必背公式填空-答案_高中数学公式知识点默写填_G004-高中数学公式填空

基础知识大体检目 录 CONTENTS 第一部分：集合与常用逻辑用语 ................................................................................................... 3 第二部分：函数与导数及其应用 ................................................................................................... 4 第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形 ....................................................................... 9 第四部分：平面向量、数列与不等式 ......................................................................................... 13 第五部分：立体几何与解析几何 ................................................................................................. 17 第六部分：统计与概率 ................................................................................................................. 27 第七部分：复数与计数原理 ......................................................................................................... 29 第八部分：坐标系与参数方程 ..................................................................................................... 30第一部分：集合与常用逻辑用语 1．子集个数： 含 n 个元素的集合有 2 n 个子集，有 2 n  1 个真子集，有 2 n  1 个非空子集，有 2 n  2 个非 空真子集. 2．常见数集： 自然数集： N ，正整数集： N * 或 N + ，整数集： Z ，有理数集：Q，实数集： R . 3．空集： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 4．元素特点： 互异性、无序性、确定性. 5．集合的的运算： 交集运算、并集运算、补集运算. 6．充要条件的判断： p  q ， p 是 q 的充分条件； p  q ， q 是 p 的必要条件； p  q ， p , q 互为充要条件； 若命题 p 对应集合 A ，命题q对应集合 B ，则pq等价于AB，q p等价于 B  A ， p  q 等价于 A  B ; 注意区分：“甲是乙的充分条件(甲 ．．．．  乙)”与“甲的充分条件是乙(乙甲)”. 7．全称量词与存在量词： (1)全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用  表示； 全称命题p：  x  M , p ( x ) ；全称命题p的否定  p：xM,p(x)； (2)存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用  表示； 特称命题p：  x  M , p ( x ) ；特称命题p的否定p：  x  M ,  p ( x ) .第二部分：函数与导数及其应用 1．函数的定义域： 分母  0； 偶次被开方数 ≥ 0； 0次幂的底数  0； 对数函数的真数  0； 2．分段函数： 值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论； 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的交集；值域是各段值域的并集. 3．函数的单调性： 设 x 1 , x 2  [ a , b ] ，且 x 1  x 2 ，那么： (1)  x 1  x 2   f  x 1   f  x 2    0  f  x 1 x  1   f x 2  x 2   0  f ( x ) 在  a , b  上是增函数； f x  f x  (2)x x f x  f x 0 1 2 0 f(x)在 1 2  1 2  x x 1 2  a , b  上是减函数； (3)如果 f ( x )  0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f(x)0，则 f ( x ) 为减函数； (4)复合函数的单调性：根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．函数的奇偶性: (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件； ．．．． (2) f x是奇函数  f (  x )   f ( x ) ； f x是偶函数  f (  x )  f ( x ) ; (3)奇函数 f x在0处有定义，则 f  0   0 ; (4)在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性; (5)偶函数图象关于y轴轴对称、奇函数图象关于原点中心对称. 5．函数的周期性： 周期有关的结论：(约定a＞0) (1) f ( x )  f ( x  a ) ，则 f ( x ) 的周期T=a； 1 1 (2) f(xa)f(x)，或 f(xa) (f(x)0)，或 f(xa) (f(x)0),则 f(x)的 f(x) f(x)周期T= 2 a ； (3) f ( x  a )  f ( x  a ) 或 f ( x  2 a )  f ( x ) ，则 f ( x ) 的周期为 2 a ； (4) f ( x  m )  f ( x  n ) ，则 f(x)的周期为 m  n . 6．函数的对称性： ①y f(x)的图象关于直线 x  a 对称 f(ax) f(ax)  f(2ax) f(x)； ②y f(x)的图象关于直线 x  a  2 b 对称 f(ax) f(bx)  f(abx) f(x)； ③ y  f ( x ) 的图象关于点  a  2 b , 0  对称  f ( a  x )   f ( b  x ) ； ④ y  f ( x ) 的图象关于点  a  2 b , c  对称 f(ax)2c f(bx) 口诀：和为定值为对称，差为定值为周期. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7．分数指数幂与根式的性质： (1) a mn  n a m ( a  0 , m , n  N * ，且 n  1 )； (2) a  mn  a 1 mn  n 1 a m ( a  0 , m , n  N * ，且 n  1 )； (3) ( n a ) n  a ； (4)当 n 为奇数时，n an a；当 n 为偶数时， n a n  | a | . 8．指数性质： (1) a  m  1 m a ； (2) a 0  1  a  0  ； (3)  a m  n  a m n ； (4) a r  a s  a r  s ； (5) a a r s  a r  s . 9．对数运算规律： (1)对数式与指数式的互化： lo g a N  b  ab N ( a  0 , a  1 , N  0 ) ； (2)对数恒等式： lo g a 1  0 ，log a 1， a lo g a a b  b． lg 2 + lg 5  1，lne1； (3)对数的运算性质： M ①加法：log M log N  log MN； ②减法：log M log N log ； a a a a a a N③数乘： n lo g a M  lo g a M n ( n  R ) ； ④恒等式： a log a N  N； ⑤log bn  am n m lo g ba log N ； ⑥换底公式：log N  m . a log a m 10．指对函数图象与性质： 指数函数 y  a x ( a  0 , a  1 ) 对数函数 y  lo g a x ( a  0 , a  1 ) (当 a  e 时，y=lnx；当 a  1 0 时，y= lg x ) a>1时的图象 01时的图象 00，当且仅当a1时取等号)，a ≤2(a<0，当且仅当 a a a   1 时取等 号)； ③ a b  a  2 b  2 (a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；④ 1 a 2  1 b ≤ a b ≤ a  2 b ≤ a 2  2 b 2 (a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)． 14．柯西不等式： 若a，b，c，d都是实数，则  a2 b2 c2 d2  a c  b d  2 ，当且仅当 a d  b c 时，等号 成立． 15．绝对值不等式的解法: 不等式 a  0 a  0 a  0 |x|a { ∣x  a  x  a }   |x|a { ∣x x  a 或 x   a } { x  R ∣ x  0 } R第五部分：立体几何与解析几何 1．三视图与直观图： 2 原图形与直观图面积之比为 . 4 2．常见几何体表面积公式： 圆柱的表面积S  2 π r ( r  l ) 圆锥的表面积S  π r ( r  l ) 圆台的表面积 S  π  2 r1  r 22  r l1  r 2 l  球的表面积S  4 π R 2 3．常见几何体体积公式： 柱体的体积 V  S h 锥体的体积 V  1 3 S h 台体的体积 V  1 3  S 上  S 下  S 上 S 下  h 球体的体积V  4 3 π R 3 4．常见空间几何体的有关结论： (1)棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底 面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的比的平方；相应 小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的比的平方． (2)长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a ，b，c，则体对角线为 a2 b2 c2 ， 表面积为2abacbc，体积 V  a b c . (3)正方体的棱长为a，则体对角线长为 3a，表面积为 6 a 2 ，体积V  a3. (4)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径＝长方体的体对角线长. 球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径＝正方体的边长，正方体的棱切球的直 径=正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径=正方体的体体对角线长. (5)正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：①高： 3 6 a ；②对棱间距离： 2 2 a ；③内切球半径： 1 6 2 a ；④外接球半径： 4 6 a . 5．立体几何常用的八个定理： (1)直线与平面平行的判定定理 自然语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 简称：线线平行，则线面平行． 图形语言：如图所示． 符号语言：a ,b,且a//ba//. (2)直线与平面平行的性质定理 自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行． 简称：线面平行，则线线平行． 图形语言：如图所示． 符号语言： a / / , a , b a / / b       . (3)平面与平面平行的判定定理 自然语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 简称：线面平行，则面面平行． 图形语言：如图所示． 符号语言： a , b , a b A , a / / , b / / / /           . (4)平面与平面平行的性质定理 自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 简称：面面平行，则线线平行． 图形语言：如图所示．符号语言： / / , a , b a / / b         . (5)直线与平面垂直的判定定理 自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言：如图所示． 符号语言： m , n , m n A , l m , l n l           . (6)直线与平面垂直的性质定理 自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言：如图所示． 符号语言： a , b a / / b      . (7)平面与平面垂直的判定 自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 图形语言：如图所示． 符号语言： l , l         . (8)平面与平面垂直的性质 自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 图形语言：如下图所示． 符号语言：, l,AB,ABl AB.6．空间向量中的夹角和距离公式： (1)空间中两点 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) ， B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 的距离d=  x 1  x 2  2   y 1  y 2  2   z 1  z 2  2 . (2)异面直线夹角： 0 , π 2     ，且 c o s   c o s  a , b   | a a  b || b | (两直线方向向量为 a , b ).  π (3)线面角： 0, ，且sin    2 c o s  l, n   | l l  || n n | (l，n为直线的方向向量与平面的法 向量). (4)二面角： [ 0 , π ]   ，且 c o s   c o s  n 1 , n 2   | n n 1 1  || n n 2 2 | (两平面的法向量分别为 n 1 和n ). 2 (5)点到面的距离：平面的法向量为 n ，平面内任一点为 N ，点 M 到平面的距离 d= A B n | n  | . 7．直线与方程： (1)直线的斜率： k  ta n  y x 1 1   y x 2 2 . (为直线的倾斜角， A  x 1 , y 1  , B  x 2 , y 2   x 1  x 2  为直线上的两点). (2)直线的五种方程： ①斜截式： y  k x  b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距)； ②点斜式： y  y 0  k  x  x 0  (直线过l点 P ( x 0 , y 0 ) ，且斜率为k)； yy xx ③两点式： 1  1 ( y y x x 2 1 2 1 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) , x 1  x 2 , y 1  y 2 )； ④截距式： x a  y b  1 (a,b分别为直线l的横、纵截距， a b  0 )； ⑤一般式：AxByC 0(其中 A , B 不同时为0). (3)两条直线的平行与垂直  直线l :yk xb, l :yk xb ； 1 1 1 2 2 2 ①若l 与l 平行 k k 且b b ；②若l 与l 垂直 kk 1. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 直线 l1 : A 1 x  B 1 y  C 1  0 , l2 : A 2 x  B 2 y  C 2  0 ； ①若 l1 与 l2 平行  A A 1 2  B B 1 2 且 A A 1 2  C C 1 2 ；②若 l1 与 l2 垂直  A 1 A 2  B 1 B 2  0 . (4)距离计算 ①点到点的距离公式： d   x 1  x 2  2   y 1  y 2  2 (两点为 A  x 1 , y 1  , B  x 2 , y 2  ). Ax By C ②点到直线的距离公式：d  0 0 (点Px ,y ，直线 0 0 A2 B2 l : A x  B y  C  0 ). ③ 平 行 直 线 间 距 离 公 式 ： d  C A 1  2  C 2 B 2 ( 直 线 l1 : A x  B y  C 1  0 和 直 线 l2 : A x  B y  C 2  0 ). 8．圆与方程： (1) 圆 的 一 般 方 程 ： x 2  y 2  D x  E y  F  0  D E ， 圆 心 为  ,  ， 半 径 为  2 2 1 2 D 2  E 2  4 F  D 2  E 2  4 F  0  ； (2)圆的标准方程： ( x  a ) 2  ( y  b ) 2  r 2 ，圆心为 ( a , b ) ，半径为r ； (3)圆的参数方程： x y a b r r c s o s in , , ( )         为 参 数 ，圆心为 ( a , b ) ，半径为 r . 9．点与圆的位置关系 圆的标准方程 ( x  a ) 2  ( y  b ) 2  r 2 ，点 M  x 0 , y 0  ． (1)  x 0  a  2   y 0  b  2  r 2  点M在圆上； (2)  x 0  a  2   y 0  b  2  r 2  点M在圆外； (3)  x 0  a  2   y 0  b  2  r 2  点M在圆内．10．直线与圆的位置关系： 设圆 C : ( x  a ) 2  ( y  b ) 2  r 2 ，直线 l : A x  B y  C  0 ，圆心 C ( a , b ) 到直线l的距离为d， 由  ( A x x   a ) B 2 y   ( C y   b 0 ) 2  r 2 , 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为 Δ. 几何法 位置关系 公共点个数 d 代数法 与r 的关系 Δ与 0 的关系 相 2 d r 交   0 相 1 d r 0 切 相 0 离 d  r   0 11．圆与圆的位置关系： 设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置，关系可用下表来表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 d 与 R , r 的关系 d  R  r d  R  r R  r  d  R  r d  R  r d  R  r 公共点 0 1 2 1 0 个数 公切线 4 3 2 1 0 条数 12．直线与圆相交所得弦长： 如图所示，设直线 l 被圆C截得的弦为AB，圆的半径为 r ，圆心到直线的距离为 d ， 则 A B  2 r2 d2 .13．公共弦方程： 设圆 C 1 : x 2  y 2  D 1 x  E 1 y  F 1  0 ，圆 C 2 : x 2  y 2  D 2 x  E 2 y  F 2  0 ，若两圆相交，则两 个圆公共弦所在直线方程为  D 1  D 2  x   E 1  E 2  y  F 1  F 2  0 . 14．椭圆 定义 P   M || M F 1 |  | M F ∣2  2 a ，且 2 a  F 1 F 2  标准方程 x a 2 2  y b 2 2  1 ( a  b  0 ) y a 2 2  x b 2 2  1 ( a  b  0 ) 图形 范围 a x a,b y b 几 何 性 质  b x b ,  a y a 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 F 1 (  c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) F 1 ( 0 ,  c ) , F 2 ( 0 , c ) 顶点 A B 1 1 ( (  0 a , ,  0 b ) ) , , A B 2 2 ( ( a 0 , 0 , b ) ) A B 1 1 ( ( 0  , b  , a 0 ) , ) , A B 2 2 ( ( 0 b , , a 0 ) ) 长短 长轴A A 的长为 1 2 轴长 2 a ；短轴B B 的长为 1 2 2 b 焦距 F 1 F 2  2 c 离心率 e c a   0 ,1  a,b,c c2 a2 b2 的关系15．双曲线 定义 P  M |MF ||MF∣2a，且2a FF  1 2 1 2 标准方程 x a 2 2  y b 2 2  1 ( a  0 , b  0 ) y2 x2  1(a0,b0) a2 b2 图形 范围 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 几 何 性 质 F 1 (  c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) F(0,c),F (0,c) 1 2 顶点 A B 1 1 ( (  0 a , ,  0 b ) ) , , A B 2 2 ( ( a 0 , 0 , b ) ) A B 1 1 ( ( 0  , b  , a 0 ) , ) , A B 2 2 ( ( 0 b , , a 0 ) ) 实虚 实轴A A 的长为 1 2 轴长 2 a ；虚轴B B 的长为 1 2 2 b 焦距 FF 2c 1 2 渐近线 y   b a x y   a b x 离心率 e c a   1 ,    a , b , c 的关系 c 2  a 2  b 216．抛物线 标准方程 y ( 2 p   2 0 p ) x y ( 2 p    0 2 ) p x x ( 2 p   2 0 p ) y x ( 2 p    0 2 ) p y 图形  p   p   p  p 焦点 F ,0 F ,0 F0,  F0,  2   2   2  2 准线方程 几 何 性 质 x   p 2 x  p 2 y   p 2 y  p 2 范围 x 0,yR x 0 , y  R x  R , y 0 xR,y 0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O ( 0 , 0 ) 离心率 e  1 开口 向右 向左 向上 向下 P ( x ,1 y )1 的 焦半径 | P F | p 2  x 1 | P F | p 2  x 1 | P F | p 2  y 1 | P F | p 2  y 1 焦点弦长 p   x 1  x 2  p   x 1  x 2  p   y 1  y 2  py y  1 2 17．抛物线的焦点弦： 如图， A B 是抛物线 y 2  2 p x ( p  0 ) 过焦点的一条弦，设 A ( x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ，相应的准 线为 l ，则 p (1)|AF| x ， 2 1 | B F | p 2  x 2 . (2) AB  AF  BF = px x . 1 2 (3) x 1 x 2  p2 ，y y  p2. 4 1 2 1 1 2 (4)   . |AF| |BF| p(5)若直线 A B 的倾斜角为，则 | A F | 1 p c o s    ， | B F | 1 p c o s    ， | A B | s 2 in p 2   ， S A O B 2 s 2 p in  △  . 18．焦点三角形的面积( F 1 P F 2    )： (1)椭圆： S  b 2 ta n 2  ； (2)双曲线： S  b ta n 2 2 .  19．几何距离： (1)椭圆双曲线特有距离： ①长轴(实轴)： 2 a ；②短轴(虚轴)： 2 b ；③两焦点间距离： 2 c . (2)通径长：①椭圆、双曲线： 2 b a 2 ； ②抛物线： 2 p . 20．直线被曲线所截得的弦长公式： 若弦端点为 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 (1) | A B | 1 + k 2 x 1  x 2  1 + k 2   x 1  x 2  2  4 x 1 x 2 ； (2) | A B | 1 +  1 k  2 y 1  y 2  1 +  1 k  2   y 1  y 2  2  4 y 1 y 2 . 21．中点弦问题： 若椭圆和双曲线的焦点都在 x 上，P是弦 A B 的中点，则 b2 椭圆：k k   ；双曲线：k k  AB OP a2 AB OP b a 2 2 .第六部分：统计与概率 1．总体特征数的估计： (1)样本平均数： x  1 n  x 1  x 2  x n  ； (2)样本方差： s 2  1 n   x 1  x  2   x 2  x  2    x n  x  2  ； (3)样本标准差： s  1 x x2 x x2  x x2. n 1 2 n  2．概率公式： (1)互斥事件： P ( A B )  P ( A )  P ( B ) ；对立事件： P ( A )  1  P ( B ) ； (2)古典概型：基本事件的总数数为 N ，随机事件 A 包含的基本事件个数为 M ，则 事件 A 发生的概率为： P  A   N M ; (3)几何概型： P ( A )  试 验 构 的 成 全 事 部 件 结 A 果 的 构 区 成 域 的 长 区 度 域  长 面 度 积  或 面 体 积 积 或 等 体  积 等  . 3．离散型随机变量： (1)随机变量的分布列： ①随机变量分布列的性质： p i 0 ， n i 1 p i  p 1  p 2   p n  1. ②离散型随机变量： X x x … x … x 1 2 i n P p p … p … p 1 2 i n 均值(又称期望)： E  X   x p x p  x p  x p ， 1 1 2 2 i i n n 方差： n DX x E(X)2p x E(X)2 p x E(X)2 p + +x E(X)2 p . i i 1 1 2 2 n n i1 注：E(aX b)aEX b;D(aX b)a2DX ； ③二项分布(独立重复试验)：若 X ~ B ( n , p ) ,则 E  X   np, D  X   n p  1  p  . 注：P(X k)Ckpk(1p)nk. n(2)条件概率： P ( ∣B A )  P P ( A ( B A ) ) . (3)独立事件同时发生的概率： P ( A B )  P ( A ) P ( B ) . (4)线性回归直线一定经过样本的样本中心.第七部分：复数与计数原理 1．复数的基本概念： z  a  b i ( a ， b  R ) (1)实部： a ；虚部： b ； 虚数单位： i 2   1 . (2)模：|z|= a 2  b 2 . (3)共轭复数：z=abi. (4)在复平面内对应的点坐标为 ( a , b ) . (5)复数相等： a  b i  c  d i ( a , b , c , d  R )  a  c 且 b  d . 2．复数的基本运算： (1)加减法： ( a  b i )  ( c  d i )  ( a  c )  ( b  d ) i . (2)乘法： ( a  b i )  ( c  d i )  ( a c  b d )  ( a d  b c ) i . (3)除法： ( a  b i )  ( c  d i )  acbd bcad  i. c2 d2 c2 d2 注：对虚数单位 i ,有 i 4 n  1  i, i 4 n  2   1 , i 4 n  3   i, i 4 n  1 . 3．排列数公式： A mn  n ( n  1 ) ( n  2 ) ( n  m  1 )  ( n n  ! m ) ! ( n , m  N * ，且 m n )． 规定：0！＝1. 4．组合数公式： Am n(n1)(n2) (nm1) n! Cm  n   (n,mN*，且m n)． n Am m! m!(nm)! m 规定：C0 1. n 5．二项式定理： ( a  b ) n  C 0n a n  C 1n a n  1b   C kn a n  k b k   C nn b n  n  N *  . 二项式系数： ．．．．． C rn . 通项： T r  1  C kn a n  k b k .第八部分：坐标系与参数方程 1．极坐标与直角坐标的互化 (1)极坐标→直角坐标： x y c s o s in        ； (2)直角坐标→极坐标 ta 2 n x 2 y x ( y x 2 0 )        2．简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点， 半径为 r 的圆 r ( 0 2 π )    ≤  圆心为 ( r , 0 ) ， 半径为r的圆 2 r c o s π 2 π 2       ≤    π 圆心为 r， ，  2 半径为 r 2rsin(0≤π) 的圆 过极点，倾斜 (1)(R)或 角为的直线 π ( )      R (2)   和 π     过点 ( a , 0 ) ，与 极轴垂直的直 线 c o s a π 2 π 2           π 过点 a,  ，  2 与极轴平行的 直线 s in a ( 0 π )      3．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 xx tcos, 直线 yy tanxx   0 (t为参数) 0 0 y y tsin, 0 圆 x 2  y 2  r 2 xrcos,  (θ为参数) yrsin, x2 y2 椭圆  1(ab0) a2 b2 x y a b c s o s in , ,      (φ为参数)  a x2 y2 x , 双曲线  1(a0, b0)  cos (φ为参数) a2 b2  ybtan, x2pt2, 抛物线 y2 2px  (t为参数) y2pt,