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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜ }B．A∩B=
∅
C．A∪B={x|x＜ }D．A∪B=R
2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n块地作试验田．这n块地的
亩产量（单位：kg）分别是x ，x ，…，x ，下面给出的指标中可以用来评估
1 2 n
这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x ，x ，…，x 的平均数 B．x ，x ，…，x 的标准差
1 2 n 1 2 n
C．x ，x ，…，x 的最大值 D．x ，x ，…，x 的中位数
1 2 n 1 2 n
3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）
4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切
圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机
取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x
轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A． B． C． D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，
Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面MNQ不平行的是
（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（5分）函数y= 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称
D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在
和 两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
11．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA
（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ，则C=（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存在点M满
足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0， ]∪[9，+∞）C．（0，
1]∪[4，+∞） D．（0， ]∪[4，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则
m= ．
14．（5分）曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为 ．
15．（5分）已知α （0， ），tanα=2，则cos（α﹣ ）= ．
∈
16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直
径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则
球O的表面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第 17～
21题为必选题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记S 为等比数列{a }的前n项和．已知S =2，S =﹣6．
n n 2 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求S ，并判断S ，S ，S 是否成等差数列．
n n+1 n n+2
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱
锥的侧面积．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min
从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验
员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = x=9.97，s= = ≈0.212，
i
≈18.439， （x﹣ ）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x 为抽取的第
i i
i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
（1）求（x，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天
i
生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则
可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3s， +3s）之外的零件，就
认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产
过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在（ ﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生
产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附 ： 样 本 （ x ， y ） （ i=1 ， 2 ， … ， n ） 的 相 关 系 数 r=
i i， ≈0.09．
20．（12分）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求
直线AB的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参
数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜ }B．A∩B= C．A∪B={x|x＜ }D．A∪B=R
∅
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．
【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．
【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜ }，
∴A∩B={x|x＜ }，故A正确，B错误；
A∪B={x||x＜2}，故C，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n块地作试验田．这n块地的
亩产量（单位：kg）分别是x ，x ，…，x ，下面给出的指标中可以用来评估
1 2 n
这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x ，x ，…，x 的平均数 B．x ，x ，…，x 的标准差
1 2 n 1 2 n
C．x ，x ，…，x 的最大值 D．x ，x ，…，x 的中位数
1 2 n 1 2 n
【考点】BC：极差、方差与标准差．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．
【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，
故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故 B可以用来评估这种农作物
亩产量稳定程度；
在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量
稳定程度；
在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等
水平”，
故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．
故选：B．
【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基
础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和
意义的合理运用．
3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．
【解答】解：A．i（1+i）2=i•2i=﹣2，是实数．
B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．
C．（1+i）2=2i为纯虚数．
D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算
能力，属于基础题．
4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切
圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．
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【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进
行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为
1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S= ，
则对应概率P= = ，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的
面积是解决本题的关键．
5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x
轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．
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【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可
求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．
【解答】解：由双曲线C：x2﹣ =1的右焦点F（2，0），
PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，
则P（2，3），
∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，
∴△APF的面积S= ×丨AP丨×丨PF丨= ，
同理当y＜0时，则△APF的面积S= ，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．
6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，
Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面MNQ不平行的是
（ ）
A． B．C． D．
【考点】LS：直线与平面平行．
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【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与
距离．
【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．
【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足
题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；
对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；
所以选项A满足题意，
故选：A．
【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决
本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
7．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大
值即可．
【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图：，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由 解得A（3，0），
所以z=x+y 的最大值为：3．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函
数的最优解是解题的关键．
8．（5分）函数y= 的部分图象大致为（ ）
A．
B．C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
【解答】解：函数y= ，
可知函数是奇函数，排除选项B，
当x= 时，f（ ）= = ，排除A，
x=π时，f（π）=0，排除D．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数
的特殊点是判断函数的图象的常用方法．
9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称
D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由已知中函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），可得f（x）=f（2﹣x），进而可
得函数图象的对称性．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），
∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx，
即f（x）=f（2﹣x），
即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对
称性是解答的关键．
10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在
和 两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．
【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”
内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．
【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“ ”内不能输入“A＞1000”，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
所以“ ”中n依次加2可保证其为偶数，
所以D选项满足要求，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．
11．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA
（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ，则C=（ ）
A． B． C． D．
【考点】HP：正弦定理．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；
58：解三角形．
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，
∵ ＜A＜π，
∴A= ，
由正弦定理可得 = ，
∴sinC= ，
∵a=2，c= ，
∴sinC= = = ，
∵a＞c，
∴C= ，
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题
12．（5分）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存在点M满
足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0， ]∪[9，+∞）C．（0，
1]∪[4，+∞） D．（0， ]∪[4，+∞）
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】 分类讨论 ，由要使椭圆 C 上存在点 M 满足 ∠AMB=120° ，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在 x轴上，tan∠AMO=
≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在 y 轴上时，m＞3，tan∠AMO=≥tan60°= ，即可求得m的取值范围．
【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，
设椭圆的方程为： （a＞b＞0），设 A（﹣a，0），B（a，0），M
（x，y），y＞0，
则a2﹣x2= ，
∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα= ，tanβ= ，
则 tanγ=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣ =﹣ =﹣
=﹣ =﹣ ，
∴tanγ=﹣ ，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值，
∴M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足
∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ，
解得：0＜m≤1；当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，
当 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足
∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ，解得：m≥9，
∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）
故选A．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想
及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则
m= 7 ．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出 ，再由向量 + 与 垂直，利用
向量垂直的条件能求出m的值．
【解答】解：∵向量 =（﹣1，2）， =（m，1），
∴ =（﹣1+m，3），
∵向量 + 与 垂直，
∴（ ）• =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，
解得m=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向
量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．
14．（5分）曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为 x﹣ y + 1= 0 ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
【解答】解：曲线y=x2+ ，可得y′=2x﹣ ，
切线的斜率为：k=2﹣1=1．
切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0．
【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．15．（5分）已知α （0， ），tanα=2，则cos（α﹣ ）= ．
∈
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．
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【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】根据同角的三角函数的关系求出 sinα= ，cosα= ，再根据两角差
的余弦公式即可求出．
【解答】解：∵α （0， ），tanα=2，
∈
∴sinα=2cosα，
∵sin2α+cos2α=1，
解得sinα= ，cosα= ，
∴cos（α﹣ ）=cosαcos +sinαsin = × + × = ，
故答案为：
【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算
能力，属于基础题．
16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直
径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则
球O的表面积为 36π ．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球
的表面积．
【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，
若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，
可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得 ，解得r=3．
球O的表面积为：4πr2=36π．
故答案为：36π．
【点评】本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空
间想象能力以及计算能力．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第 17～
21题为必选题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记S 为等比数列{a }的前n项和．已知S =2，S =﹣6．
n n 2 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求S ，并判断S ，S ，S 是否成等差数列．
n n+1 n n+2
【考点】89：等比数列的前n项和；8E：数列的求和．
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【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）由题意可知a =S ﹣S =﹣6﹣2=﹣8，a = = ，a = = ，由
3 3 2 1 2
a +a =2，列方程即可求得q及a ，根据等比数列通项公式，即可求得{a }的
1 2 1 n
通项公式；
（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S ，分别求得S ，
n n+1
S ，显然S +S =2S ，则S ，S ，S 成等差数列．
n+2 n+1 n+2 n n+1 n n+2
【解答】解：（1）设等比数列{a }首项为a ，公比为q，
n 1则a =S ﹣S =﹣6﹣2=﹣8，则a = = ，a = = ，
3 3 2 1 2
由a +a =2， + =2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，
1 2
则a =﹣2，a =（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，
1 n
∴{a }的通项公式a =（﹣2）n；
n n
（2）由（1）可知：S = = =﹣ [2+（﹣2）n+1]，
n
则S =﹣ [2+（﹣2）n+2]，S =﹣ [2+（﹣2）n+3]，
n+1 n+2
由S +S =﹣ [2+（﹣2）n+2]﹣ [2+（﹣2）n+3]，
n+1 n+2
=﹣ [4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，
=﹣ [4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣ （2+（﹣2）n+1）]，
=2S ，
n
即S +S =2S ，
n+1 n+2 n
∴S ，S ，S 成等差数列．
n+1 n n+2
【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，
考查计算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱
锥的侧面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直．
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【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与
距离．
【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，
由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=
，PO= ，由四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求出a=2，由此能求出该四
棱锥的侧面积．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，
∵AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，
⊂
∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，且AD= = ，PO= ，
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
∴V =
P﹣ABCD
= = = = ，
解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ，PO= ，∴PB=PC= =2 ，
∴该四棱锥的侧面积：
S =S +S +S +S
侧 △PAD △PAB △PDC △PBC
= + + +
=
=6+2 ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中
线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解
能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min
从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验
员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = x=9.97，s= = ≈0.212，
i
≈18.439， （x﹣ ）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x 为抽取的第
i i
i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
（1）求（x，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天
i生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则
可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3s， +3s）之外的零件，就
认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产
过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在（ ﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生
产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附 ： 样 本 （ x ， y ） （ i=1 ， 2 ， … ， n ） 的 相 关 系 数 r=
i i
， ≈0.09．
【考点】BS：相关系数．
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【专题】38：对应思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；
（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；
（ii）代入公式计算即可．
【解答】解：（1）r= = =﹣
0.18．
∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地
变大或变小．
（2）（i） =9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），
显然第13号零件尺寸不在此范围之内，
∴需要对当天的生产过程进行检查．（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为 =10.02，
=16×0.2122+16×9.972=1591.134，
∴剔除离群值后样本方差为 （1591.134﹣9.222﹣15×10.022）=0.008，
∴剔除离群值后样本标准差为 ≈0.09．
【点评】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题．
20．（12分）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求
直线AB的方程．
【考点】I3：直线的斜率；KN：直线与抛物线的综合．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、
性质与方程．
【分析】（1）设A（x ， ），B（x ， ），运用直线的斜率公式，结合
1 2
条件，即可得到所求；
（2）设M（m， ），求出y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的
条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之
积为﹣1，可得x ，x 的关系式，再由直线AB：y=x+t与y= 联立，运用韦
1 2
达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．
【解答】解：（1）设A（x ， ），B（x ， ）为曲线C：y= 上两点，
1 2则直线AB的斜率为k= = （x +x ）= ×4=1；
1 2
（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y= ，
可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x +x =4，x x =﹣4t，
1 2 1 2
再由y= 的导数为y′= x，
设M（m， ），可得M处切线的斜率为 m，
由C在M处的切线与直线AB平行，可得 m=1，
解得m=2，即M（2，1），
由AM⊥BM可得，k •k =﹣1，
AM BM
即为 • =﹣1，
化为x x +2（x +x ）+20=0，
1 2 1 2
即为﹣4t+8+20=0，
解得t=7．
则直线AB的方程为y=x+7．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方
程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，
属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，
∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），
①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在R上单调递增，
②当a＞0时，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，
当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
③当a＜0时，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣ ），
当x＜ln（﹣ ）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞ln（﹣ ）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
当 a＜0 时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上单调递减，在（ln（﹣ ），
+∞）上单调递增，
（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，
②当a＞0时，由（1）可得f（x） =f（lna）=﹣a2lna≥0，
min
∴lna≤0，∴0＜a≤1，
③当a＜0时，由（1）可得：
f（x） =f（ln（﹣ ））= ﹣a2ln（﹣ ）≥0，
min
∴ln（﹣ ）≤ ，
∴﹣2 ≤a＜0，
综上所述a的取值范围为[﹣2 ，1]
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题．
（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参
数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．
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【专题】34：方程思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线 l的参数方程化为一般
方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ [0，2π），运用点到直线
距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离
∈
最大值为 进行分析，
可以求出a的值．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方
程是： +y2=1；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程 ，
解得 或 ，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）．（2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ [0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
∈
d= = ，φ满足tanφ= ，且的d的最大
值为 ．
①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17
解得a=8≥﹣4，符合题意．
②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17
解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．
【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难
点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．
【 分 析 】 （ 1 ） 当 a=1 时 ， f （ x ） =﹣x2+x+4 ， g （ x ） =|x+1|+|x﹣1|=
，分x＞1、x [﹣1，1]、x （﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g
∈ ∈
（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，
]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立 x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒
⇔
成立，只需 ，解之即可得a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的
二次函数，
g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，
当x （1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单
∈
调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为
（1， ]；
当x [﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．
当x （﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣
∈
1∈ ）=2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]
恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨
论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．
