文档内容
2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷
一、选择题：
（1） 是虚数单位，计算
（A）－1 （B）1 （C） （D）
（2）下列四个图像所表示的函数，在点 处连续的是
（A） （B） （C） （D）
（3）
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
（4）函数 的图像关于直线 对称的充要条件是
（A） （B） （C） （D）
（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
则
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1（6）将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A） （B）
（C） （D）
（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出 A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一
箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间
加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、
乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超
过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
（8）已知数列 的首项 ，其前 项的和为 ，且 ，则
（A）0 （B） （C） 1 （D）2
（9）椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为A，在椭圆上存
在点P满足线段AP的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
（11）半径为 的球 的直径 垂直于平面 ，垂足为 ， 是平面 内边长为
的正三角形，线段 、 分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面
距离是
A
（A）
O
N
M D
B
C（B）
（C）
（D）
（12）设 ，则 的最小值是
（A）2 （B）4 （C） （D）5
2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13） 的展开式中的第四项是__________．
（14）直线 与圆 相交于A、B两点，则 ________．
（15）如图，二面角 的大小是60°，线段 ．
A
， 与 所成的角为30°．则 与平面 所成
B
的角的正弦值是_________．
（16）设S为复数集C的非空子集．若对任意 ，都有 ，则称S
为封闭集。下列命题：
①集合 （ 为整数， 为虚数单位）为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有 ；
③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足 的任意集合 也是封闭集．
其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其
瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 ．甲、乙、丙三位同学每人购买了
一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．
（18）（本小题满分12分）
已知正方体 的棱长为1，点 是棱 的中点，点 是对角线
的中点． D C
（Ⅰ）求证： 为异面直线 和 的公垂线； A
B
（Ⅱ）求二面角 的大小；
O
M D
（Ⅲ）求三棱锥 的体积． C
（19）（本小题满分12分） A B
（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式 ；
②由 推导两角和的正弦公式 ．
（Ⅱ）已知△ABC的面积 ，且 ，求 ．
（20）（本小题满分12分）
已知定点 ，定直线 ，不在 轴上的动点 与点 的距离是
它到直线 的距离的2倍．设点 的轨迹为 ，过点 的直线交 于 两点，直线
分别交 于点
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 为直径的圆是否过点 ，并说明理由．
（21）（本小题满分12分）
已知数列 满足 ，且对任意 都有（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）设 证明： 是等差数列；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 ．
（22）（本小题满分14分）
设 （ 且 ）， 是 的反函数．
（Ⅰ）设关于 的方程 在区间 上有实数解，求 的取
值范围；
（Ⅱ）当 （ 为自然对数的底数）时，证明： ；
（Ⅲ）当 时，试比较 与4的大小，并说明理由．
参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。
1—6：ADCACC
1—12：BBDCAB
二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题4分，满分16分。
（13） （14） （15） （16）①②
三、解答题
（17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，
考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 …………（6分）
（Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3。
0 1 2 3
P
…………（12分）
（18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础
知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。
（Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK。
因为点M是棱 的中点，点O是 的中点，
∥
=
所以 = ∥ OK
所以MO ∥ AK
=
。……（4分）
（Ⅱ）取
，
从而，故二面角 ……………………（9分）
（Ⅲ）易知，
…………（12分）
解法二
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（Ⅰ）因为点M是棱
所以
………………（4分）
（Ⅱ）设平面
即故二面角 ………………（9分）
（Ⅲ）易知，
即
取
点M到平面OBC的距离
………………（12分）
（19）本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识
及运算能力。
解 ： （ Ⅰ ） ① 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 内 作 单 位 圆 O ， 并 作 出 角
交⊙O于点P，终边交⊙O于点P；角 的始边为OP ，终边交⊙O于点P，
1 2 2 3
角 的始边为OP ，终边交⊙O于点P。
2 4
则展开并整理，得
…………（4分）
②由①易得，
…………（6分）
（Ⅱ）由题意，设 、C的对边分别为b、c，则
…………（12分）
（20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方
法及推理运算能力。
解：（Ⅰ）设
化简得 ………………（4分）
（Ⅱ）①当直线BC与 轴不生直时，设BC的方程为
与双曲线方程因为
因此
②当直线BC与 轴垂直时，其方程为
AB的方程为
同理可得
综上，
故以线段MN为直径的圆过点F。………………（12分）
（21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分
析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意，令再令 ………………（2分）
（Ⅱ）
所以，数列 ………………（5分）
（ Ⅲ ） 由 （ Ⅰ ） 、 （ Ⅱ ） 的 解 答 可 知
则
另由已知（令 可得，
那么，
于是，
当
当
两边同乘 可得
上述两式相减即得=
=
所以
综上所述，
（22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、
分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意，得
故
由 得
列表如下：
2 （2，5） 5 （5，6） 6
＋ 0 －
5 极大值 25
所以
所以t的取值范围为[5，32]………………………………（5分）
（Ⅱ）（Ⅲ）
综上，总有 ……………………………………（14分）
