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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z= +2i，则|z|=（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则 A=（ ）
R
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤
∁
﹣1}∪{x|x≥2}
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现
翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村
建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5 分）记 S 为等差数列{a }的前 n 项和．若 3S =S +S ，a =2，则 a =
n n 3 2 4 1 5
（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
5．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线 y=f
（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =
（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． + D． +
7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点
M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，
则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为 的直线
与C交于M，N两点，则 • =（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（5分）已知函数f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在
2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）
10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三
个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边
AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记
为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p ，
1
p ，p ，则（ ）
2 3A．p =p B．p =p C．p =p D．p =p +p
1 2 1 3 2 3 1 2 3
11．（5分）已知双曲线C： ﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F
的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M，N．若△OMN为直角三角形，
则|MN|=（ ）
A． B．3 C．2 D．4
12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，
则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为 ．
14．（5分）记S 为数列{a }的前n项和．若S =2a +1，则S = ．
n n n n 6
15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生
入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2 ，求BC．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以
DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
19．（12分）设椭圆C： +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两
点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用
户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先
从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品
作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否
为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点
p ．
0
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p
0
作为p的值．已知每件产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，
则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记
为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所
有产品作检验？
21．（12分）已知函数f（x）= ﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x ，x ，证明： ＜a﹣2．
1 2
（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为
1
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣
2
3=0．
（1）求C 的直角坐标方程；
2
（2）若C 与C 有且仅有三个公共点，求C 的方程．
1 2 1
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x （0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
∈
