文档内容
2020-2021学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有
一个是符合题意的.
1．16的算术平方根是（ ）
A．﹣4 B．4 C． D．
2．如图，△ABC中，∠B＝55°，D是BC延长线上一点，且∠ACD＝130°，则∠A的度数
是（ ）
A．50° B．65° C．75° D．85°
3．（唐）元稹《长庆集》十五《景中秋》诗：“帘断萤火人，窗明蝙蝠飞”蝙蝠省称
“蝠”，因“蝠”与“福”谐音，人们以蝠表示福气，福禄寿喜等祥瑞，民间绘画中画
五只蝙蝠，意为《五福临门》．下列图案﹣蝙蝠纹样是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果一个三角形的三边长分别为5，8，a．那么a的值可能是（ ）
A．2 B．9 C．13 D．15
5．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A．小刚妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签
B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于零
C．打开“学习强国APP”，正在播放歌曲《让爱暖人间》
D．用长度分别是3cm，4cm，8cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
7．根据下列表格信息，y可能为（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 * * 无意义 * …
A． B． C． D．
8．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点
E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，
△BED周长的变化规律是（ ）
A．不变 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．计算： ÷ ＝ ．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条
件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
12．请写出一个比 小的正整数 ．13．口袋里有3个红球、2个白球、5个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸
到白球的可能性的大小是 ．
14．如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝2，如果E是射线OB上
一点，那么CE长度的最小值是 ．
15．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
16．如图，△ABC中，AB＝BC，点D在线段BC上（不与点B，C重合）．作法如下：
连接AD，作AD的垂直平分线分别交直线 AB，AC于点P，Q，连接DP，DQ，则
①△APQ≌△DPQ；
过点D作AC的平行线交AB于点P，在线段AC上截取AQ，使AQ＝DP，连接PQ，
②DQ，则△APQ≌△DQP；
过点D作AC的平行线交AB于点P，过点D作AB的平行线交AC于点Q，连接
③PQ，则△APQ≌△DQP；
过点D作AB的平行线交AC于点Q，在直线AB上取一点P，连接DP，使DP＝
④AQ，连接PQ，则△APQ≌△DPQ．
以上说法一定成立的是 ．（填写正确的序号）
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第
27-28题，每小题5分，共68分）。
17．（5分）计算： + +|1﹣ |．18．（5分）计算： ﹣ ．
19．（5分）解方程： + ＝1．
20．（5分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：
BC＝DF．
21．（5分）已知：x2+x﹣4＝0，求代数式（ ）÷ 的值．
22．（5分）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫
做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是 ；（每个小正方形的边长为1）
（2）△ABC是格点三角形．
在图2中画出一个与△ABC全等且有一条公共边BC的格点三角形；
①在图3中画出一个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形．
②
23．（6分）已知：如图，∠MON为锐角，点A在射线OM上．求作：射线AC，使得
AC∥ON．
小静的作图思路如下：
以点A为圆心，AO为半径作弧，交射线ON于点B，连接AB；
①作∠MAB的角平分线AC．
②射线AC即为所求的射线．
（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝AB，
∴∠O＝∠ABO（ ）．
∵∠MAB是△AOB的一个外角，
∴∠MAB＝∠ +∠ ．
∴∠ABO＝ ∠MAB．
∵AC平分∠MAB，
∴∠BAC＝ ∠MAB．
∴∠ABO＝∠BAC．
∴AC∥ON（ ）
24．（6分）列方程解应用题
为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”
的文件精神，某校开展了“阳光体育天天跑活动”，初中男生、女生分别进行1000米
和800米的计时跑步，在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，
且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，求这名女生
跑完800米所用时间是多少秒．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，延长AD
至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．
（1）补全图形；
（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．26．（6分）阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先
计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如： ＝1+
＝1 ．
类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如： ＝1+ ．
＝ ＝1+ ．
材料2：为了研究字母x和分式 值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
… ﹣0.25 ﹣0.5 ﹣1 无意 1 0.5 0.25 …
﹣0. 0.
义
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式： ＝ ； ＝
；
（2）当x＞0时，随着x的增大，分式 的值 （增大或减小）；
（3）当x＞﹣1时，随着x的增大，分式 的值无限趋近一个数，请写出这个数，
并说明理由．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称
点为M，连接AM，PM．依题意将图2补全；
①用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．
②
28．（7分）定义：点P是△ABC内部的一点，若经过点P和△ABC中的一个顶点的直线
把△ABC平分成两个面积相等的图形，则称点P是△ABC关于这个顶点的均分点，例如
图1中，点P是△ABC关于顶点A的均分点．
（1）下列图形中，点D一定是△ABC关于顶点B的均分点的是 ；（填序号）
（2）在△ABC中，BC＝2，AB＝AC且AB＞BC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，
且 ≤BP≤2，直接写出∠BPC的范围；
（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，点P是△ABC关于顶点A的均分点，
直线AP与BC交于点D，当BP⊥AD时，BP＝4，求CP的长．2020-2021学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有
一个是符合题意的.
1．16的算术平方根是（ ）
A．﹣4 B．4 C． D．
【分析】根据乘方运算，可得一个正数的算术平方根．
【解答】解：由42＝16，得
＝4，故B符合题意，
故选：B．
2．如图，△ABC中，∠B＝55°，D是BC延长线上一点，且∠ACD＝130°，则∠A的度数
是（ ）
A．50° B．65° C．75° D．85°
【分析】根据三角形的外角性质列式计算，得到答案．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣55°＝75°，
故选：C．
3．（唐）元稹《长庆集》十五《景中秋》诗：“帘断萤火人，窗明蝙蝠飞”蝙蝠省称
“蝠”，因“蝠”与“福”谐音，人们以蝠表示福气，福禄寿喜等祥瑞，民间绘画中画
五只蝙蝠，意为《五福临门》．下列图案﹣蝙蝠纹样是轴对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
4．如果一个三角形的三边长分别为5，8，a．那么a的值可能是（ ）
A．2 B．9 C．13 D．15
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范
围内即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得3＜a＜13．
9在第三边长的取值范围内．
故选：B．
5．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、 ，不是最简二次根式；
B、 ，不是最简二次根式；
C、 ，不是最简二次根式；
D、 是最简二次根式；
故选：D．6．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．小刚妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签
B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于零
C．打开“学习强国APP”，正在播放歌曲《让爱暖人间》
D．用长度分别是3cm，4cm，8cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件；公理，定理以及推
论都是必然事件．
【解答】解：A、小刚妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签是随
机事件；
B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于零是必然事件；
C、打开“学习强国APP”，正在播放歌曲《让爱暖人间》是随机事件；
D、用长度分别是3cm，4cm，8cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形是不可能事
件．
故选：B．
7．根据下列表格信息，y可能为（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 * * 无意义 * …
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答．
【解答】解：∵当x＝1时，分式无意义，
∴分式的分母可能是x﹣1，
∵当x＝﹣2时，分式为0，
∴分式的分母可能是x+2，
∴分式可能是 ，
故选：A．
8．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点
E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，
△BED周长的变化规律是（ ）A．不变 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【分析】由“AAS”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，BE＝
CD，可得△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解．
【解答】解：∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∴点D在BC边上从B至C的运动过程中，
∴AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，
故选：D．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥ 3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．10．计算： ÷ ＝ ．
【分析】根据分式的除法法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝ •（a+3）
＝ ，
故答案为： ．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条
件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 BD ＝ CD （写出一个即可）．
【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD
与△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
12．请写出一个比 小的正整数 答案不唯一；例如： 3 ．
【分析】直接利用估算无理数的方法得出一个符合题意的答案．
【解答】解：写出一个比 小的正整数：答案不唯一；例如3．
故答案为：答案不唯一；例如3．
13．口袋里有3个红球、2个白球、5个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸
到白球的可能性的大小是 ．【分析】直接利用白球个数除以总数得出答案．
【解答】解：∵口袋里有3个红球、2个白球、5个黄球，共有10个球，
∴摸到白球的可能性的大小是 ＝ ．
故答案为： ．
14．如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝2，如果E是射线OB上
一点，那么CE长度的最小值是 2 ．
【分析】过点C作CE⊥OB于点E，根据角平分线的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CE⊥OB于点E，
∵点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝2，
∴CE＝CD＝2，
即CE长度的最小值是2，
故答案为：2．
15．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为 40 ° 或 100 ° ．
【分析】首先知有两种情况（顶角是40°和底角是40°时），由等边对等角求出底角的度
数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：△ABC，AB＝AC．
有两种情况：（1）顶角∠A＝40°，
（2）当底角是40°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．
故答案为：40°或100°．
16．如图，△ABC中，AB＝BC，点D在线段BC上（不与点B，C重合）．作法如下：
连接AD，作AD的垂直平分线分别交直线 AB，AC于点P，Q，连接DP，DQ，则
①△APQ≌△DPQ；
过点D作AC的平行线交AB于点P，在线段AC上截取AQ，使AQ＝DP，连接PQ，
②DQ，则△APQ≌△DQP；
过点D作AC的平行线交AB于点P，过点D作AB的平行线交AC于点Q，连接
③PQ，则△APQ≌△DQP；
过点D作AB的平行线交AC于点Q，在直线AB上取一点P，连接DP，使DP＝
④AQ，连接PQ，则△APQ≌△DPQ．
以上说法一定成立的是 ．（填写正确的序号）
①②③
【分析】利用全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解： 如图1中，
①∵PQ垂直平分线段AD，
∴PA＝PD，QA＝QD，
在△APQ和△DPQ中，
，
∴△APQ≌△DPQ（SSS），故 正确．
如图2中， ①
②
∵PD∥AC，
∴∠AQP＝∠DPQ ，
在△APQ和△DPQ中，
，
∴△APQ≌△DPQ（SAS），故 正确．
②
如图3中，
③∵PD∥AC，
∴∠AQP＝∠DPQ，
∵DQ∥AP，
∴∠APQ＝∠DQP，
在△APQ和△DPQ中，
∴△APQ≌△DPQ（ASA），故 正确．
③
如图 4中，当四边形 AQDP是等腰梯形时，△APQ 与△DPQ 不全等，当四边形
④AQDP是平行四边形时，△APQ≌△DPQ，故 错误．
④
故答案为： ．
三、解答题（本①题②共③12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第
27-28题，每小题5分，共68分）。
17．（5分）计算： + +|1﹣ |．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝＝ ．
18．（5分）计算： ﹣ ．
【分析】先通分，再计算加减，最后约分即可．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝
＝ ．
19．（5分）解方程： + ＝1．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经
检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程变形得： ﹣ ＝1，
去分母得：2x﹣3＝x﹣2，
解得：x＝1，
经检验：x＝1是原方程的解．
20．（5分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：
BC＝DF．
【分析】由已知得出 AB＝ED，由平行线的性质得出∠A＝∠E，由 AAS 证明
△ABC≌△EDF，即可得出结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD﹣BD＝BE﹣BD，
∴AB＝ED，
∵AC∥EF，
∴∠A＝∠E，在△ABC和△EDF中， ，
∴△ABC≌△EDF（AAS），
∴BC＝DF．
21．（5分）已知：x2+x﹣4＝0，求代数式（ ）÷ 的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出 x2+x＝
4，代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ，
∵x2+x﹣4＝0，
∴x2+x＝4，
把x2+x＝4代入，原式＝ ．
22．（5分）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫
做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是 6 ；（每个小正方形的边长为1）
（2）△ABC是格点三角形．
在图2中画出一个与△ABC全等且有一条公共边BC的格点三角形；
①在图3中画出一个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形．
②
【分析】（1）利用分割法求解即可．（2）根据三角形的判定，画出图形即可．
（3）利用旋转法画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，S△ABC ＝3×5﹣ ×3×3﹣ ×1×5﹣ ×2×2＝6，
故答案为：6．
（2） 如图2中，△BCD即为所求作（答案不唯一）．
如图①3中，△AFE即为所求作（答案不唯一）．
②
23．（6分）已知：如图，∠MON为锐角，点A在射线OM上．求作：射线AC，使得
AC∥ON．
小静的作图思路如下：
以点A为圆心，AO为半径作弧，交射线ON于点B，连接AB；
①作∠MAB的角平分线AC．
②射线AC即为所求的射线．
（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝AB，
∴∠O＝∠ABO（ 等边对等角 ）．
∵∠MAB是△AOB的一个外角，
∴∠MAB＝∠ O +∠ ABO ．
∴∠ABO＝ ∠MAB．
∵AC平分∠MAB，
∴∠BAC＝ ∠MAB．
∴∠ABO＝∠BAC．
∴AC∥ON（ 内错角相等，两直线平行 ）【分析】（1）根据小静的作图思路即可补全图形；
（2）根据平行线的判定与性质即可完成证明．
【解答】解：（1）补全的图形如下：
（2）证明：∵OA＝AB，
∴∠O＝∠ABO （等边对等角）．
∵∠MAB是△AOB的一个外角，
∴∠MAB＝∠O+∠ABO．
∴∠ABO＝ ∠MAB．
∵AC平分∠MAB，
∴∠BAC＝ ∠MAB．
∴∠ABO＝∠BAC．
∴AC∥ON （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；O，ABO；内错角相等，两直线平行．
24．（6分）列方程解应用题
为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校开展了“阳光体育天天跑活动”，初中男生、女生分别进行1000米
和800米的计时跑步，在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，
且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，求这名女生
跑完800米所用时间是多少秒．
【分析】设这名女生跑完800米所用时间为x秒，则这名男生跑完1000米所用时间
（x+56）秒，根据平均速度＝路程÷时间结合这名女生和男生的平均速度相同，即可得
出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设这名女生跑完800米所用时间为x秒，则这名男生跑完1000米所用时间
（x+56）秒，
根据题意得： ，
解得：x＝224，
经检验，x＝224是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．
答：这名女生跑完800米所用时间是224秒．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，延长AD
至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．
（1）补全图形；
（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）连接EF交BC于点P，此时AP+FP的值最小，求出EF的值即可．
【解答】解：（1）补全图形如下：（2）连接EF交BC于点P，此时AP+FP的值最小．
∵DE＝AD，AD⊥BC，
∴BC为AE的垂直平分线
∴CA＝CE＝2，AP＝EP，
∴AP+FP＝EP+PF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC，AF＝CF＝1，
在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，CF＝1，EC＝2，
∴EF＝ ．
∴AP+FP的最小值为 ．
26．（6分）阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先
计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如： ＝1+
＝1 ．
类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如： ＝1+ ．
＝ ＝1+ ．
材料2：为了研究字母x和分式 值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
… ﹣0.25 ﹣0.5 ﹣1 无意 1 0.5 0.25 …
﹣0. 0.
义
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式： ＝ 1+ ； ＝1+ ；
（2）当x＞0时，随着x的增大，分式 的值 减小 （增大或减小）；
（3）当x＞﹣1时，随着x的增大，分式 的值无限趋近一个数，请写出这个数，
并说明理由．
【分析】（1）先变形得出 ＝ + ， ＝ 再求出答案即可；
（2）分别求出x＝2，x＝3，x＝4时， 的值，再比较大小即可；
（3）得出原式＝2+ ，再求出答案即可．
【解答】解：（1） ＝1+ ， ＝ ＝1+ ，
故答案为：1+ ，1+ ；
（2）当x＝2时， ＝ ＝2，
当x＝3时， ＝ ＝ ，
当x＝4时， ＝ ，
…，
∵2＞ ＞ ，
∴当x增大时， 的值越来越小，
故答案为：减小；
（3）2，
理由如下：
∵ ，随着x的值的增大， 的值逐渐减小，
∴随着x的值的增大， 的值无限趋近于2．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称
点为M，连接AM，PM．
依题意将图2补全；
①用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．
②
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求出∠B＝45°，再利用三角形外角的性质
求出∠APC，即可得出结论；
（2） 利用对称性直接画出图形，
先判①断出△APB≌△AQC，得出∠BAP＝∠CAQ，进而判断出∠BAP＝∠CAM，即可
②判断出∠PAM＝90°，再判断出AP＝AM，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠APQ是△ABC的一个外角，
∴∠APQ＝∠B+∠BAP，
∵∠BAP＝15°，
∴∠APQ＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQB＝60°．
（2） 图形如图2所示．
①解：结论：PC2+BP2＝2AP2．
②理由：连接MC．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP＝CQ，
∵点Q关于直线AC的对称点为M，
∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，
∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，
∴∠BAC＝∠PAM＝90°，
在Rt△APM中，AP＝AM，∠PAM＝90°，
∴PM＝ ，
∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，
∴∠PCM＝90°，
在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，
∴PC2+CM2＝PM2，
∴PC2+BP2＝2AP2．
28．（7分）定义：点P是△ABC内部的一点，若经过点P和△ABC中的一个顶点的直线
把△ABC平分成两个面积相等的图形，则称点P是△ABC关于这个顶点的均分点，例如
图1中，点P是△ABC关于顶点A的均分点．
（1）下列图形中，点D一定是△ABC关于顶点B的均分点的是 ；（填序号）
④（2）在△ABC中，BC＝2，AB＝AC且AB＞BC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，
且 ≤BP≤2，直接写出∠BPC的范围；
（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，点P是△ABC关于顶点A的均分点，
直线AP与BC交于点D，当BP⊥AD时，BP＝4，求CP的长．
【分析】（1）根据给出的新定义均分点直接判断即可；
（2）由等腰直角三角形的性质及30度直角三角形的性质可得出答案；
（3）过C点作CE⊥AP，交直线AP于点E．证明△BPD≌△CDE（AAS）．由全等三
角形的性质得出PD＝DE，PB＝CE＝4，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）在图 中，
∵∠BAE＝∠CAE， ①
∴点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点；
在图 中，
∵BE②＝CE，∴点D一定是△ABC关于顶点A的均分点，但点D不一定是△ABC关于顶点B的均分
点．
在 中，
∵③∠ABE＝∠CBE，AB≠BC，
∴点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点；
∵AE＝CE，
④∴点D一定是△ABC关于顶点B的均分点．
故答案为： ．
（2）60°≤∠④BPC≤90°．
如图1，点P是△ABC关于顶点A的均分点，
∵AB＝AC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，
∴BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵BC＝2，
∴BD＝1，
∴当∠BED＝45°时，BE＝ ，当∠BFD＝30°时，BF＝2BD＝2，
∵点P在AD上运动，且 ≤BP≤2，
∴60°≤∠BPC≤90°．
（3）解：如图2，过C点作CE⊥AP，交直线AP于点E．∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC＝10，
∴BD＝CD＝5．
在Rt△BPD中，
∵∠BPD＝90°，
∴BP2+PD2＝BD2．
∵BP＝4，BD＝5，
∴PD＝3．
∵BP⊥AP，CE⊥AP，
∴∠BPD＝∠CED＝90°．
∵∠BDP＝∠CDE，
∴△BPD≌△CDE（AAS）．
∴PD＝DE，PB＝CE＝4．
∴PE＝2PD＝6．
在Rt△PEC中，
∵∠PEC＝90°，
∴PE2+CE2＝CP2．
∴CP＝ ＝ ＝ ．
