文档内容
面积的取值范围是（ ）
2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
A．[2，6] B．[4，8] C．[ ，3 ] D．[2 ，3 ]
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）
符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
A． B．
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，
图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，
则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
C． D．
8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立．设 X
为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
A． B． 9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为 ，则C=
（ ）
A． B． C． D．
C． D．
10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为
4．（5分）若sinα= ，则cos2α=（ ）
9 ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣ A．12 B．18 C．24 D．54
5．（5分）（x2+ ）5的展开式中x4的系数为（ ） 11．（5分）设F ，F 是双曲线C： ﹣ =1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过
1 2
A．10 B．20 C．40 D．80
F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF |= |OP|，则C的离心率为（ ）
2 1
6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABPA． B．2 C． D．
12．（5分）设a=log 0.3，b=log 0.3，则（ ）
0.2 2
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的
13．（5 分）已知向量 =（1，2）， =（2，﹣2）， =（1，λ）．若 ∥（2 + ），则 λ= 生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．
． 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作
14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ． 时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
15．（5分）函数f（x）=cos（3x+ ）在[0，π]的零点个数为 ．
16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，
B两点．若∠AMB=90°，则k=
．
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21题为必考题，每
过m的工人数填入下面的列联表：
个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）等比数列{a }中，a =1，a =4a ．
超过m 不超过m
n 1 5 3
（1）求{a }的通项公式； 第一种生产方式
n
（2）记S 为{a }的前n项和．若S =63，求m． 第二种生产方式
n n m
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2= ，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.82819．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M是 上异 21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
于C，D的点． （1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
20．（12分）已知斜率为 k的直线 l与椭圆C： + =1交于A，B两点，线段 AB的中点为 M
（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣ ；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且 + + = ．证明：| |，| |，| |成等差数列，
并求该数列的公差．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 [选修4-5：不等式选讲]（10分）
计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为 ，（θ为参数），过点（0，
（2）当x [0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
﹣ ）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
∈
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，
则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
A． B．
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
C． D．
【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
故选：C． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外 3边是虚线，
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
所以木构件的俯视图是A．
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
故选：A．
【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
4．（5分）若sinα= ，则cos2α=（ ）
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，故选：C．
A． B． C．﹣ D．﹣
【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查
运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
【考点】GS：二倍角的三角函数．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．
6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP
【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．
面积的取值范围是（ ）
【解答】解：∵sinα= ， A．[2，6] B．[4，8] C．[ ，3 ] D．[2 ，3 ]
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2× = ．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
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故选：B． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考 【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2 ，设P（2+ ， ），点P到
查函数与方程思想，是基础题．
直线 x+y+2=0的距离：d= = [ ]，由此能
5．（5分）（x2+ ）5的展开式中x4的系数为（ ）
∈
求出△ABP面积的取值范围．
A．10 B．20 C．40 D．80
【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，
【考点】DA：二项式定理．
菁优网版权所有 ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|= =2 ，
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理．
∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+ ， ），
【分析】由二项式定理得（x2+ ）5的展开式的通项为：T
r+1
= （x2）5﹣r（ ）r= ，由 ∴点P到直线x+y+2=0的距离：
d= = ，
10﹣3r=4，解得r=2，由此能求出（x2+ ）5的展开式中x4的系数．
【解答】解：由二项式定理得（x2+ ）5的展开式的通项为：
∵sin（ ） [﹣1，1]，∴d= [ ]，
T = （x2）5﹣r（ ）r= ， ∈ ∈
r+1
∴△ABP面积的取值范围是：
由10﹣3r=4，解得r=2，
[ ， ]=[2，6]．
∴（x2+ ）5的展开式中x4的系数为 =40．
故选：A．【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参 【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ） 函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），
由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，
得x＜﹣ 或0＜x＜ ，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，
得x＞ 或﹣ ＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
A．
也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决
本题的关键．
B．
8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立．设 X
为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
C．
【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．
【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，看做是独立重复事件，满足X～B
（10，p），
P（x=4）＜P（X=6），可得 ，可得1﹣2p＜0．即p ．
因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．
D．
故选：B．
【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
菁优网版权所有思想以及计算能力． 置关系与距离．
【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为 ，则C= 【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9 ，可得 ，解得AB=6，
（ ） 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
A． B． C． D． O′C= = ，OO′= =2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
【考点】HR：余弦定理．
菁优网版权所有 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为： =18 ．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
故选：B．
【分析】推导出S = = ，从而sinC= =cosC，由此能求出结果．
△ABC
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为 ，
∴S = = ，
△ABC
【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
∴sinC= =cosC，
11．（5分）设F ，F 是双曲线C： ﹣ =1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过
∵0＜C＜π，∴C= ． 1 2
故选：C． F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF |= |OP|，则C的离心率为（ ）
2 1
【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求 A． B．2 C． D．
解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
【考点】KC：双曲线的性质．
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10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
9 ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ） 【分析】先根据点到直线的距离求出|PF |=b，再求出|OP|=a，在三角形F PF 中，由余弦定理可
2 1 2
A．12 B．18 C．24 D．54 得|PF |2=|PF |2+|F F |2﹣2|PF |•|F F |cos∠PF O，代值化简整理可得 a=c，问题得以解决．
1 2 1 2 2 1 2 2
【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y= x，
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位∵ ， ，
∴点F 到渐近线的距离d= =b，即|PF |=b，
2 2
∴ab＜a+b＜0．
∴|OP|= = =a，cos∠PF O= ， 故选：B．
2
【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
∵|PF |= |OP|，
1
∴|PF |= a，
1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在三角形F PF 中，由余弦定理可得|PF |2=|PF |2+|F F |2﹣2|PF |•|F F |COS∠PF O，
1 2 1 2 1 2 2 1 2 2
13．（5分）已知向量 =（1，2）， =（2，﹣2）， =（1，λ）．若 ∥（2 + ），则λ=
∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c× =4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），
．
即3a2=c2，
即 a=c，
【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．
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∴e= = ， 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
故选：C．
【分析】利用向量坐标运算法则求出 =（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．
【解答】解：∵向量 =（1，2）， =（2，﹣2），
12．（5分）设a=log 0.3，b=log 0.3，则（ ）
0.2 2
∴ =（4，2），
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
∵ =（1，λ）， ∥（2 + ），
【考点】4M：对数值大小的比较．
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【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用． ∴ ，
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案．
解得λ= ．
【解答】解：∵a=log 0.3= ，b=log 0.3= ，
0.2 2
故答案为： ．
∴ = ，
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运
算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
，
14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ﹣ 3 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． ∵x [0，π]，
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
∴x= ∈ ，或x= π，或x= π，
【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．
故零点的个数为3，
【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex，
故答案为：3
曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，
【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．
可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．
故答案为：﹣3．
16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，
【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．
B两点．若∠AMB=90°，则k=
2 ．
15．（5分）函数f（x）=cos（3x+ ）在[0，π]的零点个数为 3 ．
【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．
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【考点】51：函数的零点． 【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质． 与方程．
【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立直线与抛物线方程组可得，
【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+ ）=0，可得3x+ = +kπ，k Z，即x= + kπ，即可求
k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x +x ，x x ，y +y ，y y ，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代
1 2 1 2 1 2 1 2
∈
出．
入整理可求k．
【解答】解：∵f（x）=cos（3x+ ）=0， 【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），
∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），
∴3x+ = +kπ，k Z，
∈ 联立 可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，
∴x= + kπ，k Z，
∈
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
当k=0时，x= ，
则 x +x = ，x x =1，
1 2 1 2
当k=1时，x= π，
∴y +y =k（x +x ﹣2）= ，y y =k2（x ﹣1）（x ﹣1）=k2[x x ﹣（x +x ）+1]=﹣4，
当k=2时，x= π， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵M（﹣1，1），
当k=3时，x= π，
∴ =（x +1，y ﹣1）， =（x +1，y ﹣1），
1 1 2 2∵∠AMB=90°，∴ • =0 （2）记S 为{a }的前n项和．
n n
∴（x +1）（x +1）+（y ﹣1）（y ﹣1）=0，
1 2 1 2
当a =1，q=﹣2时，S = = = ，
整理可得，x x +（x +x ）+y y ﹣（y +y ）+2=0， 1 n
1 2 1 2 1 2 1 2
∴1+2+ ﹣4﹣ +2=0，
由S =63，得S = =63，m N，无解；
m m
即k2﹣4k+4=0，
∈
∴k=2． 当a =1，q=2时，S = = =2n﹣1，
1 n
故答案为：2
由S =63，得S =2m﹣1=63，m N，
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算 m m
解得m=6．
∈
量．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解
能力，考查函数与方程思想，是基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的
17．（12分）等比数列{a }中，a =1，a =4a ．
n 1 5 3
生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．
（1）求{a }的通项公式；
n
第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作
（2）记S 为{a }的前n项和．若S =63，求m．
n n m
时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
【考点】89：等比数列的前n项和．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{a }的通项公式．
n
（2）当 a =1，q=﹣2 时，S = ，由 S =63，得 S = =63，m N，无解；当 a =1，
1 n m m 1
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
∈
q=2时，S =2n﹣1，由此能求出m．
n
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超
【解答】解：（1）∵等比数列{a }中，a =1，a =4a ．
n 1 5 3
过m的工人数填入下面的列联表：
∴1×q4=4×（1×q2），
超过m 不超过m
解得q=±2，
第一种生产方式
当q=2时，a =2n﹣1，
n
第二种生产方式
当q=﹣2时，a =（﹣2）n﹣1，
n
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
∴{a }的通项公式为，a =2n﹣1，或a =（﹣2）n﹣1．
n n n于C，D的点．
附：K2= ，
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
k 3.841 6.635 10.828
【考点】BL：独立性检验．
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【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论． 菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．
【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可．
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，
（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，
法进行求解即可．
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m= =80；
∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，
由此填写列联表如下；
∵AD∩DM=D，
超过m 不超过m 总计
∴MC⊥平面ADM，
∵MC 平面MBC，
第一种生产方式 15 5 20
∴平面AMD⊥平面BMC．
第二种生产方式 5 15 20 ⊂
（2）∵△ABC的面积为定值，
总计 20 20 40
∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大，
（3）根据（2）中的列联表，计算
此时M为圆弧的中点，
K2= = =10＞6.635，
建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． ∵正方形ABCD的边长为2，
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． ∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），
则平面MCD的法向量 =（1，0，0），
19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M是 上异 设平面MAB的法向量为 =（x，y，z）【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
则 =（0，2，0）， =（﹣2，1，1），
【分析】（1）设 A（x ，y ），B（x ，y ），利用点差法得 6（x ﹣x ）+8m（y ﹣y ）=0，k=
1 1 2 2 1 2 1 2
由 • =2y=0， • =﹣2x+y+z=0，
令x=1， =﹣ =﹣
则y=0，z=2，即 =（1，0，2），
又点M（1，m）在椭圆内，即 ，解得m的取值范围，即可得k＜﹣ ，
则cos＜ ， ＞= = = ，
（2）设A（x ，y ），B（x ，y ），P（x ，y ），可得x +x =2
1 1 2 2 3 3 1 2
则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα= = ． 由 + + = ，可得x ﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex =2﹣ x ，|FB|=2﹣ x ，|
3 1 1 2
FP|=2﹣ x = ．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再求公差．
3
【解答】解：（1）设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x +x =2，y +y =2m
1 2 1 2
将A，B代入椭圆C： + =1中，可得
【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐
标系，利用向量法是解决本题的关键． ，
两式相减可得，3（x +x ）（x ﹣x ）+4（y +y ）（y ﹣y ）=0，
1 2 1 2 1 2 1 2
20．（12分）已知斜率为 k的直线 l与椭圆C： + =1交于A，B两点，线段 AB的中点为 M 即6（x ﹣x ）+8m（y ﹣y ）=0，
1 2 1 2
（1，m）（m＞0）． ∴k= =﹣ =﹣
（1）证明：k＜﹣ ；
点M（1，m）在椭圆内，即 ，
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且 + + = ．证明：| |，| |，| |成等差数列，
并求该数列的公差． 解得0＜m
∴ ．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．
菁优网版权所有（2）证明：设A（x ，y ），B（x ，y ），P（x ，y ）， 得出a的值．
1 1 2 2 3 3
可得x +x =2， 【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．
1 2
∵ + + = ，F（1，0），∴x ﹣1+x ﹣1+x ﹣1=0，y +y +y =0， ， ，
1 2 3 1 2 3
∴x =1，y =﹣（y +y ）=﹣2m 可得x （﹣1，0）时，f″（x）≤0，x （0，+∞）时，f″（x）≥0
3 3 1 2
∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∈ ∈
∵m＞0，可得P在第四象限，故y =﹣ ，m= ，k=﹣1
3
∴f′（x）≥f′（0）=0，
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex =2﹣ x ，|FB|=2﹣ x ，|FP|=2﹣ x = ． ∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．
1 1 2 3
∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．
则|FA|+|FB|=4﹣ ，∴|FA|+|FB|=2|FP|，
（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得
f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+ ﹣2= ，
联立 ，可得|x ﹣x |=
1 2
令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），
h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．
所以该数列的公差d满足2d= |x ﹣x |= ，
1 2 当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，
∴该数列的公差为± ．
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问
当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+ ，
题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．
显然h″（x）单调递减，
21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
①令h″（0）=0，解得a=﹣ ．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；
∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴h′（x）≤h′（0）=0，
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
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∴h（x）单调递减，又h（0）=0，
【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．
∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即
当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，
可得出结论；
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
（2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而
∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；②若﹣ ＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e ﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e ）＜0， 程为x=0，成立；当α≠ 时，过点（0，﹣ ）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+
∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x ，
0
∴当0＜x＜x 时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，
0 ，从而圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d= ＜1，进而求出 或
∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x ）上单调递增，不符合题意；
0
，由此能求出α的取值范围．
③若a＜﹣ ，则h″（0）=1+6a＜0，h″（ ﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，
∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x ， （2）设直线l的方程为x=m（y+ ），联立 ，得（m2+1）y2+2 +2m2﹣1=0，由
1
∴当x ＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，
1
此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．
∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，
∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0， 【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为 （θ为参数），
∴f（x）在（x ，0）上单调递减，不符合题意．
1
∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，
综上，a=﹣ ．
当α= 时，过点（0，﹣ ）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，
当α≠ 时，过点（0，﹣ ）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣ ，
属于难题．
∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
∴圆心O（0，0）到直线l的距离d= ＜1，
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为 ，（θ为参数），过点（0，
∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，
﹣ ）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
∴ 或 ，
（1）求α的取值范围；
综上α的取值范围是（ ， ）．
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+ ），
【考点】QK：圆的参数方程．
设A（x ，y ），（B（x ，y ），P（x ，y ），
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
联立 ，得（m2+1）y2+2 +2m2﹣1=0，
【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α= 时，直线l的方，
=﹣ +2 ，
= ， =﹣ ，
∴AB中点P的轨迹的参数方程为 ，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．
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【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考 【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活 （2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．
运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
【解答】解：（1）当x≤﹣ 时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，
[选修4-5：不等式选讲]（10分） 当﹣ ＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x [0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
则f（x）= 对应的图象为：
∈
画出y=f（x）的图象；
（2）当x [0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，
∈
当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，
即a+b的最小值为5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题
的关键．
