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2011 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
（1）样本数据 的方差 ，其中 ．
（2）直棱柱的侧面积 ，其中 为底面周长， 为高．
（3）棱柱的体积 ，其中 为底面积， 为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位
置上．
1．已知集合 ， ，则 ▲ ．
Read a，b
2．函数 的单调增区间是 ▲ ． If a>b Then
m←a
3．设复数 满足 （ 为虚数单位），则 的实部是 Else
m←b
▲ ．
End If
4．根据如图所示的伪代码，当输入 分别为2，3时，最后输出的 Print m
的值为 ▲ ．
5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是
▲ ．
6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
▲ ．
7．已知 ，则 的值为 ▲
y
．
8．在平面直角坐标系 中，过坐标原点的一条直线
7
3 12
与函数 的图象交于 、 两点，则线段 x
O
长的最小值是 ▲ ．
2
9．函数 （ ， ， 是常数，
， ）的部分图象如图所示，则 的值是 ▲ ．
10．已知 ， 是夹角为 的两个单位向量， ， ，若 ，则实数 的值为 ▲ ．
11．已知实数 ，函数 ，若 ，则 的值
为
▲ ．
12．在平面直角坐标系 中，已知点 是函数 的图象上的动点，该图
象在 处的切线 交 轴于点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，设线段 的
中点的纵坐标为 ，则 的最大值是 ▲ ．
13．设 ，其中 成公比为 的等比数列， 成公
差为1的等差数列，则 的最小值是 ▲ ．
14．设集合 ， ，
， ，若 ， 则实数 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在 中，角 的对边分别为 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 的值．
16．（本小题满分14分） P
如图，在四棱锥 中，平面 平面
， ， ， 分别是 E
的中点．
求证：（1）直线 平面 ； F
A D
（2）平面 平面 ．
C
17．（本小题满分14分） B
请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影
部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去
的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒
的高与底面边长的比值．
D C
P
60
A
E F x B
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系 中， 分别是椭圆 的顶点，过坐标原
点的直线交椭圆于 两点，其中点 在第一象限，过 作 轴的垂线，垂足为 ，
连接 ，并延长交椭圆于点 ．设直线 的斜率为 ．
y
（1）当直线 平分线段 ，求 的值；
（2）当 时，求点 到直线 的距离 ；
P
（3）对任意 ，求证： ．
M B
x
O C
A
N
19．（本小题满分16分）
已知 是实数，函数 ， ， 和 是 和
的导函数．若 在区间 上恒成立，则称 和 在区间上单调性一致．
（1）设 ，若 和 在区间 上单调性一致，求实数 的取值范
围；
（2）设 且 ，若 和 在以 为端点的开区间上单调性一致，求
的最大值．
20．（本小题满分16分）
设 为部分正整数组成的集合，数列 的首项 ，前 项的和为 ，已知对
任意整数 ，当 时， 都成立．
（1）设 ， ，求 的值；
（2）设 ，求数列 的通项公式．2011 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅱ（附加题）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
如图，圆 与圆 内切于点 ，其半径分别为 与 （
）．圆 的弦 交圆 于点 （ 不在 上）．
求证： 为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
已知矩阵 ，向量 ．求向量 ，使得 ．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，求过椭圆 （ 为参数）的右焦点，且与直线
（ 为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）解不等式： ．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． D C
1 1
22．（本小题满分10分）
A
B
如图，在正四棱柱 中， ，
1
1
，点 是 的中点，点 在 上．
设二面角 的大小为 ．
M
（1）当 时，求 的长； D C
N
A B
（2）当 时，求 的长．
23．（本小题满分10分）
设整数 ， 是平面直角坐标系 中的点，其中 ，
．
（1）记 为满足 的点 的个数，求 ；
（2）记 为满足 是整数的点 的个数，求 ．
