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2016四川省高考理科数学试题解析
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，
共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、
草稿上答题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的.
1. 设集合 ，Z为整数集，则集合 中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2. 设 为虚数单位，则 的展开式中含 的项为（ ）
A． B． C． D．
3. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点
（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度
4. 用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．72
5. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金
130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的
研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳
县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的
秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序
框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若
输入n，x的值分别为3，2. 则输出v的值为（ ）
A．9 B．18
C．20 D．35
7. 设p：实数x，y满足 ，q：实数x，y满
足 则p是q的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件8. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上
的点，且 ，则直线OM斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
9. 设直线 ， 分别是函数 图象上点 ， 处的切线， 与 垂
直相交于点P，且 ， 分别与y轴相交于点A，B，则 的面积的取值范围是（
）
A． B． C． D．
10. 在 平 面 内 ， 定 点 A ， B ， C ， D 满 足 ，
，动点P，M满足 ， ，则 的
最大值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. __________．
12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，
则在2次试验中成功次数X的均值是__________．
13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三
棱锥的体积是__________．
14. 已知函数 是定义在R上的周期为2的奇函数，当 时， ，
则 __________.
15. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 当 不 是 原 点 时 ， 定 义 的 “ 伴 随 点 ” 为
；当 是原点时，定义 的“伴随点”为它自身，平面曲线 上
所有点的“伴随点”所构成的曲线 定义为曲线 的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点 的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点A；
② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③ 若曲线 关于 轴对称，则其“伴随曲线” 关于 轴对称；
④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．
16. （本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活
用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过
x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费. 为了了解居民用水情况，通过抽样，获
得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 ， ，
…， 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值，
并说明理由.
频率
组距
0.52
0.40
a
0.16
0.12
0.08
0.04
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量（吨）
17. （本小题满分12分）
在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .
（I）证明： ；
（II）若 ，求 .
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ，
E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 .
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线 平面PBE，
并说明理由；
（II）若二面角 的大小为 ，求直线PA与
平面PCE所成角的正弦值.
19. （本小题满分12分）
已知数列 的首项为1， 为数列 的前n项和， ，其中 ，
.
（I）若 成等差数列，求 的通项公式；
（II）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明： .20. （本小题满分13分）
已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶
点，直线 与椭圆E有且只有一个公共点T.
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线 平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线
l交于点P. 证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值.
21. （本小题满分14分）
设函数 ，其中 .
（I）讨论 的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得 在区间 内恒成立
（ …为自然对数的底数）.2016四川省高考理科数学试题解析
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，
共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、
草稿上答题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的.
1. 设集合 ，Z为整数集，则集合 中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由题可知， ，则 中元素的个数为5
选C
2. 设 为虚数单位，则 的展开式中含 的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，
含 的项为
选A
3. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点
（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度
【答案】D
【解析】由题可知，
，则只需把 的图象向右平移 个单位
选D
4. 用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．72
【答案】D
【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；
分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 ，
再将剩下的4个数字排列得到 ，则满足条件的五位数有 .
选D5. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金
130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的
研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
【答案】B
【解析】设 年后该公司全年投入的研发资金为200万元
由题可知， ，
解得 ，
因资金需超过200万，则 取4，即2019年
选B
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳
县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的
秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序
框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若
输入n，x的值分别为3，2. 则输出v的值为（ ）
A．9 B．18
C．20 D．35
【答案】B
【解析】初始值 ，程序运行过程如下表所示
跳出循环，输出
选B
7. 设p：实数x，y满足 ，q：实数x，y满足 则p是q的
（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】如图， ① 表示圆心为 ，
半径为 的圆内区域所有点（包括边界）；
② 表示 内部区域所有点（包括边界）.
实数 满足②则必然满足①，反之不成立.
则 是 的必要不充分条件.
故选A8. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上
的点，且 ，则直线OM斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】如图，由题可知 ，设 点坐标为
显然，当 时， ； 时， ，要求 最大值，不妨设
.
则
，当且仅当 等号成立
故选C
9. 设直线 ， 分别是函数 图象上点 ， 处的切线， 与 垂
直相交于点P，且 ， 分别与y轴相交于点A，B，则 的面积的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：设 ，易知 ， ， ，
则直线 ： ， ，与 轴的交点为
设 ， 则 交 点 横 坐 标 为 ， 与 轴 的 交 点 为 ， 则
，故
方法二：特殊值法，若 ，可算出 ， ，故 ，排除 BC；令，算出 ，
故选A.
10. 在 平 面 内 ， 定 点 A ， B ， C ， D 满 足 ，
，动点P，M满足 ， ，则 的
最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，
，所以 到 三点的距离相等， 是 的外心；
所以 ，
同理可得，
从而 是 的垂心；
的外心与垂心重合，因此 是正三角形，且 是 的中心；
所以正三角形 的边长为 ；
我们以 为原点建立直角坐标系， 三点坐标分别为
。
由 ，设 点的坐标为 ，其中 ，
而 ，即 是 的中点，
可以写出 的坐标为
则
当 时， 取得最大值 。
故选B.
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. __________．
【答案】
【解析】由题可知， （二倍角公式）
12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，
则在2次试验中成功次数X的均值是__________．
【答案】
【解析】由题可知，
在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为
∵ 2次独立试验成功次数 满足二项分布 ，则
13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三
棱锥的体积是__________．
【答案】
【解析】由题可知，
∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，
由正视图可得如下俯视图，且三棱锥高为
，
则面积
14. 已知函数 是定义在R上的周期为2的奇函数，当 时， ，
则 __________.
【答案】
【解析】首先， 是周期为2的函数，所以 ；
而 是奇函数，所以 ，
所以： ， ，即
又 ， 时，
故 ，从而
15. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 当 不 是 原 点 时 ， 定 义 的 “ 伴 随 点 ” 为；当 是原点时，定义 的“伴随点”为它自身，平面曲线 上
所有点的“伴随点”所构成的曲线 定义为曲线 的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点 的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点A；
② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③ 若曲线 关于 轴对称，则其“伴随曲线” 关于 轴对称；
④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.
【答案】②③
【解析】① 设 的坐标 ，伴随点 ， 的伴随点
横坐标为 ，同理可得纵坐标为
故 . 错误；
② 设单位圆上的点 的坐标为 ，则 的伴随点的坐标为
，
所以 也在单位圆上，即： 点是 点延顺时针方向旋转 . 正确；
③ 设曲线 上点 的坐标 ，其关于 轴对称的点 也在曲线 上 所
以点 的伴随点 ，
点 的伴随点 ， 与 关于 轴对称。正确；
④ 反例：例如 这条直线，则 ，而这三个点的伴
随点分别是 ，而这三个点不在同一直线上 下
面给出严格证明：
设点 在直线 ， 点的伴随点为 ，
则 ，解得 .
带入直线方程可知： ，
化简得： ，
当 时， 是一个常数， 的轨迹是一条直线；
当 时， 不是一个常数， 的轨迹不是一条直线.
所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线. 错误.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．
16. （本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活
用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过
x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费. 为了了解居民用水情况，通过抽样，获
得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 ， ，
…， 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值，
并说明理由.
频率
组距
0.52
0.40
a
0.16
0.12
0.08
0.04
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量（吨）
【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1
∵频率=(频率/组距)*组距
∴
得
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为： (万)
（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：
即 的居民月均用水量小于2.5吨,
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故
假设月均用水量平均分布，则 （吨）.
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。
17. （本小题满分12分）
在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .
（I）证明： ；
（II）若 ，求 .【解析】（I）证明：由正弦定理 可知
原式可以化解为
∵ 和 为三角形内角 , ∴
则，两边同时乘以 ，可得
由和角公式可知，
原式得证。
（II）由题 ,根据余弦定理可知，
∵ 为为三角形内角， ，
则 ，即
由（I）可知 ，∴
∴
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ，
E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 .
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线 平面PBE，
并说明理由；
（II）若二面角 的大小为 ，求直线PA与
平面PCE所成角的正弦值.
【解析】（I）延长 ，交直线 于点 ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 即 ，
∴四边形 为平行四边形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 面 ，
∴ 面 ，
∵ ， 面 ，
∴ 面 故在面 上可找到一点 使得 面 .
（II）过 作 交 于点 ，连结 ，过 作 交 于点 ，
∵ ， 与 所成角为 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ 面 ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ 面 ，
∵ 面 ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ 面 ，
∴ 为所求 与面 所成的角，
∵ 面 ， 即 .
∴ 为二面角 所成的平面角,
由题意可得 ，而 ,
∴ ,
∵ ,四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
19. （本小题满分12分）
已知数列 的首项为1， 为数列 的前n项和， ，其中 ，
.
（I）若 成等差数列，求 的通项公式；
（II）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明： .
【解析】（I） ， ， ，
当 时， ，故 ，又 ，则 ，故 当 时也
满足，故 ∴
（II）证明：由双曲线的性质可知，
由（I）可得， 为首项为1，公比为 的等比数列
故 ，即∴ 为首项为1，公比为 的等比数列，通项公式为
∴
∴
原式得证.
20. （本小题满分13分）
已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶
点，直线 与椭圆E有且只有一个公共点T.
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线 平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线
l交于点P. 证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值.
【解析】（I）设短轴一端点为 ，左，右焦点分别为 ，
则 .
由题意， 为直角三角形.
∴ 解得 ，
∴ .
代入 可得 .
与椭圆 只有一个交点，则 ，解得 .
∴ .
由 ，解得 ，则 ，所以 的坐标为 。
（II）设 在 上，由 ， 平行 .
得 的参数方程为 代入椭圆 得.
.
整理可得 .
设两根为 ， 则有 .
而 ，
， .故有 .
由题意 .
∴ ， 故存在这样的 .
21. （本小题满分14分）
设函数 ，其中 .
（I）讨论 的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得 在区间 内恒成立
（ …为自然对数的底数）.
【解析】（I）由题意，
①当 时， ， ， 在 上单调递减.
②当 时， ，当 时， ；
当 时， .
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
（II）原不等式等价于 在 上恒成立.
一方面，令 ，
只需 在 上恒大于0即可.
又∵ ，故 在 处必大于等于0.
令 ， ，可得 .
另一方面，
当 时，
∵ 故 ，又 ，故 在 时恒大于0.
∴当 时， 在 单调递增.
∴ ，故 也在 单调递增.
∴ ，即 在 上恒大于0.
综上， .
