文档内容
2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理科）
本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无
效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要
求的一项.
1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=
2 2
A （-，-1）B （-1，- ） C （- ,3）D (3,+)
3 3
0 x2,
2．设不等式组 ，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标
0 y2
原点的距离大于2的概率是
2 4
（A） （B） （C） （D）
4 2 6 4
3．设a，b∈R。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A. 2 B .4 C.8 D. 16
5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )
A．CE•CB=AD•DB B．CE•CB=AD•AB C．AD•AB=CD2 D．CE•EB=CD2
6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为
( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+6 5 B. 30+6 5 C. 56+ 12 5 D. 60+12 5
8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年
平均产量最高。m值为（ ）
A.5 B.7 C.9 D.11
第二部分(非选择题共110分)
二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.
x2t x3cos
9．直线 (t 为参数)与曲线 (为参数)的交点个数为______。
y 1t y 3sin
1
10．已知{a }等差数列S 为其前n项和。若a ，S a ，则a =_______。
n n 1 2 2 3 2
1
11．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB= ，则b=_______。
412．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线 =4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.
其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为
13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为________，
DEDC 的最大值为______。
14.已知 f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x 2，若同时满足条件：
①xR， f(x)0或g(x)0；
②x(,4), f(x) g(x)0。
则m的取值范围是_______。
三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
(sinxcosx)sin2x
已知函数 f(x) 。
sinx
（1）求 f(x)的定义域及最小正周期；
（2）求 f(x)的单调递增区间。
16．（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，
DE=2，将△ADE沿DE折起到△A DE的位置，使A C⊥CD,如图2.
1 1
(I)求证：A C⊥平面BCDE；
1
(II)若M是A D的中点，求CM与平面A BE所成角的大小；
1 1
(III)线段BC上是否存在点P，使平面
A DP与平面A BE垂直？说明理由
1 1
17．（本小题共13分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其
他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽
取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c
其中a＞0，abc=600。当数据a,b,c的方差s2最大时，写出a,b,c的值（结论不要求
证明），并求此时s2的值。1
（注： s2 n [(x 1 x)2 (x 2 x)2 (x n x)2]，其中 x为数据 x 1 ,x 2 , ,x n 的平均
数）
18．（本小题共13分）
已知函数 f(x)ax2 1a 0 ，g(x) x3 bx.
（1）若曲线y f(x)与曲线y g(x)在它们的交点 1,c 处具有公共切线，求 a ，b的值；
（2）当a2 4b时，求函数 f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间 ,1 上的最大值.
19．（本小题共14分）
已知曲线C:5mx2 m2y2 8mR
.
（1）若曲线C是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围；
（2）设 m4，曲线 C与 y 轴的交点为 A， B（点 A位于点 B的上方），直线
y kx4与
曲线C交于不同的两点M ，N ，直线 y 1与直线BM 交于点G，求证：A，G，
N
三点共线.20．（本小题共13分）
设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所
有数的和为零. 记Sm,n 为所有这样的数表组成的集合. 对于ASm,n ，记r(A)为A
i
的第i行各数之和（1剟i m），c (A)为A的第 j列各数之和（1剟j n）；记k(A)
j
为 r(A) ， r (A) ，…， r (A) ， c (A) ， c (A) ，…， c (A) 中的最小值.
1 2 m 1 2 n
（1）对如下数表A，求k(A)的值；
1 1 0.8
0.1 0.3 1
（2）设数表AS2,3
形如
1 1 c
a b 1
求k(A)的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的AS2,2t1 ，求k(A)的最大值.
2012 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要
求的一项.
1．（5分）（2012•北京）已知集合A={x R|3x+2＞0}，B={x R|（x+1）（x﹣3）＞0}，
则A∩B=（ ）
∈ ∈
A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．（3，+∞）
（﹣1， ） ﹙ ，3﹚
考 一元二次不等式的解法；交集及其运算．
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专 集合．
题：
分 求出集合B，然后直接求解A∩B．
析：
解 解：因为B={x R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，
答：
又集合A={x R|3x+2＞0﹜={x|x }，
∈
所以A∩B={x∈|x }∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，
故选：D．
点 本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．
评：
2．（5分）（2012•北京）设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机
取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
考 二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．
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点：
专 概率与统计．
题：
分 本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求
析： 出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的
面积后再求它们的比值即可．
解 解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S =4，
1
答： 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外
部，
面积为 =4﹣π，
∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=
故选：D．
点 本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得
评： 到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．
3．（5分）（2012•北京）设a，b R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
∈C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考 复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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点：
专 数系的扩充和复数．
题：
分 利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．
析：
解 解：因为a，b R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．
答： “复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．
所以a，b R．∈“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
故选B．
点 本题考查复∈数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识
评： 的掌握程度．
4．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
考 循环结构．
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点：
专 算法和程序框图．
题：
分 列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
析：
解 解：第1次判断后S=1，k=1，
答： 第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选C．
点 本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．
评：
5．（5分）（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC
交于点E．则（ ）A．CE•CB=AD•DB B．CE•CB=AD•AB C．AD•AB=CD2 D．CE•EB=CD2
考 与圆有关的比例线段．
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点：
专 直线与圆．
题：
分 连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB于
析： 点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出
CE•CB=AD•BD．
解 解：连接DE，
答： ∵以BD为直径的圆与BC交于点E，
∴DE⊥BE，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2=AD•BD．
∵CD2=CE•CB，
∴CE•CB=AD•BD，
故选A．
点 本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，
评： 注意三角形相似和切割线定理的灵活运用．
6．（5分）（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复
数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
考 计数原理的应用．
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点：
专 算法和程序框图．
题：
分 分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，
析： 则2排在十位或百位，由此可得结论．
解 解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个
答：
位与百位，共有 =6种；
从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百
位，共有 =6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有 =6种；
故共有3 =18种
故选B．
点 本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
评：
7．（5分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
考 由三视图求面积、体积．
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点：
专 立体几何．
题：
分 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．
析：
解 解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
答： 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S底= =10，
S后= ，
S右= =10，
S左= =6 ．
几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6 ．
故选：B．
点 本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能
评： 力．8．（5分）（2012•北京）某棵果树前n年的总产量S 与n之间的关系如图所示．从目前
n
记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
考 函数的图象与图象变化；函数的表示方法．
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点：
专 函数的性质及应用．
题：
分 由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的
析： 几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．
解 解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点
答： 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率
由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大
即前9年的年平均产量最高，
故选C
点 本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均
评： 产量的几何意义是解答本题的关键．
二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.
9．（5分）（2012•北京）直线 （t为参数）与曲线 （α为参数）
的交点个数为 2 ．
考 圆的参数方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．
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点：
专 直线与圆．
题：
分 将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．
析：
解
答： 解：直线 （t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0
曲线 （α为参数）化为普通方程为x2+y2=9
∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d=
∴直线与圆有两个交点
故答案为：2
点 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
评：10．（5分）（2012•北京）已知﹛a ﹜是等差数列，s 为其前n项和．若a = ，s =a ，则
n n 1 2 3
a = 1 ．
2
考 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
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点：
专 等差数列与等比数列．
题：
分
由﹛a ﹜是等差数列，a = ，S =a ，知 = ，解得d= ，由此能求出a ．
析： n 1 2 3 2
解
解：∵﹛a ﹜是等差数列，a = ，S =a ，
答： n 1 2 3
∴ = ，
解得d= ，
a = =1．
2
故答案为：1．
点 本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
评：
11．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，则b= 4 ．
考 解三角形．
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点：
专 解三角形．
题：
分
根据a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，利用余弦定理可得
析：
，即可求得b的值．
解
解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，
答：
∴
∴b=4
故答案为：4
点 本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b的方程，属于基础题．
评：
12．（5分）（2012•北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该
抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面
积为 ．
考 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的倾斜角；抛物线的简单性质．
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点：
专 圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：分 确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．
析：
解 解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）
答： ∵直线l过F，倾斜角为60°
∴直线l的方程为： ，即
代入抛物线方程，化简可得
∴y=2 ，或y=﹣
∵A在x轴上方
∴△OAF的面积为 =
故答案为：
点 本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定A的坐标是解题的关
评： 键．
13．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则
的值为 1 ．
考 平面向量数量积的运算．
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点：
专 平面向量及应用．
题：
分 直接利用向量转化，求出数量积即可．
析：
解
解：因为 = = = =1．
答：
故答案为：1
点 本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．
评：
14．（5分）（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时
满足条件：
① x R，f（x）＜0或g（x）＜0；
② x （﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
∀ ∈
则m的取值范围是 （﹣ 4 ，﹣ 2 ） ．
∃ ∈
考 全称命题；二次函数的性质；指数函数综合题．
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点：
专 简易逻辑．
题：
分 ①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在
析： x＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x （﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x
﹣2m）（x+m+3）＞0在x （﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求
解 解：对于 ∈ ①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，
答： 又∵①∀x R，f（x）＜0或 ∈ g（x）＜0
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函∈数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左
面
则
∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0
又∵②x （﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立
∴f（x）= ∈ m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x （﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4
比x ，x 中的较小的根大即可，
1 2
（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣ ∈ 3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，
（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，
（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．
综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
点 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解
评： 答本题的关键．
三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）= ．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
考 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．
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点：
专 三角函数的图像与性质．
题：
分 通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正
析：周期．
（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．
解 解：
答：
=sin2x﹣1﹣cos2x= sin（2x﹣ ）﹣1 k Z，{x|x≠kπ，k Z}
（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k Z}，最小正周期为π．
∈ ∈
∈（2）由 ，k Z，
解得 ，k Z，又{x|x≠ ∈ kπ，k Z}，
原函数的单调递增区间为 ∈ ，k Z，∈ ，k Z
点 本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调
∈ ∈
评：性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力．
16．（14分）（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分
别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A
1
DE的位置，使
A
1
C⊥CD，如图2．
（1）求证：A
1
C⊥平面BCDE；
（2）若M是A D的中点，求CM与平面A BE所成角的大小；
1 1
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A DP与平面A BE垂直？说明理由．
1 1
考 向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线
点： 与平面的夹角．
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专 空间位置关系与距离．
题：
分 （1）证明A
1
C⊥平面BCDE，因为A
1
C⊥CD，只需证明A
1
C⊥DE，即证明DE⊥平面
析： A CD；
1
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A BE法向量
1
， =（﹣1，0， ），利用向量的夹角公式，即可求得
CM与平面A BE所成角的大小；
1
（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a [0，3 ，求出平面
A DP法向量为
1
∈ ]
假设平面A DP与平面A BE垂直，则 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
1 1
解 （1）证明：∵CD⊥DE，A
1
D⊥DE，CD∩A
1
D=D，
答： ∴DE⊥平面A
1
CD，
又∵A
1
C 平面A
1
CD，∴A
1
C⊥DE
又A
1
C⊥CD，CD∩DE=D
⊂
∴A
1
C⊥平面BCDE
（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A （0，0，2 ），B
1
（0，3，0），E（﹣2，2，0）
∴ ，
设平面A BE法向量为
1则 ∴ ∴
∴
又∵M（﹣1，0， ），∴ =（﹣1，0， ）
∴
∴CM与平面A BE所成角的大小45°
1
（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a [0，3
∴ ，
∈ ]
设平面A DP法向量为
1
则 ∴
∴
假设平面A DP与平面A BE垂直，则 ，
1 1
∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A DP与平面A BE垂直
1 1
点 本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的
评： 运用，要加以体会．
17．（13分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨
余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分
类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：
吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为
a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值
（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2= [ + +…+ ，其中 为数据x ，
1
x ，…，x 的平均数） ]
2 n
考 模拟方法估计概率；极差、方差与标准差．
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点：
专 概率与统计．
题：
分 （1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；
析：（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；
（3）计算方差可得 =
，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
解 解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正
答：
确的概率为 ；
（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为
；
（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
点 本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题．
评：
18．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的
值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最
大值．
考 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线
点： 上某点切线方程．
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专 导数的概念及应用．
题：
分 （1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
析： 可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根据a2=4b，构建函数 ，求导函
数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间
（﹣∞，﹣1）上的最大值．
解 解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k =2a，g（x）=x3+bx，则g′
1
答： （x）=3x2+b，k =3+b，
2
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得： ．
（2）由题设a2=4b，设则 ，令h'（x）=0，解得： ， ；
∵a＞0，∴ ，
x （﹣∞，﹣
﹣ ）
）
h′（x） + ﹣ +
h（x） 极大值 极小值
∴原函数在（﹣∞，﹣ ）单调递增，在 单调递减，在
）上单调递增
①若 ，即0＜a≤2时，最大值为 ；
②若 ＜﹣ ，即2＜a＜6时，最大值为
③若﹣1≥﹣ 时，即a≥6时，最大值为h（﹣ ）=1
综上所述：当a （0，2 时，最大值为 ；当a （2，+∞）时，最
∈ ] ∈
大值为 ．
点 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题
评： 的关键是正确求出导函数．
19．（14分）（2012•北京）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
∈
（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲
线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．
考 直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．
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点：
专 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分 （1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式
析： 组，即可求得m的取值范围；
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣
3），解得： ，设N（x ，kx +4），M（x ，kx +4），G（x ，1），MB
N N M M G
方程为： ，则 ，从而可得
， =（x ，kx +2），欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线，利用韦达定
N N
理，可以证明．
解
答：
（1）解：原曲线方程可化简得：由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得： ，解得：
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32
（2k2﹣3）＞0，解得：
由韦达定理得： ①， ，②
设N（x ，kx +4），M（x ，kx +4），G（x ，1），MB方程为：
N N M M G
，则 ，
∴ ， =（x ，kx +2），
N N
欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线
即 成立，化简得：（3k+k）x x =﹣6（x +x ）
M N M N
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．
点 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关
评： 键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．
20．（13分）（2012•北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数
的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对
于A S（m，n），记r（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C（A）为A的第j列各
i j
数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r （A）|，|R （A）|，…，|Rm（A）|，|C （A）|，|C
1 2 1 2
∈
（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；
1 1 ﹣0.8
0.1 ﹣0.3 ﹣1
（2）设数表A S（2，3）形如
1 1 c
∈
a b ﹣1
求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A S（2，2t+1），求K（A）的最大值．
∈
考 进行简单的演绎推理；进行简单的合情推理．
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点：
专 压轴题；新定义；推理和证明．
题：
分 （1）根据r（A），C（A），定义求出r （A），r （A），c （A），c （A），c
i j 1 2 1 2 3
析： （A），再根据K（A）为|r （A）|，|R （A）|，|R （A）|，|C （A）|，|C
1 2 3 1 2
（A）|，|C （A）|中的最小值，即可求出所求．
3
（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；
（3）首先构造满足 的A={a
i，j
}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明 是最大值即可．
解 解：（1）由题意可知r （A）=1.2，r （A）=﹣1.2，c （A）=1.1，c （A）=0.7，c
1 2 1 2 3
答： （A）=﹣1.8
∴K（A）=0.7
（2）先用反证法证明k（A）≤1：
若k（A）＞1
则|c （A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0
1
同理可知b＞0，∴a+b＞0
由题目所有数和为0
即a+b+c=﹣1
∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1
与题目条件矛盾
∴k（A）≤1．
易知当a=b=0时，k（A）=1存在
∴k（A）的最大值为1
（3）k（A）的最大值为 ．
首先构造满足 的A={a
i，j
}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：
，
．
经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
，
，
．
下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表A S（2，2t+1），使得
． ∈
由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超
过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，
2 中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小
于x﹣1．
设] A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，
h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．
考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，
每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x
﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r （A）|=r （A）≤t•1+（t+1）（1﹣x）
1 1
=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，
故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为 ．
点 本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的应用，同时考
评： 查了分析问题的能力，属于难题．
