文档内容
2007 年天津高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分．考试用时120
分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位
置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
（2）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14
（3） “ ”是“直线 平行于直线 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（4）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
（5）函数 的反函数是（ ）
A． B．C． D．
（6）设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 与 所成的角相等，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
（7）设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线
的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
（8）设等差数列 的公差 不为0， ．若 是 与 的等比中项，则 （
）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
（9）设函数 ，则 （ ）
A．在区间 上是增函数 B．在区间 上是减函数
C．在区间 上是增函数 D．在区间 上是减函数
（10）设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若对任意的
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
频数 1 2 3 10 1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．
（12） 的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．
（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 ，
， ，则此球的表面积为 ．
（14）已知两圆 和 相交于 两点，则直线 的
方程是 ．
（15）在 中， ， ， 是边 的中点，则 ．
（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子
涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色
也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
在 中，已知 ， ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
（18）（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．
现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ，
， ， 是 的中点． P
（Ⅰ）求 和平面 所成的角的大小；
（Ⅱ）证明 平面 ； E
A D
C
B（Ⅲ）求二面角 的大小．
（20）（本小题满分12分）
在数列 中， ， ， ．
（Ⅰ）证明数列 是等比数列；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）证明不等式 ，对任意 皆成立．
（21）（本小题满分14分）
设函数 （ ），其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当 时，证明存在 ，使得不等式 对任
意的 恒成立．
（22）（本小题满分14分）
设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点，
，原点 到直线 的距离为 ．
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）求 使得下述命题成立：设圆 上任意点 处的切线交
椭圆于 ， 两点，则 ．
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）D （8）B （9）A （10）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
（11） （12） （13）
（14） （15） （16）
三、解答题
（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在 中， ，由正弦定理，
．
所以 ．
（Ⅱ）解：因为 ，所以角 为钝角，从而角 为锐角，于是
，
，
．
．
（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解
决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件 ，“从乙盒内取出的2个球均
为红球”为事件 ．由于事件 相互独立，且
， ，
故取出的4个球均为红球的概率是
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个
红球为黑球”为事件 ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1
个是红球，1个是黑球”为事件 ．由于事件 互斥，且
， ．故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
．
（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间
想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥 中，因 底面 ， 平面 ，故
．
又 ， ，从而 平面 ．故 在平面 内的射影为
，从而 为 和平面 所成的角．
P
在 中， ，故 ．
M
E
所以 和平面 所成的角的大小为 ．
A D
（Ⅱ）证明：在四棱锥 中，
C
因 底面 ， 平面 ，故 ． B
由条件 ， ， 面 ．
又 面 ， ．
由 ， ，可得 ．
是 的中点， ，
．综上得 平面 ．
（Ⅲ）解：过点 作 ，垂足为 ，连结 ．由（Ⅱ）知， 平面
， 在平面 内的射影是 ，则 ．
因此 是二面角 的平面角．
由已知，可得 ．设 ，可得
， ， ， ．
在 中， ， ，则
．
在 中， ．
所以二面角 的大小 ．
（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公
式及前 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由题设 ，得
， ．
又 ，所以数列 是首项为 ，且公比为 的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 ，于是数列 的通项公式为
．
所以数列 的前 项和 ．
（Ⅲ）证明：对任意的 ，
．
所以不等式 ，对任意 皆成立．
（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等
式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当 时， ，得 ，且
， ．
所以，曲线 在点 处的切线方程是 ，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令 ，解得 或 ．
由于 ，以下分两种情况讨论．
（1）若 ，当 变化时， 的正负如下表：因此，函数 在 处取得极小值 ，且
；
函数 在 处取得极大值 ，且
．
（2）若 ，当 变化时， 的正负如下表：
因此，函数 在 处取得极小值 ，且
；
函数 在 处取得极大值 ，且
．
（Ⅲ）证明：由 ，得 ，当 时，
， ．
由（Ⅱ）知， 在 上是减函数，要使 ，
只要
即
①设 ，则函数 在 上的最大值为 ．
要使①式恒成立，必须 ，即 或 ．
所以，在区间 上存在 ，使得 对任意的
恒成立．
（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程
等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分
14分．
（Ⅰ）证法一：由题设 及 ， ，不妨设点 ，其中
，由于点 在椭圆上，有 ，
，
解得 ，从而得到 ，
直线 的方程为 ，整理得
．
由题设，原点 到直线 的距离为 ，即
，
将 代入原式并化简得 ，即 ．
证法二：同证法一，得到点 的坐标为 ，
y
过点 作 ，垂足为 ，易知 ，故
H
F O F x
1 2
由椭圆定义得 ，又 ，所以，
解得 ，而 ，得 ，即 ．
（Ⅱ）解法一：圆 上的任意点 处的切线方程为 ．
当 时，圆 上的任意点都在椭圆内，故此圆在点 处的切线必交椭圆
于两个不同的点 和 ，因此点 ， 的坐标是方程组
的解．当 时，由①式得
代入②式，得 ，即
，
于是 ，
．
若 ，则
．所以， ．由 ，得 ．在区间 内此
方程的解为 ．
当 时，必有 ，同理求得在区间 内的解为 ．
另一方面，当 时，可推出 ，从而 ．
综上所述， 使得所述命题成立．
