解答】解：把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x 2+x 2+…+x 2的最大值和最小值是存在
1 2 40
的．
不妨设x ≤x ≤…≤x ，若x ＞1，则x +x ＝（x ﹣1）+（x +1），
1 2 40 1 1 2 1 2
且（x ﹣1）2+（x +1）2＝x 2+x 2+2（x ﹣x ）+2＞x 2+x 2，
1 2 1 2 2 1 1 2
所以，当x ＞1时，把x 调到1，这时，x 2+x 2+x 2+…+x 2将增大；
1 1 1 2 3 40
同样，可把x ，x …x 逐步调至1，这时，x 2+x 2+x 2+…+x 2将增大，
2 3 39 1 2 3 40
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于是，当x ，x …x 均为1，x ＝19时，x 2+x 2+x 2+…+x 2将取最大值，
1 2 39 40 1 2 3 40
即A＝1×39+192＝400．
若存在两数x，x，使得x﹣x≥2（1≤i＜j≤40），
i j j i
则（x+1）2+（x﹣1）2＝x2+x2﹣2（x﹣x﹣1）＜x 2+x 2，
i j i j i j 1 2
所以在x ，x ，x ，…，x 中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，
1 2 3 40
这时，x 2+x 2+x 2+…+x 2将减小，
1 2 3 40
所以当有22个是1，18个是2时x 2+x 2+x 2+…+x 2将取最小值，
1 2 3 40
即B＝1×22+22×18＝94，
故最大值为400，最小值为94．
故选：B．
【点评】①本题综合了数的拆分以及不等式的性质，属于有理数的综合运算，总的来说比较难，要求
平时对基本的知识非常熟练地掌握．
②本题作为选择题有其特殊的解法，一般情况下如果做不出来或者没有思路可以采用赋值法，然后进
行排除找到答案．
二．填空题（共11小题）
1
15．已知xa＝1，xb＝2，则x2a﹣3b＝ ．
8
1
【答案】 ．
8
x2a (xa ) 2
【分析】先逆用同底数幂的除法和幂的乘方法则得到x2a−3b= = ，然后将xa＝1，xb＝2整体
x3b (xb
)
3
代入计算即可．
【解答】解：逆用同底数幂的除法和幂的乘方法则可得：
x2a (xa ) 2 12 1
x2a−3b= = = = ．
x3b (xb ) 3 23 8
1
故答案为： ．
8
【点评】本题主要考查了逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则等知识点，灵活逆用运算法则对所求代
数式变形成为解题的关键．
16．已知√3≈1.732，√30≈5.477，那么√300000≈ 547. 7 ．
【答案】547.7．
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【分析】根据被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：√30≈5.477，
可得出：√300000≈547.7；
故答案为：547.7．
【点评】本题考查算术平方根的性质，正确计算是解题关键．
17．已知a，b为互不相等的非零实数，满足a2（b+c）＝b2（c+a）＝8，则c2（a+b）+2abc＝ ﹣ 8 ．
【答案】﹣8．
【分析】根据a2（b+c）＝b2（c+a）＝8，可得（a﹣b）（ac+bc+ab）＝0，进而得出ac+bc+ab＝0，再
根据a2（b+c）＝8，可得abc＝﹣8，最后根据c2（a+b）+2abc＝c（ac+bc）+2abc＝﹣abc+2abc＝abc
得出答案．
【解答】解：由条件可得a2b+a2c﹣b2c﹣b2a＝0，
即c（a+b）（a﹣b）+ab（a﹣b）＝0，
则（a﹣b）（ac+bc+ab）＝0．
∵a≠b，
∴ac+bc+ab＝0，
可得ab+ac＝﹣bc，ac+bc＝﹣ab．
由条件可知a（ab+ac）＝8，
∴a（﹣bc）＝8，
即abc＝﹣8．
∴c2（a+b）+2abc＝c（ac+bc）+2abc＝﹣abc+2abc＝abc＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键．
18．某乡镇今年葡萄大丰收，产量达到4.8万吨，比去年增产了二成，该乡镇去年葡萄的产量是 4 万
吨．
【答案】4．
【分析】比去年增产了2成，即比去年增产了20%；把去年的产量看作单位“1”，则今年的产量是去
年的（1+20%），已知今年产量是4.8万吨，运用除法即可求出去年葡萄的产量．
【解答】解：4.8÷（1+20%）
＝4.8÷1.2
＝4（万吨），
故答案为：4．
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【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率．
19．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”
给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．
请依据上述规律，写出（x﹣2）5展开式中含x4项的系数是 ﹣ 1 0 ．
【答案】﹣10．
【分析】先总结规律得（a+b）n中第二项为nan﹣1b，再得出（x﹣2）5展开式中含x4项的项，即可得所
求系数．
【解答】解：由（a+b）n中第二项为nan﹣1b，
得（x﹣2）5展开式中含x4项的项是5x5﹣1•（﹣2），
故所求系数是﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题主要考查多项式展开式，解题关键是找到规律．
20．已知M＝2ab﹣3a+1，N＝a+3ab﹣5当a为任意数值时，5M﹣3N的值为定值，则b的值为 1 8 ．
【答案】18．
【分析】根据整式的加减运算法则计算出5M﹣3N的值，由题意可知5M﹣3N的值与a的值无关，则a
的系数为零，由此即可求解．
【解答】解：5M﹣3N
＝5（2ab﹣3a+1）﹣3（a+3ab﹣5）
＝ab﹣18a+20，
由条件可知5M﹣3N的值与a的值无关，
∵ab﹣18a+20＝a（b﹣18）+20，
∴b﹣18＝0，
∴b＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查整式的运算，掌握整式的混合运算方法，以及与某未知数无关则该未知数的系
数为零的计算方法是解题的关键．
21．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|b﹣a|−√b2−√3 (a+b) 3= ﹣ b ．
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【答案】﹣b．
【分析】根据数轴得到b＜0〈a，|b|〉|a|，故b﹣a＜0，a+b＜0，化简计算即可
【解答】解：∵b＜0〈a，|b|〉|a|，
∴b﹣a＜0，a+b＜0，
∴原式＝a﹣b﹣（﹣b）﹣（a+b）＝﹣b，
故答案为：﹣b．
【点评】此题考查利用数轴判断式子的符号，正确计算是解题关键．
22．已知√a+b−33+|b+3|＝b+3，x为√a+b的整数部分，y为√a+b的小数部分，则3x﹣2y的值为
25−2√33 ．
【答案】25−2√33．
【分析】求出x、y的值是解决问题的关键．由√a+b−33+|b+3|=b+3，可得a+b＝33，再根据x
为√a+b的整数部分，y为√a+b的小数部分，确定x、y的值代入计算即可．
【解答】解：∵√a+b−33+|b+3|=b+3，√a+b−33≥0
∴a+b＝33．
∵5＜√33＜6，x为√a+b的整数部分，y为√a+b的小数部分，
∴x＝5，y=√33−5．
∴3x−2y=15−2√33+10=25−2√33．
故答案为：25−2√33．
【点评】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点是关键．
23．如图，将一个半径为1的圆沿数轴正方向滚动，已知点A在数轴上对应的数是1，则滚动一周后点A
的对应点A 所表示的数为 2 + 1 ．
1
π
【答案】2 +1．
【分析】利π用圆的周长公式解答即可．
【解答】解：∵圆的半径为1，
∴圆的周长为2 ，
∵点A在数轴上π对应的数是1，
∴点A 对应的数为2 +1，
1
π
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故答案为：2 +1．
【点评】本题π考查了数轴和圆的周长的求法，关键是掌握圆的周长公式．
{ 2⊗1=k+1
24．定义一种新运算为a b＝ax+by，例如（﹣2） 3＝﹣2x+3y．若 的解满足x﹣y≤4，
1⊗2=3k−1
⊗ ⊗
则满足条件的k的取值范围是 k ≥﹣ 1 ．
【答案】k≥﹣1．
【分析】根据新定义运算法则列出二元一次方程组，求出方程组的解，根据x﹣y≤4列不等式求解即
可．
【解答】解：由题意可得：a b＝ax+by，
{ 2⊗1=k+1 ⊗
所以 ，
1⊗2=3k−1
{ 2x+ y=k+1①
可得： ，
x+2y=3k−1②
化简得：x﹣y＝﹣2k+2，
所以﹣2k+2≤4，
所以k≥﹣1，
故答案为：k≥﹣1．
【点评】本题考查了新定义，以及二元一次方程组、解一元一次不等式，正确计算是解题关键．
25．对于一个三位数m，其各个数位上的数字互不相等，若m的百位数字与个位数字之和等于十位数字
的2倍，则称m为“凤凰数”．例如：357，∵3+7＝5×2，∴357是“凤凰数”；469，∵4+9≠6×2，
∴469不是“凤凰数”，则278（是，不是） 不是 “凤凰数”；若“凤凰数”m的各个数位上的
数字之和能被7整除，则满足条件的m的最小值是 57 9 ．
【答案】不是，579．
【分析】首先判断给定数字是否为“凤凰数”依据是“凤凰数”的定义，即百位数字与个位数字之和
等于十位数字的2倍．然后求满足条件的“凤凰数”m的最小值，需要先设出十位数字，根据定义得
到百位与个位数字和，再结合数字和能被7整除确定十位数字，进而确定百位和个位数字．
【解答】解：2+8＝10，
10≠7×2，
278不是“凤凰数”；
设“凤凰数”m=abc（a，b为正整数，c为整数），
所以a+c＝2b，
因为各个数位上的数字之和能被7整除，
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所以a+b+c＝7k（k为整数），
即3b＝7k，
要使m的值最小，
所以b＝7，
a+c＝14，
a最小是5，c＝14﹣5＝9，
这个数为579．
故答案为：不是，579．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据“凤凰数”的定义进行解答．
三．解答题（共9小题）
26．已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．
（1）求A﹣2B；
（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将A、B代入，然后去括号、合并同类项求解；
（2）与x的取值无关说明x的系数为0，据此求出y的值．
【解答】解：（1）A﹣2B＝2x2+3xy+2y﹣2（x2﹣xy+x）
＝2x2+3xy+2y﹣2x2+2xy﹣2x
＝5xy+2y﹣2x；
（2）5xy+2y﹣2x＝（5y﹣2）x+2y，
∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴5y﹣2＝0
2
解得：y= ．
5
【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．
27．一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，可将这个数记作ab，类似的，一个三位数可记作
abc，其中a是百位数字，b是十位数字，c是个位数字．
【基础应用】
（1）①a6= 1 0 a + 6 （用含a的式子表示）；
②若4a+b7=72，则a＝ 5 ，b＝ 2 ；
【能力提升】
（2）①若三位数aba是7的倍数，求a与b的数量关系；
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②若ab×ba=mkm，则k＝ 5 ；
【思维拓展】
（3）是否存在两位数ab=b2−a2，若存在，求出符合要求的两位数ab，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①10a+6，；②5，2；（2）①a+b＝7k（k为整数），②5；（3）存在，理由见解
析．
【分析】（1）根据两位数和三位数的位值表达式即可求出；
（2）①根据三位数的位值表达式，再写成7的倍数形式即可求出a与b的数量关系；②写出ab×ba
和mkm的表达式然后进行化简，由左右两边相等即可得出k的值；
（3）利用假设法成立，把等式进行化简，组成方程组即可求出a、b的值．
【解答】解：（1）①∵ab表示十位数字是a，个位数字是b，
∴a6=10a+6，
故答案为：10a+6；
②由4a+b7=72，则40+10b+a+7＝72，
所以10b+a＝25，
因为b＞0，a＞0，
所以b＝2，a＝5，
故答案为：5，2；
（2）①∵aba=101a+10b=7(14a+b)+3(a+b)是7的倍数，
∴3（a+b）是7的倍数，
∴a+b＝7k（k为整数），
故答案为：a+b＝7k（k为整数）；
②∵ab×ba=(10a+b)(10b+a)=10a2+101ab+10b2＝10（a2+b2）+101ab，
mkm=101m+10k，
∴10（a2+b2）+101ab＝10k+101m，
∴k＝a2+b2，
∴a＝1，b＝2时，12×21＝252，k＝5，
故答案为：5；
（3）存在，ab=48，
理由：若10a+b＝b2﹣a2
则a2+10a＝b2﹣b
（a+5）2﹣25＝（b﹣0.5）2﹣0.25
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（a+5）2﹣（b﹣0.5）2＝24.75
（a+b+4.5）（a﹣b+5.5）＝24.75
（2a+2b+9）（2a﹣2b+11）＝99
∵2a+2b+9与2a﹣2b+11均为奇数，且2a+2b+9＞11
{2a+2b+9=33
∴只有 ，
2a−2b+11=3
{a=4
∴ ，
b=8
∴存在a＝4，b＝8使ab=b2﹣a2．
【点评】本题考查的是将数字的位值转化为代数式表达式，以及代数式组成方程组求解；本题还考查
了三位数的倍数性质及乘法运算的特殊形式．
28．十一黄金周期间，淮安动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，
负数表示比前一天少的人数）．
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
人数变化 +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2
（单位：万
人）
（1）若9月30日的游客人数记为a万人，请用含a的代数式表示10月2日的游客人数；
（2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？
（3）若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间淮安动物园门票收入是多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）10月2日的游客人数＝a+1.6+0.8．
（2）分别用a的代数式表示七天内游客人数，再找出最多的人数，以及对应的日期即可．
（3）先把七天内游客人数分别用a的代数式表示，再求和，把a＝2代入化简后的式子，乘以10即可
得黄金周期间该公园门票的收入．
【解答】解：（1）a+2.4（万人）；
（2）七天内游客人数分别是a+1.6，a+2.4，a+2.8，a+2.4，a+1.6，a+1.8，a+0.6，
所以3日人最多．
（3）（a+1.6）+（a+2.4）+（a+2.8）+（a+2.4）+（a+1.6）+（a+1.8）+（a+0.6）＝7a+13.2＝
7×2+13.2＝27.2（万人），
∴黄金周期间该公园门票收入是27.2×10000×10＝2.72×106（元）．
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【点评】本题主要考查了列代数式和正负数的意义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，列式计算，注意单位的统一．
29．综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“（a+b）”的展开式”开展主题学习．
【阅读发现】
我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了（a+b）n的展开式（按a的次数由
大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示．
（1）观察图1中的规律可知，图中“★”表示的数是 4 ，（m﹣1）3的展开式为 m 3 ﹣ 3 m 2 + 3 m ﹣
1 ；
【运用规律】
(m+2024) 3−(m−2024) 3
（2）判断代数式 的值是否会随着m的变化而变化，若不变，求这个值；
3m2+20242
若变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图是一个棋盘，由8×8个黑白交替的正方形方块组成，A，B分别表示起点和终点，有一颗棋
子在A方块处．棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从
A方块出发7步走到B方块，则共有 3 4 种不同的走法．（图中★表示的是其中的一种走法）
【答案】（1）4；m3﹣3m2+3m﹣1．
（2）4048．解题过程见解答．
（3）34．
【分析】（1）根据图1的规律，得到“★”表示的数是3+1的值，再用a＝m，b＝﹣1，代入（a+b）
3＝a3+3a2b+3ab2+b3，即得到（m﹣1）3的展开式．
（2）根据（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个公式先化简分式的分子，再约分．
（3）类比图1的“树状图”，根据棋盘的实际情况，得出每步的可能情况，最后得到走法的总数．
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【解答】解：（1）“★”表示的数是3+1＝4，（m﹣1）3＝m3+3m2•（﹣1）+3m•（﹣1）2+（﹣1）3
＝m3﹣3m2+3m﹣1．
故答案为：4；m3﹣3m2+3m﹣1．
（2）∵（m+2024）3＝m3+3m2•2024+3m•20242+20243，（m﹣2024）3＝m3+3m2•（﹣2024）+3m•（﹣
2024）2+（﹣2024）3，
∴（m+2024）3﹣（m﹣2024）3＝2（3m2•2024+20243）＝4048（3m2+20242），
(m+2024) 3−(m−2024) 3 4048(3m2+20242 )
∴ = =4048．
3m2+20242 3m2+20242
（3）根据题意，从A到B的“树状图”如下，
14+20＝34．
故答案为：34．
【点评】本题前两问考查了（a+b）n的展开式特点，根据展开式的特点正确展开并化简是解答的关键．
第三问难度较大，要借鉴“树状图”的方法得出所有符合题意的走法．
30．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和
理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别
为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：
（m+n）2＝m2+2mn+n2．
（1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且a＜b＜c）和一个小正方形拼成的大
正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式；
（2）如图2，在（1）的条件下，若a+b＝7，c＝5，求阴影部分的面积；
（3）如图3，以（1）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于
以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形ABCD的面积．
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【答案】（1）a2+b2＝c2．证明见解析；
（2）阴影部分的面积＝1m2；
（3）四边形ABCD的面积＝0.5m2．
【分析】（1）从整体看，大正方形的边长为c，那么面积表示为：c2；从构成看，大正方形由四个直
1
角三角形和一个小正方形组成，可表示为： ab×4+（b﹣a）2，让两个式子相等，整理即可；
2
（2）根据a+b＝7，c＝5，以及（1）中得到式子可得a2+b2和ab的值，阴影部分的面积为：（b﹣a）
2，展开后进行整理，然后计算即可；
（3）易得图3中两个长方形的边长均为c﹣a和c﹣b，那么它们的面积相等．根据边长为a的正方形
的面积+边长为b的正方形的面积+2个小长方形的面积﹣边长为c的正方形的面积＝阴影部分的面积，
把相关数值代入计算即可得到四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）a2+b2＝c2．
∵图2从整体看，大正方形的边长为c，．
∴面积表示为：c2；
∵从构成看，大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成，
1
∴面积可表示为： ab×4+（b﹣a）2，
2
1
∴ ab×4+（b﹣a）2＝c2，
2
∴a2+b2＝c2；
（2）∵c＝5，
∴c2＝25，
∴a2+b2＝25．
∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝49．
∴a2+b2+2ab＝49．
∴25+2ab＝49．
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∴2ab＝24．
∵阴影部分的面积＝（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab，
∴阴影部分的面积＝25﹣24＝1（m2）；
（3）∵图3中两个长方形的边长均为c﹣a和c﹣b，
∴两个长方形的面积相等．
∴a2+b2+2×四边形ABCD的面积﹣c2＝S阴影 ，
∵a2+b2＝c2，阴影部分的面积为1，
∴2×四边形ABCD的面积＝1．
∴四边形ABCD的面积＝0.5（m2）．
【点评】本题考查完全平方公式的应用．根据图形中最大面积的不同表示方法得到相关等式是解决本
题的关键．
31．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分
1 2x
式，例如：分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．
x+1 x2+1
x 2x2 2x2
例如，分式 ， 是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： =
x+1 x+1 x+1
2x2+2x−2x 2x(x+1) 2x 2x+2−2 2
= − =2x− =2x−2+ ．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
4x+1
（1）将假分式 化为一个整数与一个真分式的和；
2x−1
x2
（2）若x是整数，且假分式 的值为正整数，求x的值；
x−2
4x2+7x−3 1
（3）若假分式 化为一个整式与一个真分式的和的形式为A+ ，A，B均为关于x的多项
x+2 B
式，若A＝4a﹣9，B＝b﹣10，求a2+b2+ab的最小值．
3
【答案】（1）2+ ；
2x−1
（2）3或4或6；
（3）a2+b2+ab的最小值为75．
【分析】（1）仿照例题操作即可得解；
（2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解；
4x2+7x−3
（3）先将式 化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可．
x+2
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4x+1
【解答】解：（1）
2x−1
4x−2+3
=
2x−1
4x−2 3
= +
2x−1 2x−1
2(2x−1) 3
= +
2x−1 2x−1
3
=2+ ；
2x−1
x2
（2）∵
x−2
x2−4+4
=
x−2
x2−4 4
= +
x−2 x−2
(x+2)(x−2) 4
= +
x−2 x−2
4
=x+2+ ，
x−2
x2
∵x是整数，且假分式 的值为正整数，
x−2
∴x2＞0，x﹣2＞0，
∴x﹣2＝1或2或4，
∴x＝3或4或6；
4x2+7x−3
（3）
x+2
4x2+8x−x−3
=
x+2
4x(x+2)−x−3
=
x+2
−x−3
＝4x+
x+2
1
＝4x﹣1− ，
x+2
4x2+7x−3 1
∵ =A + ，
x+2 B
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∴A＝4x﹣1＝4a﹣9，B＝﹣x﹣2＝b﹣10，
∴a＝x+2，b＝8﹣x，
∴a2+b2+ab
＝（x+2）2+（﹣x+8）2+（x+2）（﹣x+8）
＝x2﹣6x+84
＝（x﹣3）2+75，
∵（x﹣3）2≥0，
∴当x﹣3＝0，即 x＝3 时，有最小值75，
∴a2+b2+ab的最小值为75．
【点评】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
32．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换
机）．
（1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为 1 ， 2 ；
（2）你认为当输入数等于 0 时（写出一个即可），其输出结果为0；
（3）你认为这个“数值转换机”不可能输出 负 数；
（4）有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是 5 n + 2
（用含自然数n的代数式表示）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别将4、7代入数值转换机，计算即可得到输出结果；
（2）当输入数字为0得到结果为0；
（3）数值转换机不可能输出负数；
（4）根据数轴转换机的规律表示出结果即可．
【解答】解：（1）若输入的数字为4时，4＞2，得到4+（﹣5）＝﹣1，
﹣1＜2，得到相反数为1，倒数为1，输出结果为1；
若输入数字为7时，7＞2，得到7+（﹣5）＝2，
得到相反数为﹣2，绝对值为2，输出结果为2；
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（2）根据题意得：输入数字为0（5、10、15…5的倍数均可），结果为0；
（3）这个“数值转换机”不可能输出负数；
（4）归纳总结得：小明输入的正整数是5n+2．
故答案为：1，2；0；负；5n+2．
【点评】此题考查了倒数、相反数和绝对值的知识，弄清题中的图表表示的意义是解本题的关键．
33．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新
的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为 1 3 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方
形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 7 个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），根据图1和图2中阴影部分的面积分别为
1和12，列出方程求出a2+b2即可；
（2）以a，b为边的长方形的面积为ab，求出大长方形的面积，看里面有几个ab即可；
（3）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去5个小正方形的面积，根据题中条件求出a+b，a﹣b整
体代入求解即可．
【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），
由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，
得ab＝6，a2+b2＝13，
故答案为：13；
（2）（2a+b）（a+3b）
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＝2a2+6ab+ab+3b2
＝2a2+7ab+3b2，
∴需要以a，b为边的长方形7个，
故答案为：7；
（3）∵ab＝6，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝5，
∵（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝1，
∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2
＝a2﹣b2+4ab
＝（a+b）（a﹣b）+4ab
＝5+24
＝29．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查代数式的几何意义，熟练掌握完全平方公式的变
形是解题的关键．
34．某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼
成的图形面积来解释．
例如，图1可以解释（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn．于是小明拼出如图2所示的边长为（a+b+c）
的正方形ABCD，用不同方法表示正方形ABCD的面积，即可得到一个代数恒等式．
（1）这个代数恒等式是：（a+b+c）2＝ a 2 + 2 a b + b 2 + 2 b c + 2 a c + c 2 ；
（2）小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题：
①已知，a＞b＞c＞0，M＝a+b+c，N＝ab+bc+ac，且M2＞4N．
求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
②在①的条件下，若M＝15，N＝56，且a，b，c为整数，求a，b，c的值．
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【答案】（1）a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2；
（2）①详见解析；②10，3，2．
【分析】（1）根据图2图形的面积即可得解；
（2）①将M2＞4N整理可得a（a﹣b﹣c）+b（b﹣a﹣c）+c（c﹣b﹣a）＞0，再由a＞b＞c＞0得b
（a﹣b+c）+c（a﹣c+b）＞0，进而推出a＞b+c，不符合三边关系；
15
②结合①易得a＞ ，进而再根据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝113，所以7.52＜a2＜
2
112，得到a＝8或9或10，再分别代入验证即可．
【解答】解：（1）由图2图形的面积可知（a+b+c）2＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2；
故答案为：a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2；
（2）①由题意得，（a+b+c）2＞4（ab+bc+ac），
∴（a+b+c）2﹣4（ab+bc+ac）＞0，
整理得：a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＞0，
即a2﹣ab﹣ac+b2﹣ab﹣bc+c2﹣bc﹣ac＞0，
∴a（a﹣b﹣c）+b（b﹣a﹣c）+c（c﹣b﹣a）＞0，
∴a（a﹣b﹣c）＞b（a﹣b+c）+c（a﹣c+b），
∵a＞b＞c＞0，
∴b（a﹣b+c）+c（a﹣c+b）＞0，
故于是有a（a﹣b﹣c）＞0，即a＞b+c，
所以a，b，c不能成为一个三角形的三条边长．
②由①得a＞b+c，
∵a+b+c＝15，
15
∴a＞ ，
2
又∵a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝113＜121，
∴7.52＜a2＜112，
∵a为整数，
∴a＝8 a＝9或a＝10，
第一种情况：当a＝8时，b+c＝7，
则ab+bc+ac＝a（b+c）+bc＝56，
故bc＝0，
所以a≠8；
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第二种情况：当a＝9时，b+c＝6，
故bc＝2，
又b＞c＞0，且b，c为整数，
所以由bc＝2得b＝2，c＝1，此时b+c≠6，
所以a≠9；
第三种情况：当a＝10时，b+c＝5，
故bc＝6，
又b＞c＞0，且b，c为整数，
所以由bc＝6得b＝3，c＝2，符合b+c＝5；
综上，a，b，c的值分别为10，3，2．
【点评】本题主要考查了完全平方公式、多项式、因式分解、三角形三边关系等内容，属于代数综合，
难度较大，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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