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2023-2024 学年北京交大附中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
√1
A. B. √ 12 C. √ 5 D. √ m2
7
2.在平面直角坐标系xO y中，将直线y=2x+1向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为( )
A. y=2x−1 B. y=2x+2 C. y=2x+3 D. y=2x−2
3.如图，数轴上点B表示的数为1，AB⊥OB，且AB=OB，以原点O为圆心，OA为半径画弧，交数
轴正半轴于点C，则点C所表示的数为( )
A. √ 2 B. −√ 2 C. √ 2−1 D. 1−√ 2
4.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，1，1 B. 2，3，4 C. 1，2，3 D. 5，12，13
5.下列图象中，y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
6.用配方法解一元二次方程x2+4x−1=0，配方后得到的方程是( )
A. B. C. D.
(x−1) 2=5 (x+2) 2=5 (x+1) 2=5 (x−2) 2=5
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学科网（北京）股份有限公司 1 17.甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是
学校，x表示的是行走时间(单位：分)，y表示的是与学校的距离(单位：米)，最后都到达了目的地，根据
图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；
②甲先到达的目的地；
③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确推断的序号是( )
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④
8.如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点.点D为平面内一个动点.线段AB，
BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q.在点D的运动过程中，有下列结论：①
存在无数个中点四边形M N PQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形M N PQ是
菱形；③存在无数个中点四边形M N PQ是矩形；④存在无数个中点四边形M N PQ
是正方形.其中，所有正确的有( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.函数y=√ x−2中，自变量x的取值范围是______．
10.一元二次方程x2=3x的解是： ．
11.平面直角坐标系xO y中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k>0且b<0时，A，B，C，D四点中，
一定不在一次函数y=kx+b图象上的点为 ．
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学科网（北京）股份有限公司 2 112.如果m是方程x2−2x−6=0的一个根，那么代数式2m2−4m−7的值为______．
13.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，
落点记为C′，BC′与AD交于点E，若AB=4，BC=8，则BE的长为
______．
14.若关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______．
15.如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE
上一点，且∠AFC=90°，若BC=12，AC=8，则DF的长为______．
16.在平面直角坐标系xO y中，一次函数y =kx+b与y =x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标
1 2
为2，则下列结论中所有正确的序号有______.①直线y =x+m与x轴所夹锐角等于45°；
2
②k+b>0；
③关于x的不等式kx+b0．
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学科网（北京）股份有限公司 3 1三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解方程：x2−2x−3=0．
四、解答题：本题共9小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
√1
计算：3 −√ 6×√ 2+√ 8÷√ 2．
3
19.(本小题5分)
已知：如图1，△ABC为锐角三角形，AB=AC．
求作：菱形ABDC．
作法：如图2．
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；
1
②分别以点M，N为圆心，大于 M N的长为半径作弧，两弧在∠C AB的内部相交于点E，作射线AE
2
与BC交于点O；
③以点O为圆心，以OA长为半径作弧，与射线AE交于点D，点D和点A分别位于BC的两侧，连接CD，
BD；
则四边形ABDC就是所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：由作法可知，AE平分∠C AB．
∵AB=AC，
∴CO=______．
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学科网（北京）股份有限公司 4 1∵AO=DO，
∴四边形ABDC是平行四边形(______)(填推理的依据)．
∵AB=AC，
∴四边形ABDC是菱形(______)(填推理的依据)．
20.(本小题5分)
已知关于 的一元二次方程 ．
x x2+(m−1)x−m=0
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根为负数，求m的取值范围．
21.(本小题4分)
如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，F A．
求证：四边形AECF是平行四边形．
22.(本小题5分)
一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=−3x的图象平行，且过点(2,−4)．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)画出一次函数y=kx+b的图象；
(3)结合图象解答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司 5 1①当y<0时，x的取值范围是______；
②当0”，“=”或“<”)；
1 1 2 2 1 2 1 2
1
②当x>2时，若对于x的每一个值，函数y= x+|x|的值都大于一次函数y=kx+1的值，则k的取值范
2
围是______．
25.(本小题7分)
已知正方形ABCD，点E，F分别在射线BC，射线CD上，BE=CF，AE与BF交于点H．
(1)如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，求证：AE=BF，且AE⊥BF；
(2)如图2，当点E在线段BC延长线上时，将线段BE沿BF平移至FG，连接AG．
①依题意将图2补全；
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学科网（北京）股份有限公司 7 1②用等式表示线段AG，FG和AD之间的数量关系，并证明．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xO y中，对于图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一
点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M和N的“极大距离”，记为d(M,N)．
已知：正方形ABCD，其中A(−1,1)，B(−1,−1)，C(1,−1)，D(1,1)．
(1)已知点P(0,t)，
①若t=3，则d(点P，正方形ABCD)= ______；
②若d(点P，正方形ABCD)=3，则t= ______．
(2)已知点E(m,3)，F(m+2,3)，若50且b<0，
∴图象过一、三、四象限，
∵D点在第二象限，
故答案为：D．
12.【答案】5
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学科网（北京）股份有限公司 15 1【解析】解：把m代入方程x2−2x−6=0，得到m2−2m−6=0，
所以m2−2m=6，
所以代数式2m2−4m−7=2×6−7=5；
故答案为：5．
先把m代入方程x2−2x−6=0，得到m2−2m=6，再代入代数式2m2−4m−7，即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，AD=BC=8，∠A=90°，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
设ED=x，则AE=8−x；
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即 ，
x2=42+(8−x) 2
解得：x=5，
∴BE=5．
故答案为5．
首先证明BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
本题考查翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、
勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
14.【答案】m>−1且m≠0
【解析】解：根据题意得m≠0且Δ=22+4m>0，
解得m>−1；
所以m的取值范围为：m>−1且m≠0．
故答案为：m>−1且m≠0．
根据根的判别式的意义得到Δ=22+4m>0，然后解不等式即可．
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学科网（北京）股份有限公司 16 1本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，
ax2+bx+c=0(a≠0) Δ=b2−4ac Δ>0
方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
15.【答案】2
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中线，
1
∴DE= BC，
2
∵BC=12，
∴DE=6，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=8，
1
∴EF= AC=4，
2
∴DF=DE−EF=6−4=2，
故答案为：2．
根据三角形中线定理求出DE，再根据直角三角形的性质求出EF，再进行计算即可．
本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的
一半是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】①②④解：由y =x+m知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线y =x+m与x轴所夹锐角等
2 2
于45°，故①的结论正确；
由图知：当x=1时，函数y 图象对应的点在x轴的上方，因此k+b>0故②的结论正确；
1
由图知：当x>2时，函数y 图象对应的点都在y 的图象下方，因此关于x的不等式kx+b2，故③的结论不正确；
由图知：k<0，m<0，因此mk>0，故④的结论正确；
答案为：①②④．
结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．
本题考查了一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注
意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合．
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学科网（北京）股份有限公司 17 117.【答案】解：将原方程左边分解因式，得
(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x =3，x =−1．
1 2
【解析】【分析】
先将原方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个一元一次方程的解即可．
【点评】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18.【答案】解：原式=√ 3−√ 3×√ 2×√ 2+√ 8÷2
=√ 3−2√ 3+2
=2−√ 3．
【解析】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关
键．
19.【答案】OB 对角线互相平分的四边形是平行四边形 邻边相等的平行四边形是菱形
【解析】(1)解：如图，四边形ABDC即为所求．
(2)证明：由作法可知，AE平分∠C AB．
∵AB=AC，
∴CO=OB，．
∵AO=DO，
∴四边形ABDC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)(填推理的依据)．
∵AB=AC，
∴四边形ABDC是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形)．
故答案为：OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．
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学科网（北京）股份有限公司 18 1(1)根据要求作出图形即可．
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键
是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：∵a=1，b=m−1，c=−m，
∴Δ=b2−4ac=(m−1) 2−4×1×(−m)
=m2+2m+1
．
=(m+1) 2
对任意实数 ， ，
∵ m (m+1) 2≥0
∴对任意实数m，方程总有两个实数根；
解： −b±√ b2−4ac 1−m±(m+1)，
(2) x= =
2a 2×1
∴x=1，x=m．
∵方程的一根为负数，
∴−m<0，
∴m>0．
【解析】(1)计算方程根的判别式，判断其符号即可；
(2)求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
21.【答案】证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，∴OE=OF．
∴四边形AECF为平行四边形．
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学科网（北京）股份有限公司 19 1【解析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．
平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活
地选择方法．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=−3x的图象平行，
∴k=−3，
∴y=−3x+b，
把点(2,−4)代入y=−3x+b得−6+b=−4，
解得b=2，
∴一次函数y=kx+b的表达式为：y=−3x+2；
(2)令x=0时，y=2，
过(0,2)，(2,−4)作直线，即为一次函数y=kx+b的图象，如图；
2
(3)①x> ；
3
②−4 ；
3 3
②当0 ；−40时，若对于x的每一个值，函数y= x+|x|的值大于一次函数y=kx+1(k≠0)的值，则k的取
2
值范围是k≤1且k≠0．
故答案为：①<；②k≤1且k≠0．
(1)由图表可知可以是任意实数；
1
(2)把x=0代入y= x+|x|即可求得；
2
(3)根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
(4)观察图象即可解决问题．
本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
{
BE=CF
∠ABE=∠BCF，
AB=BC
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
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学科网（北京）股份有限公司 23 1∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABH=90°，
∴∠BAE+∠ABH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AE⊥BF，
故AE=BF，且AE⊥BF；
(2)①补全图如图2所示；
②AG2=2AD2+2FG2.理由如下：
如图3，连接EG，
∵线段BE沿BF平移至FG，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∴EG=BF，EG//BF，
在△ABE和△BCF中，
{
BE=CF
∠ABE=∠BCF，
AB=BC
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF，∠BFC=∠AEB，
∴EG=BF=AE，
∵∠BFC+∠CBF=90°，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∴∠BH E=90°，
∵EG//BF，
∴∠AEG=∠BH E=90°，
∴AG2=AE2+EG2=2AE2，
∵AE2=AB2+BE2=AD2+FG2，
∴AG2=2AD2+2FG2．
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