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2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x A，y A，x﹣
y A}，则B中所含元素的个数为（ ） ∈ ∈
A．3 B．6 C．8 D．10
∈
2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加
社会实践活动，每个小组由 1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
3．（5分）下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（ ），
p ：|z|=2，
1
p ：z2=2i，
2
p ：z的共轭复数为1+i，
3
p ：z的虚部为﹣1．
4
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p
2 3 1 2 2 4 3 4
4．（5分）设F 、F 是椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线
1 2
x= 上一点，△F PF 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
2 1
A． B． C． D．
5．（5分）已知{a }为等比数列，a +a =2，a a =﹣8，则a +a =（ ）
n 4 7 5 6 1 10
A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7
6．（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a ，
1
a ，…，a ，输出A，B，则（ ）
2 nA．A+B为a ，a ，…，a 的和
1 2 n
B． 为a ，a ，…，a 的算术平均数
1 2 n
C．A和B分别是a ，a ，…，a 中最大的数和最小的数
1 2 n
D．A和B分别是a ，a ，…，a 中最小的数和最大的数
1 2 n
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三
视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的
准线交于点A和点B，|AB|=4 ，则C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+ ）在区间[ ，π]上单调递减，
则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（0，2]
10．（5分）已知函数f（x）= ，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长
为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设点P在曲线 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小
值为（ ）
A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知向量 夹角为 45°，且 ，则 =．
14．（5分）设x，y满足约束条件： ；则z=x﹣2y的取值范围为
．
15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1或元件2正常工
作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单
位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．
16．（5 分）数列{a }满足 a +（﹣1）na =2n﹣1，则{a }的前 60 项和为
n n+1 n n
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+
asinC﹣b﹣c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为 ；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以
每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求
量n（单位：枝，n N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
∈
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分
布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC=BC= AA ，D是棱AA 的中
1 1 1 1 1
点，DC ⊥BD
1
（1）证明：DC ⊥BC；
1
（2）求二面角A ﹣BD﹣C 的大小．
1 120．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A C，已知以
F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
∈
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为 ，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线 m上，直线n与m平行，且n与C只有一个
公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若 ，求（a+1）b的最大值．
四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分，作答时请写清题号．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是 （φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的
1
正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C 的坐标系方程是 ρ=2，正方形ABCD的顶
2
点都在C 上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，
2
）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
1
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x A，y A，x﹣
y A}，则B中所含元素的个数为（ ） ∈ ∈
A．3 B．6 C．8 D．10
∈
【考点】12：元素与集合关系的判断．
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【专题】5J：集合．
【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，
即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项
【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，
x=4时，y=1，2，3，
x=3时，y=1，2，
x=2时，y=1
综上知，B中的元素个数为10个
故选：D．
【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集
合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．
2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加
社会实践活动，每个小组由 1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
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【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用
分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果
【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有 =2种选法；
第二步，为甲地选两个学生，有 =6种选法；
第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12种
故选：A．
【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题
意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题
3．（5分）下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（ ），
p ：|z|=2，
1
p ：z2=2i，
2
p ：z的共轭复数为1+i，
3
p ：z的虚部为﹣1．
4
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p
2 3 1 2 2 4 3 4
【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】由 z= = =﹣1﹣i，知 ， ，
p ：z的共轭复数为﹣1+i，p ：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．
3 4
【解答】解：∵z= = =﹣1﹣i，
∴ ，
，
p ：z的共轭复数为﹣1+i，
3p ：z的虚部为﹣1，
4
故选：C．
【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．（5分）设F 、F 是椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线
1 2
x= 上一点，△F PF 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
2 1
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用△F PF 是底角为30°的等腰三角形，可得|PF |=|F F |，根据P为
2 1 2 2 1
直线x= 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F PF 是底角为30°的等腰三角形，
2 1
∴|PF |=|F F |
2 2 1
∵P为直线x= 上一点
∴
∴
故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属
于基础题．
5．（5分）已知{a }为等比数列，a +a =2，a a =﹣8，则a +a =（ ）
n 4 7 5 6 1 10
A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7
【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．
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【专题】11：计算题．
【分析】由a +a =2，及a a =a a =﹣8可求a ，a ，进而可求公比 q，代入等比
4 7 5 6 4 7 4 7
数列的通项可求a ，a ，即可
1 10
【解答】解：∵a +a =2，由等比数列的性质可得，a a =a a =﹣8
4 7 5 6 4 7
∴a =4，a =﹣2或a =﹣2，a =4
4 7 4 7
当a =4，a =﹣2时， ，
4 7
∴a =﹣8，a =1，
1 10
∴a +a =﹣7
1 10
当a =﹣2，a =4时，q3=﹣2，则a =﹣8，a =1
4 7 10 1
∴a +a =﹣7
1 10
综上可得，a +a =﹣7
1 10
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算
的能力．6．（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a ，
1
a ，…，a ，输出A，B，则（ ）
2 n
A．A+B为a ，a ，…，a 的和
1 2 n
B． 为a ，a ，…，a 的算术平均数
1 2 n
C．A和B分别是a ，a ，…，a 中最大的数和最小的数
1 2 n
D．A和B分别是a ，a ，…，a 中最小的数和最大的数
1 2 n
【考点】E7：循环结构．
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【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是求出a ，a ，…，a 中最大的数和最小的数．
1 2 n
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a ，a ，…，a 中最大的数和最小的数
1 2 n
其中A为a ，a ，…，a 中最大的数，B为a ，a ，…，a 中最小的数
1 2 n 1 2 n
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步
分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三
视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】11：计算题．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积
即可．
【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V= ×6×3×3=9．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计
算能力．
8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4 ，则C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【考点】KI：圆锥曲线的综合．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与
抛物线y2=16x的准线交于A，B两点， ，能求出C的实轴长．
【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），
y2=16x的准线l：x=﹣4，
∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4，2 ），B（﹣4，﹣2 ），
将A点坐标代入双曲线方程得 =4，
∴a=2，2a=4．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意
挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+ ）在区间[ ，π]上单调递减，
则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（0，2]
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，
得到结果．
法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．
【解答】解：法一：令： 不合题意 排除（D）合题意 排除（B）（C）
法 二 ： ，
得： ．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算
能力．
10．（5分）已知函数f（x）= ，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．
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【专题】11：计算题．
【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除 A，C，由f（x）
的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明
【解答】解：设
则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f（x）= ＜0
得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，
又f（x）= 中， ，能排除D．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数
性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题
11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长
为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO ，进而求出底面
1
ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O ，则OO ⊥平面ABC，
1 1
延长CO 交球于点D，则SD⊥平面ABC．
1
∵CO = = ，
1
∴OO = = ，
1
∴高SD=2OO = ，
1
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S = ，
△ABC∴V = = ．
三棱锥S﹣ABC
故选：C．
【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点 S到
面ABC的距离．
12．（5分）设点P在曲线 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小
值为（ ）
A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．
【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由于函数 与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，
要求|PQ|的最小值，只要求出函数 上的点 到直线y=x的距
离为 的最小值，
设g（x）= ，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最
小值，即可求．
【解答】解：∵函数 与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数 上的点 到直线y=x的距离为 ，
设g（x）= （x＞0），则 ，
由 ≥0可得x≥ln2，
由 ＜0可得0＜x＜ln2，
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，
∴当x=ln2时，函数g（x） =1﹣ln2，
min
，
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化
思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，
构造很好
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知向量 夹角为45°，且 ，则 = 3
．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹
角．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【 分 析 】 由 已 知 可 得 ， = ， 代 入 |2 |=
= = = 可求【解答】解：∵ ， =1
∴ =
∴|2 |= = = =
解得
故答案为：3
【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质| |=
是求解向量的模常用的方法
14．（5分）设x，y满足约束条件： ；则z=x﹣2y的取值范围为
．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题．
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由 z=x﹣2y可得，y= ，则﹣
表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图
形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域
由z=x﹣2y可得，y= ，则﹣ 表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截
距越大，z越小
结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当
直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由 可得B（1，2），由 可得A（3，0）
∴Z =3，Z =﹣3
max min
则z=x﹣2y [﹣3，3]
故答案为：[﹣3，3]
∈
【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关
键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思
想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1或元件2正常工
作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单
位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过 1000小时的
概率为 ，而所求事件“该部件的使用寿命超过 1000小时”当且仅当“超过
1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件
3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可
【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时
时，元件3正常}
C={该部件的使用寿命超过1000小时}
则P（A）= ，P（B）=
P（C）=P（AB）=P（A）P（B）= × =
故答案为
【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对
立事件的概率运算等基础知识，属基础题
16．（5分）数列{a }满足a +（﹣1）na =2n﹣1，则{a }的前60项和为 1830
n n+1 n n
．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得 a ﹣a =1，a +a =3，a ﹣a =5，a +a =7，a ﹣a =9，
2 1 3 2 4 3 5 4 6 5
a +a =11，…a ﹣a =97，变形可得 a +a =2，a +a =8，a +a =2，a +a =24，
7 6 50 49 3 1 4 2 7 5 8 6
a +a =2，a +a =40，a +a =2，a +a =56，…利用数列的结构特征，求出
9 7 12 10 13 15 16 14
{a }的前60项和
n
【解答】解：∵a +（﹣1）n a =2n﹣1，
n+1 n
故有 a ﹣a =1，a +a =3，a ﹣a =5，a +a =7，a ﹣a =9，a +a =11，…a ﹣
2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 50a =97．
49
从而 可得 a +a =2 ，a +a =8 ，a +a =2 ，a +a =24，a +a =2 ，a +a =40，
3 1 4 2 7 5 8 6 9 11 12 10
a +a =2，a +a =56，…
13 11 16 14
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2
个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
{a }的前60项和为 15×2+（15×8+ ）=1830
n
【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，
属中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+
asinC﹣b﹣c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为 ；求b，c．
【考点】HP：正弦定理．
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【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）= ．即
可求出A的值；
（2）若 a=2，由△ABC 的面积为 ，求得 bc=4．①，再利用余弦定理可得
b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．
【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+ asinC﹣b﹣c=0，
即sinAcosC+ sinAsinC=sinB+sinC
∴sinAcosC+ sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
即 sinA﹣cosA=1
∴sin（A﹣30°）= ．
∴A﹣30°=30°
∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积= ，
∴bc=4．①
再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA
=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，
∴b+c=4．②
结合①②求得b=c=2．
【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应
用，是中档题．
18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以
每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求
量n（单位：枝，n N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
∈
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分
布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建
立分段函数；
（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期
望及方差；
（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；
当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：
（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其
他情况X=80，
P（X=60）= = =0.1，P（X=70）= 0.2，P
（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，
X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76
DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44
（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为 y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣
2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4
∵76.4＞76，∴应购进17枝
【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，
考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC=BC= AA ，D是棱AA 的中
1 1 1 1 1
点，DC ⊥BD
1
（1）证明：DC ⊥BC；
1
（2）求二面角A ﹣BD﹣C 的大小．
1 1【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）证明 DC ⊥BC，只需证明 DC ⊥面 BCD，即证明 DC ⊥DC，
1 1 1
DC ⊥BD；
1
（2）证明BC⊥面ACC A ，可得BC⊥AC取A B 的中点O，过点O作OH⊥BD于
1 1 1 1
点H，连接C O，C H，可得点H与点D重合且∠C DO是二面角A ﹣BD﹣C 的
1 1 1 1 1
平面角，由此可求二面角A ﹣BD﹣C 的大小．
1 1
【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A DC =45°，∴∠CDC =90°
1 1 1
∴DC ⊥DC，DC ⊥BD
1 1
∵DC∩BD=D
∴DC ⊥面BCD
1
∵BC 面BCD
∴DC ⊥BC
⊂1
（2）解：∵DC ⊥BC，CC ⊥BC，DC ∩CC =C ，∴BC⊥面ACC A ，
1 1 1 1 1 1 1
∵AC 面ACC A ，∴BC⊥AC
1 1
取A B 的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C O，OH
1⊂1 1
∵A C =B C ，∴C O⊥A B ，
1 1 1 1 1 1 1
∵面A B C ⊥面A BD，面A B C ∩面A BD=A B ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴C O⊥面A BD
1 1
而BD 面A BD
1
⊂∴BD⊥C O，
1
∵OH⊥BD，C O∩OH=O，
1
∴BD⊥面C OH∴C H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C DO是二面角A ﹣BD﹣C 的
1 1 1 1 1
平面角
设AC=a，则 ， ，
∴sin∠C DO=
1
∴∠C DO=30°
1
即二面角A ﹣BD﹣C 的大小为30°
1 1
【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，
正确作出面面角，属于中档题．
20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A C，已知以
F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
∈
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为 ，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线 m上，直线n与m平行，且n与C只有一个
公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离 ，由△ABD 的面积 S = ，知 =
△ABD
，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设 ，则 点A，B关于点F对称得：
，得： ，由此能求出坐
标原点到m，n距离的比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离 ，
∵△ABD的面积S = ，
△ABD
∴ = ，
解得p=2，所以F坐标为（0，1），
∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．
（2）由题设 ，则 ，
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．
由点A，B关于点F对称得：
得 ： ， 直 线 ，
切点
直线坐标原点到m，n距离的比值为 ．
【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的
简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合
理地进行等价转化．
21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若 ，求（a+1）b的最大值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．
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【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．
【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解
析式及导数，再由导数求函数的单调区间；
（2）由题意 ，借助导数求出新函数
的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b
的最大值
【解答】解：（1）f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+ f'（x）=f'（1）ex﹣1﹣f
⇒
（0）+x
令x=1得：f（0）=1
∴f（x）=f'（1）ex﹣1﹣x+ 令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e
故函数的解析式为f（x）=ex﹣x+
令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x
∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x R上单调递增
当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有
∈
f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=ex﹣x+ 的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，
0）
（2）f（x）≥ ﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=ex﹣（a+1）
①当a+1≤0时，h′（x）＞0 y=h（x）在x R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）
→﹣∞与h（x）≥0矛盾
⇒ ∈
②当a+1＞0时，h′（x）＞0 x＞ln（a+1），h'（x）＜0 x＜ln（a+1）
得：当 x=ln（a+1）时，h（x） =（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即
⇔ min ⇔
（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b
∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）
令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）
∴F'（x）＞0 0＜x＜
⇔
当x= 时，F（x） =
max
即当a= 时，（a+1）b的最大值为
【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解
题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出
错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题
考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，
易马虎出错．
四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分，作答时请写清题号．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的
外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明
四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；
（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．
【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点
∴DF∥BC，AD=DB
∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形
∴CF∥BD，CF=BD
∴CF∥AD，CF=AD
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AF=CD
∵ ，∴BC=AF，∴CD=BC．
（2）由（1）知 ，所以 ．
所以∠BGD=∠DBC．
因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．
所以△BCD～△GBD．
【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．
23．选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是 （φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的
1
正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C 的坐标系方程是 ρ=2，正方形ABCD的顶
2
点都在C 上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，
2
）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
1
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；
QL：椭圆的参数方程．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐
标；
（2）利用参数方程设出 P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|
PC|2+|PD|2的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 点 A ， B ， C ， D 的 极 坐 标 为
点A，B，C，D的直角坐标为
（2）设P（x ，y ），则 为参数）
0 0
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ [0，1]
∴t [32，52]
∈
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于
∈
中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．
【分析】①不等式等价于 ，或 ，或 ，
求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．
②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即
，可得x≤1；
，可得x ；
∈∅
，可得x≥4．
取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．
（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在
[1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．
故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，
故a的取值范围为[﹣3，0]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等
价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
