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2021 年普通高等学校招生全国统一考试
新高考Ⅱ卷·数学
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止
同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地
球表面的距离）．将地球看作是一个球心为 O，半径r为 的球，其上点A的纬度
是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星
点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位：
），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
5．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
6．某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
7．已知 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
10．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则
满足 的是（ ）
A． B．
C． D．11．已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12．设正整数 ，其中 ，
记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为
_______．
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
15．已知向量 _______．
16．已知函数 ，函数 的图象在点 和点
的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是
_______．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17．记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
18．在 中，角A，B，C所对的边长分别为 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数a，使得 为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说
明理由．
19．在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ．
（1）证明：平面 平面 ；（2）求二面角 的平面角的余弦值．
20．已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：
M，N，F三点共线的充要条件是 ．
21．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0代，经过
一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互
独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
．（1）已知 ，求 ；
（2）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当
时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点.
① ；
② ．
