文档文本内容
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答
案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 中元素的个数为（
）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四
种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A. B.
C. D.
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某
地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的
焦点坐标为（ ）
A. （ ，0） B. （ ，0） C. （1，0） D. （2，0）
6.已知向量a，b满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.在 ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
△
A. B. C. D.
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
9.已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A. –2 B. –1 C. 1 D. 210.若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y= x+1 D. y= x+
11.设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，离心率为 ．P是
1 2
C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12.已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
14. 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
的展开通项公式 ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
16.关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.设数列{a}满足a=3， ．
n 1
（1）计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明；
2 3 n
（2）求数列{2na}的前n项和S．
n n
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，
整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
[0，200] (200，400] (400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3
或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，
判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19.如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且 ，
．
（1）证明：点 在平面 内；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．20.已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点．
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
21.设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所
做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
（1）求 ；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
[选修4—5：不等式选讲]（10分）
23.设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
