文档内容
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元
素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整
理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，
绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化
比较平稳
4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
5．（5分）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y=x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
6．（5分）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x= 对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（ ，π）单调递减
7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N
的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的
球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B． C． D．
9．（5分）等差数列{a }的首项为1，公差不为0．若a ，a ，a 成等比数列，
n 2 3 6则{a }前6项的和为（ ）
n
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
10．（5分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A ，A ，
1 2
且以线段 A A 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为
1 2
（ ）
A． B． C． D．
11．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则 a=
（ ）
A．﹣ B． C． D．1
12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相
切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣4y的最小值为 ．
14．（5分）设等比数列{a }满足a +a =﹣1，a ﹣a =﹣3，则a = ．
n 1 2 1 3 4
15．（5分）设函数f（x）= ，则满足f（x）+f（x﹣ ）＞1的x的
取值范围是 ．
16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC的直角
边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结
论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据
要求作答。（一）必考题：60分。
17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+
cosA=0，a=2 ，b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶
4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部
处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，
25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定
六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频
数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶
一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）如图，四面体 ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角
形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两
部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，
圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（1）若f（x）≥0，求a的值；
（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜
m，求m的最小值．
（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ，（t 为参
1
数），直线l 的参数方程为 ，（m为参数）．设l 与l 的交点为P，
2 1 2
当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l ：ρ
3
（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l 与C的交点，求M的极径．
3
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元
素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】5J：集合．
【分析】解不等式组求出元素的个数即可．
【解答】解：由 ，解得： 或 ，
∴A∩B的元素的个数是2个，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．
2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】A8：复数的模．
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【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．
则|z|= ．
故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算
能力，属于基础题．
3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整
理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，
绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化
比较平稳
【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．
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【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．
【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万
人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平
稳，故D正确；故选：A．
【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，
属于基础题．
4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】34：方程思想；5P：二项式定理．
【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：T = （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣
r+1
1）r x5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得
出．
【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：T = （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r
r+1
（﹣1）r x5﹣ryr．
令5﹣r=2，r=3，解得r=3．
令5﹣r=3，r=2，解得r=2．
∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数=22×（﹣1）3 +23× =40．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题．
5．（5分）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y=
x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（ ）A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线
方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
【解答】解：椭圆 + =1的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，
双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，
可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，
所求的双曲线方程为： ﹣ =1．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查
计算能力．
6．（5分）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x= 对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（ ，π）单调递减【考点】H7：余弦函数的图象．
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【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，
B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，
此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，
C当x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点
为x= ，故C正确，
D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时函数f（x）不是单调函数，故D
错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图
象和性质是解决本题的关键．
7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N
的最小值为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】EF：程序框图．
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【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．
【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．
【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，
此时N的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，
注意解题方法的积累，属于中档题．
8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的
球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B． C． D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的
体积．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球
面上，
∴该圆柱底面圆周半径r= = ，
∴该圆柱的体积：V=Sh= = ．
故选：B．
【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理
论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．
9．（5分）等差数列{a }的首项为1，公差不为0．若a ，a ，a 成等比数列，
n 2 3 6
则{a }前6项的和为（ ）
n
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
【考点】85：等差数列的前n项和．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能
求出{a }前6项的和．
n
【解答】解：∵等差数列{a }的首项为1，公差不为0．a ，a ，a 成等比数列，
n 2 3 6
∴ ，∴（a +2d）2=（a +d）（a +5d），且a =1，d≠0，
1 1 1 1
解得d=﹣2，
∴{a }前6项的和为 = =﹣24．
n
故选：A．
【点评】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，
注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
10．（5分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A ，A ，
1 2
且以线段 A A 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为
1 2
（ ）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】以线段A A 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的
1 2
距离 =a，化简即可得出．
【解答】解：以线段A A 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
1 2
∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e= = = ．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直
线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则 a=
（ ）
A．﹣ B． C． D．1
【考点】52：函数零点的判定定理．
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【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】通过转化可知问题等价于函数 y=1﹣（x﹣1）2的图象与 y=a（ex﹣1+
）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合
函数的单调性分析可得结论．
【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+
）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递
减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图
象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有
两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递
减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图
象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件；
综上所述，a= ，
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能
力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意
解题方法的积累，属于难题．
12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相
切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性
质；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．
【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的
坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P 的坐标为（ cosθ+1，
sinθ+2），根据 =λ +μ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所
示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，∴BD= =
∴ BC•CD= BD•r，
∴r= ，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，
设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），
∵ =λ +μ ，
∴（ cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴ cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，
∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是
设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣4y的最小值为 ﹣ 1
．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5T：不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函
数z=3x﹣4y的最小值．
【解答】解：由 z=3x﹣4y，得 y= x﹣ ，作出不等式对应的可行域（阴影部
分），
平移直线y= x﹣ ，由平移可知当直线y= x﹣ ，
经过点B（1，1）时，直线y= x﹣ 的截距最大，此时z取得最小值，
将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，
即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形
结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
14．（5分）设等比数列{a }满足a +a =﹣1，a ﹣a =﹣3，则a = ﹣ 8 ．
n 1 2 1 3 4
【考点】88：等比数列的通项公式．
菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{a }的公比为 q，由 a +a =﹣1，a ﹣a =﹣3，可得：a
n 1 2 1 3 1
（1+q）=﹣1，a （1﹣q2）=﹣3，解出即可得出．
1
【解答】解：设等比数列{a }的公比为q，∵a +a =﹣1，a ﹣a =﹣3，
n 1 2 1 3
∴a （1+q）=﹣1，a （1﹣q2）=﹣3，
1 1
解得a =1，q=﹣2．
1
则a =（﹣2）3=﹣8．
4
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于
中档题．
15．（5分）设函数f（x）= ，则满足f（x）+f（x﹣ ）＞1的x的
取值范围是 （ ， + ∞ ） ．
【考点】3T：函数的值．
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【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．
【解答】解：若x≤0，则x﹣ ≤﹣ ，
则f（x）+f（x﹣ ）＞1等价为x+1+x﹣ +1＞1，即2x＞﹣ ，则x＞ ，
此时 ＜x≤0，
当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣ ＞﹣ ，
当x﹣ ＞0即x＞ 时，满足f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
当0≥x﹣ ＞﹣ ，即 ≥x＞0时，f（x﹣ ）=x﹣ +1=x+ ，此时f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
综上x＞ ，
故答案为：（ ，+∞）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论
的数学思想进行求解是解决本题的关键．
16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC的直角
边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结
论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是 ②③ ．（填写所有正确结论的编号）
【考点】MI：直线与平面所成的角．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为
1的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持
不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD
为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结
果．
【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|=1，|AB|= ，\
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量 =（0，1，0），| |
=1，
直线b的方向单位向量 =（1，0，0），| |=1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C与CD的夹角，θ [0，2π），
∈
∴AB′在运动过程中的向量， =（cosθ，sinθ，﹣1），| |= ，
设 与 所成夹角为α [0， ]，
∈
则cosα= = |sinθ| [0， ]，
∈
∴α [ ， ]，∴③正确，④错误．
∈
设 与 所成夹角为β [0， ]，
∈
cosβ= = = |cosθ|，
当 与 夹角为60°时，即α= ，
|sinθ|= = = ，
∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ，
∵β [0， ]，∴β= ，此时 与 的夹角为60°，
∈
∴②正确，①错误．
故答案为：②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关
系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数
形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据
要求作答。（一）必考题：60分。
17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+
cosA=0，a=2 ，b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．
【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
（2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到S = S ．
△ABD △ABC
【解答】解：（1）∵sinA+ cosA=0，
∴tanA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ），即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
故c=4．
（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，
∴cosC= ，
∴CD= = =
∴CD= BC
∵S = AB•AC•sin∠BAC= ×4×2× =2 ，
△ABC
∴S = S =
△ABD △ABC
【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属
于中档题
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶
4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部
处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，
25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定
六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频
数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶
一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
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【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，
由此能求出X的分布列．
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑
200≤n≤500，根据 300≤n≤500 和 200≤n≤300 分类讨论经，能得到当
n=300时，EY最大值为520元．
【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，
P（X=200）= =0.2，
P（X=300）= ，
P（X=500）= =0.4，
∴X的分布列为：
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，
∴只需考虑200≤n≤500，
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n；
若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n；
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，
∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n，
当200≤n≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n，
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，
∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n．
∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的
求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理
论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档
题．
19．（12分）如图，四面体 ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角
形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两
部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间
角．
【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，
可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，
可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得
OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（2）设点D，B到平面ACE的距离分别为h ，h ．则 = ．根据平面AEC把
D E
四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点E
是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取 AB=2．利用法向量
的夹角公式即可得出．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．
△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．
∵△ACD是直角三角形，
∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．
∴DO= AC．
∴DO2+BO2=AB2=BD2．
∴∠BOD=90°．
∴OB⊥OD．
又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．
又OB 平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC．
⊂
（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h ，h ．则 = ．
D E
∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
∴ = = =1．
∴点E是BD的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，
，0），E ．
=（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）．
设平面ADE的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取
= ．
同理可得：平面ACE的法向量为 =（0，1， ）．
∴cos = = =﹣ ．
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为 ．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹
角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，
圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．
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【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，
由 • =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，
利用韦达定理及向量数量积的可得 • =0，则坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量
积的坐标运算，即可求得 • =0，则坐标原点O在圆M上；
（2）由题意可知： • =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得 k的值，
求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．
【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B
（2，﹣2），
则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 • =0，
∴ ⊥ ，
则坐标原点O在圆M上；
当直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 y=k（x﹣2），A（x ，y ），B（x ，
1 1 2
y ），
2
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
则x x =4，4x x =y 2y 2=（y y ）2，由y y ＜0，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
则y y =﹣4，
1 2
由 • =x x +y y =0，
1 2 1 2
则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，
，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2则y y =﹣4，
1 2
则（y y ）2=4x x ，则x x =4，则 • =x x +y y =0，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，
∴坐标原点O在圆M上；
（2）由（1）可知：x x =4，x +x = ，y +y = ，y y =﹣4，
1 2 1 2 1 2 1 2
圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x ，﹣2﹣y ）， =（4﹣x ，﹣2﹣y ），
1 1 2 2
由 • =0，则（4﹣x ）（4﹣x ）+（﹣2﹣y ）（﹣2﹣y ）=0，
1 2 1 2
整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，
当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，
则x +x = ，y +y =﹣1，
1 2 1 2
则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ，
∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ．
当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，
同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，
∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，
综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ，
或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐
标运算，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（1）若f（x）≥0，求a的值；
（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜
m，求m的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．
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【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两
种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；
（2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+ ）＜ ，k N*．
∈
一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜
e，另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，从而当n≥3时，（1+
）（1+ ）…（1+ ） （2，e），比较可得结论．
∈
【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，
所以f′（x）=1﹣ = ，且f（1）=0．
所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这
与f（x）≥0矛盾；
当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，
所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x） =f
min
（a），
若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0矛盾；
所以a=1；
（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，
所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，
所以ln（1+ ）＜ ，k N*．
∈
ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）＜ + +…+ =1﹣ ＜1，
即（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m成立，
当n=3时，不等式左边大于2，
所以m的最小值为3．
【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查
转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩
法，注意解题方法的积累，属于难题．
（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ，（t 为参
1
数），直线l 的参数方程为 ，（m为参数）．设l 与l 的交点为P，
2 1 2
当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l ：ρ
3
（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l 与C的交点，求M的极径．
3
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
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【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l 与直线l 的普通方程为y=k
1 2
（x﹣2）①与 x=﹣2+ky②；联立①②，消去 k 可得 C 的普通方程为 x2﹣
y2=4；
（2）将l 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化为普通方程：x+y﹣ =0，
3
再与曲线C的方程联立，可得 ，即可求得l 与C的交点M的极径为
3
ρ= ．【解答】解：（1）∵直线l 的参数方程为 ，（t为参数），
1
∴消掉参数t得：直线l 的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
1
又直线l 的参数方程为 ，（m为参数），
2
同理可得，直线l 的普通方程为：x=﹣2+ky②；
2
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4（x≠2且y≠0）；
（2）∵l 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，
3
∴其普通方程为：x+y﹣ =0，
联立 得： ，
∴ρ2=x2+y2= + =5．
∴l 与C的交点M的极径为ρ= ．
3
【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与
等价转化思想的运用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．
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【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数
的性质及应用；5T：不等式．
【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）
≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x] ，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1
max
＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x） = ，从而可得m的取值范围．
max
【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x] ，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
max∈
由（1）知，g（x）= ，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x= （﹣
∈
1，2），
∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；
综上，g（x） = ，
max
∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，
突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于
难题．
