文档内容
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
5．（5分）若tanα= ，则cos2α+2sin2α=（ ）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
A． B． C．1 D．
1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（ ）
A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） 6．（5分）已知a= ，b= ，c= ，则（ ）
C．[3，+∞） D．（0，2]∪[3，+∞）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
2．（5分）若z=1+2i，则 =（ ） 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
3．（5分）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最
低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温
约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA等于（ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
A． B． C．﹣ D．﹣
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 ．
14．（5分）函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移 个单
位长度得到．
15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，
﹣3）处的切线方程是 ．
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣ =0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线
与x轴交于C，D两点，若|AB|=2 ，则|CD|= ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知数列{a }的前n项和S =1+λa ，其中λ≠0．
A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 n n n
（1）证明{a }是等比数列，并求其通项公式；
10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A B C 内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8， n
1 1 1
AA =3，则V的最大值是（ ） （2）若S = ，求λ．
1 5
A．4π B． C．6π D．
11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的
左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点
E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）定义“规范01数列”{a }如下：{a }共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任
n n
意k≤2m，a ，a ，…，a 中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范 01数列”共
1 2 k
有（ ）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014． 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明； 为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． （1）证明：MN∥平面PAB；
附注： （2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
参考数据： y=9.32， tiy=40.17， =0.55， ≈2.646．
i i
参考公式：相关系数r= ，
回归方程 = + t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
= ， = ﹣ ．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l ，l 分别交C于A，B两
1 2
点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]
21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．
23．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （α为参数），以坐标原点为极点，
1
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2 ．
2
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
（1）写出C 的普通方程和C 的直角坐标方程；
1 2
（2）设点P在C 上，点Q在C 上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
1 2
[选修4-5：不等式选讲]
请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
讲]
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
22．（10分）如图，⊙O中 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD． ∈【解答】解：z=1+2i，则 = = =i．
2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
3．（5分）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（ ）
求的.
A．30° B．45° C．60° D．120°
1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（ ）
A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D．（0，
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
2]∪[3，+∞） 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．
【考点】1E：交集及其运算． 【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦
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【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．
【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．
【解答】解： ， ；
【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），
∵T=（0，+∞），
∴ ；
∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），
故选：D．
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公
式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．
2．（5分）若z=1+2i，则 =（ ）
4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温
约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．A． B． C．1 D．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．
【解答】解：∵tanα= ，
∴cos2α+2sin2α= = = = ．
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
故选：A．
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
6．（5分）已知a= ，b= ，c= ，则（ ）
【考点】F4：进行简单的合情推理．
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
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【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．
【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
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【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
B．七月的平均温差大约在 10°左右，一月的平均温差在 5°左右，故七月的平均温差比一月的平均
【分析】b= = ，c= = ，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．
温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
【解答】解：∵a= = ，
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，
故选：D． b= ，
【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图
c= = ，
象法进行判断是解决本题的关键．
综上可得：b＜a＜c，
故选：A．
5．（5分）若tanα= ，则cos2α+2sin2α=（ ）
【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4
满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） 故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 a，b，s的
值是解题的关键，属于基础题．
8．（5分）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】HT：三角形中的几何计算．
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【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．
【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ= = = ，sinθ= ，利
用两角和的余弦即可求得答案．
【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】EF：程序框图．
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【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20 ∵在△ABC中，B= ，BC边上的高AD=h= BC= a，
时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
∴BD=AD= a，CD= a，
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=4，b=6，n=0，s=0
执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 在Rt△ADC中，cosθ= = = ，故sinθ= ，
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2
不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3故选：B．
∴cosA=cos（ +θ）=cos cosθ﹣sin sinθ= × ﹣ × =﹣ ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形
故选：C．
状是解答的关键．
【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是
亮点，属于中档题．
10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A B C 内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，
1 1 1
AA =3，则V的最大值是（ ）
1
9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面
A．4π B． C．6π D．
体的表面积为（ ）
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A B C 的内切球半径为 ，代入球的体积公式，可得答案．
1 1 1
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
故三角形ABC的内切圆半径r= =2，
又由AA =3，
1
故直三棱柱ABC﹣A B C 的内切球半径为 ，
1 1 1
A．18+36 B．54+18 C．90 D．81
此时V的最大值 = ，
故选：B．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，
11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的
其底面面积为：3×6=18，
左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点
侧面的面积为：（3×3+3× ）×2=18+18 ，
E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
故棱柱的表面积为：18×2+18+18 =54+18 ．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三
A． B． C． D．
点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【考点】K4：椭圆的性质．
菁优网版权所有 12．（5分）定义“规范01数列”{a }如下：{a }共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任
n n
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
意k≤2m，a ，a ，…，a 中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范 01数列”共
1 2 k
【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可
有（ ）
得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
【考点】8B：数列的应用．
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设直线AE的方程为y=k（x+a），
【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．
令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），
【分析】由新定义可得，“规范 01数列”有偶数项 2m项，且所含 0与1的个数相等，首项为
设OE的中点为H，可得H（0， ）， 0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．
【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为
由B，H，M三点共线，可得k =k ，
BH BM
0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：
即为 = ， 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，
0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；
化简可得 = ，即为a=3c， 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，
0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；
可得e= = ．
0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，
另解：由△AMF∽△AEO， 1，0，1，0，1，0，1．共14个．
故选：C．
可得 = ，
【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压
由△BOH∽△BFM，
轴题．
可得 = = ，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
即有 = 即a=3c，
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 ．
可得e= = ．
故选：A．【分析】令f（x）=sinx+ cosx=2sin（x+ ），则f（x﹣φ）=2sin（x+ ﹣φ），依题意可得2sin
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
（x+ ﹣φ）=2sin（x﹣ ），由 ﹣φ=2kπ﹣ （k Z），可得答案．
【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．
∈
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大， 【解答】解：∵y=f（x）=sinx+ cosx=2sin（x+ ），y=sinx﹣ cosx=2sin（x﹣ ），
由 得D（1， ），
∴f（x﹣φ）=2sin（x+ ﹣φ）（φ＞0），
所以z=x+y的最大值为1+ ；
令2sin（x+ ﹣φ）=2sin（x﹣ ），
则 ﹣φ=2kπ﹣ （k Z），
∈
即φ= ﹣2kπ（k Z），
∈
当k=0时，正数φ = ，
min
故答案为： ．
【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到
故答案为： ． ﹣φ=2kπ﹣ （k Z）是关键，也是难点，属于中档题．
【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最 ∈
值的条件． 15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，
﹣3）处的切线方程是 2 x + y + 1= 0 ．
14．（5分）函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移 个
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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单位长度得到．
【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．
【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
菁优网版权所有 得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．
【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．
【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知数列{a }的前n项和S =1+λa ，其中λ≠0．
x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）= ﹣3， n n n
（1）证明{a }是等比数列，并求其通项公式；
n
可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，
（2）若S = ，求λ．
则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1）， 5
即为2x+y+1=0．
故答案为：2x+y+1=0． 【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．
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【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算 【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
能力，属于中档题． 【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行
证明求解即可．
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣ =0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线 （2）根据条件建立方程关系进行求解就可．
与x轴交于C，D两点，若|AB|=2 ，则|CD|= 4 ． 【解答】解：（1）∵S =1+λa ，λ≠0．
n n
∴a ≠0．
n
【考点】J8：直线与圆相交的性质． 当n≥2时，a =S ﹣S =1+λa ﹣1﹣λa =λa ﹣λa ，
n n n﹣1 n n﹣1 n n﹣1
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆． 即（λ﹣1）a =λa ，
n n﹣1
【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可． ∵λ≠0，a ≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，
n
【解答】解：由题意，|AB|=2 ，∴圆心到直线的距离d=3，
即 = ，（n≥2），
∴ =3，
∴{a }是等比数列，公比q= ，
n
∴m=﹣
当n=1时，S =1+λa =a ，
1 1 1
∴直线l的倾斜角为30°，
即a = ，
1
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴a = •（ ）n﹣1．
n
∴|CD|= =4．
（2）若S = ，
5
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础． 则若S =1+λ[ •（ ）4]= ，
5即（ ）5= ﹣1=﹣ ，
则 =﹣ ，得λ=﹣1．
【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据 n≥2时，a =S ﹣S 的关系进行递推是解决本
n n n﹣1
题的关键．考查学生的运算和推理能力．
18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 【考点】BK：线性回归方程．
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附注： 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．
【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，
参考数据： y=9.32， tiy=40.17， =0.55， ≈2.646．
i i
可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测
2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考公式：相关系数r= ，
【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
回归方程 = + t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ∵r= = ≈ ≈ ≈0.993，
∵0.993＞0.75，
= ， = ﹣ ．
故y与t之间存在较强的正相关关系；
（2） = = ≈ ≈0.103，
= ﹣ ≈1.331﹣0.103×4≈0.92，
∴y关于t的回归方程 =0.10t+0.92，2016年对应的t值为9， 【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，
∵N为PC的中点，
故 =0.10×9+0.92=1.82，
∴NG∥BC，且NG= ，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．
又AM= ，BC=4，且AD∥BC，
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M ∴AM∥BC，且AM= BC，
为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
则NG∥AM，且NG=AM，
（1）证明：MN∥平面PAB；
∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
∵AG 平面PAB，NM 平面PAB，
∴MN∥平面PAB；
⊂ ⊄
法二、
在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，
在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB= ，
∵AD∥BC，
∴cos ，则sin∠EAM= ，
【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．
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【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 在△EAM中，
【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得 NG∥BC，且NG=
∵AM= ，AE= ，
，再由已知得AM∥BC，且AM= BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平
由余弦定理得：EM= = ，
行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂
∴cos∠AEM= ，
足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到 ME∥AB，
由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；
而在△ABC中，cos∠BAC= ，
（2）连接 CM，证得 CM⊥AD，进一步得到平面 PNM⊥平面 PAD，在平面 PAD 内，过 A 作
AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形 ∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，
可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值． ∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC， 法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．
∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．
∵NE∩EM=E， 20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l ，l 分别交C于A，B两
1 2
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB； 点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC= ，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
．
【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．
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∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
∵PA⊥底面ABCD，PA 平面PAD，
【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；
∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，
⊂ （Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方
∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．
程．
在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．
【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN= = ， 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF= ， ∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴sin ．
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 ．
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
F（ ，0），准线为 x=﹣ ，
S = |PQ|= |y ﹣y |，
△PQF 1 2
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方 设直线AB与x轴交点为N，进行求解；
∴S = |FN||y ﹣y |，
△ABF 1 2
（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，
【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．
∴2|FN|=1，∴x =1，即N（1，0）．
N （II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|
cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．
设AB中点为M（x，y），由 得 =2（x ﹣x ），
1 2
当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，
令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，
又 = ，
则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，
且当t= 时，g（t）取得极小值，极小值为g（ ）=﹣ ﹣1=﹣ ，（二次函数
∴ = ，即y2=x﹣1．
在对称轴处取得极值）
∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．
令﹣1＜ ＜1，得a＜ （舍）或a＞ ．
①当0＜a≤ 时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣
1）|＜|g（1）|，
∴A=2﹣3a，
②当 ＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（ ），
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
又|g（ ）|﹣|g（﹣1）|= ＞0，
21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）； ∴A=|g（ ）|= ，
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
综上，A= ．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合
（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，
应用；56：三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）； 当0＜a≤ 时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，
（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质由⊙O中 的中点为P，可得∠4=∠5，
当 ＜a＜1时，A= = + + ＞1，
在△EBC中，∠1=∠2+∠3，
∴|f′（x）|≤1+a≤2A，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，
即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
综上：|f′（x）|≤2A．
则四点E，C，D，F共圆，
【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转
可得∠EFD+∠PCD=180°，
化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选
可得∠PCD=60°；
讲]
（2）证明：由C，D，E，F共圆，
22．（10分）如图，⊙O中 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
可得G为圆心，即有GC=GD，
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，
则OG⊥CD．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．
菁优网版权所有 【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理
【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．
能力，属于中档题．
【分析】（1）连接 PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，
∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性
[选修4-4：坐标系与参数方程]
质，即可得到所求∠PCD的度数；
23．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （α为参数），以坐标原点为极点，
（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证． 1
【解答】（1）解：连接PB，BC，
以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2 ．
设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3， 2
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5， （1）写出C 的普通方程和C 的直角坐标方程；
1 2（2）设点P在C 上，点Q在C 上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 解得t=±2，
1 2
显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
菁优网版权所有 即有|PQ|= = ，
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方
程． 此时4x2﹣12x+9=0，解得x= ，
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C 的普通方程，运用 x=ρcosθ，
1
即为P（ ， ）．
y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 的直角坐标方程；
2
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平 另解：设P（ cosα，sinα），
行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，
由P到直线的距离为d=
可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．
另外：设P（ cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可
= ，
得到所求最小值和P的坐标．
【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为 （α为参数）， 当sin（α+ ）=1时，|PQ|的最小值为 ，
1
移项后两边平方可得 +y2=cos2α+sin2α=1， 此时可取α= ，即有P（ ， ）．
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆
即有椭圆C ： +y2=1；
1
的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
曲线C 的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2 ，
2
[选修4-5：不等式选讲]
即有ρ（ sinθ+ cosθ）=2 ，
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0， （1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
即有C 的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0； （2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
2
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，
∈
|PQ|取得最值． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0， 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．
联立 可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，
（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，由此能求出a的取值
由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，范围．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）=|2x﹣1|，
∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，
2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3，
|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，
当a≥3时，成立，
当a＜3时，|x﹣ |+|x﹣ |≥ |a﹣1|≥ ＞0，
∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认
真审题，注意不等式性质的合理运用．
