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昌平区 2023-2024 学年第一学期初二年级期末质量抽测
数学试卷 2024.1
本试卷共6页，三道大题，28个小题，满分100分.考试时间120分钟.考生务必将答案填涂或书
写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请交回答题卡.
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 的值是（ ）
A.3 B.-3 C. D.81
2.昌平，取“昌盛平安”之意，自西汉设县以来距今已有2000多年.期间辖区内修建了众多的古今建筑.下列
是昌平区的四个建筑图片，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A.2，4，7 B.5，6，6 C.1，1，2 D.3，4，5
4.下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A.李叔叔以家庭主申请人的身份申请北京市小客车指标，在提交申请后的第一次“摇号”就中签
B.直角三角形两锐角互余
C.第一小组的10名同学中，包含了3名女生，若从这组选出4名同学完成任务，则至少有1名男生
D.掷一枚标准的骰子，面朝上的点数等于8
5.下列选项中，最接近 的整数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6.甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做 个零件，
则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，把 沿 折叠后，点 的对应点为 ，且点 落在四边形 内部，则 ， ，
之间满足的数量关系是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8.阅读下面材料：
已知： ， ， ，点 是 中点，给出下面四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④点 是 上的一个动点，当 取最小值时， .
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①②④ B.②③ C.③④ D.②③④
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9.若分式 的值为0，则 的值为_____________.
10.如图， .请你添加一个条件，使 .你添加的条件是_____________（要求：
不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
11.如图所示，为了在数轴上找到表示无理数 的点，小王同学制作了一个以 为圆心， 为半径的圆，并
学科网（北京）股份有限公司在此圆上标记一个点 ，将点 与原点重合.若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点 就是数轴上表示无理
数 的点，则 _____________.
12.已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为________命题.（用
“真”，“假”填空）
13.如图，货架上水平摆放着九个外包装完全一样的盲盒，每个盲盒内装有一件商品，装甲商品的盲盒有5个，
装乙商品的盲盒有4个，随机抽取一个盲盒，则抽到_________种商品的可能性大.（用“甲”，“乙”填
空）
14.若实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 _____________.
15.如图，点 在直线 上，点 在直线 外.若直线 上有一点 使得 为等腰三角形，则满足条件的
点 位置有____________个.
16.某学校计划租用客车接送251名学生和5名教师去博物馆，每辆车至少有1名教师，现有甲、乙、丙三种
客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲客车 乙客车 丙客车
载客量（单位：人/辆） 43 49 55
租金（单位：元/辆） 1350 1500 1600
请写出一个满足乘坐需求的租车方案_____________，若需要租车总费用最少，则租车方案为____________.
三、解答题（本题共12道小题，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题6分，第27
学科网（北京）股份有限公司～28题，每小题7分，共68分）
17.计算： .
18.计算： .
19.已知：如图， ， 是线段 上两点， ， ， .求证： .
20.计算： .
21.解方程： .
22.先化简 ，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为 的值代入求值.
23.已知：如图， .
求作：线段 ，使得 .
作法：①分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧分别交于点 和点 ；
②作直线 ，交 于点 ；
③连接 .
所以线段 即为所求作的线段.
学科网（北京）股份有限公司（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形.（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明：
证明： 是线段 的垂直平分线，
（____________）.（填写推理依据）
___________°.
，
.
.
24.第31届世界大学生夏季运动会，于2023年7月28日至8月8日在成都举办.上海的学生小李一家想在此次
运动会期间前往成都观赛，可供选择的交通工具有我国自主知识产权的高铁和C919大型民航客机.已知民航
客机的平均速度是高铁的3倍、当路程均为1620千米时，搭乘民航客机会比高铁节省4小时，求民航客机和
高铁的平均速度.
25.已知： 中， ， 为 中点，过点 作 ，交 于点 ，在 的延长
线上有一点 ，连接 ，满足 .
（1）求证： .
（2）若 ，试判断 的形状，并证明.
26.阅读材料：
和 为整数， ；
和 为整数， ；
和 为整数， ；
……
小明发现结论：若 和 为相邻的两个整数，其中 ，则有 .
并给出了证明：根据题意，得
.
等式两边同时___________，得
学科网（北京）股份有限公司____________ .
整理得
.
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程.
（2）若 和 为两个相邻整数，则 ____________.
（3）若 和 为相差4的两个整数，求 的值.
27.已知：如图，线段 、点 是线段 上方一动点，且 ，线段 和线段 关于直线 对
称，过点 作 ，与线段 的延长线交于点 ，点 和点 关于直线 对称，作射线 交
于点 ，交 于点 .
（1）当 ， 时，求 的长.
（2）请用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明.
（3）当线段 的长取最大值时， 的值为___________.
28.给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端
点所得图形称为“8字形”.如图，线段 与 交于点 ，连接 和 ，所得图即为“8字形”.
（1）下列四个图形中，含有“8字形”的有：_____________.
学科网（北京）股份有限公司① ② ③ ④
（2）如图1， 与 交于点 ，连接 和 ， 和 的延长线交于点 ，满足
， .
图1 图2
①当 时，判断 与 的数量关系，并证明；
②如图2，当 时，求证： .
学科网（北京）股份有限公司昌平区 2023-2024 学年第一学期初二年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准 2024.1
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A C A B D
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
5辆丙客车（答案不唯一）；
答案 0 （或 ，或 假 甲 4 1辆甲客车，1辆乙客车，
） 3辆丙客车
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、
28题，每小题7分，共68分）
17.解：原式 ………………2分
………………4分
………………5分
18.解：原式 …………3分
………………5分
19.证明： ，
.………………2分
即 .
在 和 中，
.……………………5分
学科网（北京）股份有限公司20.解：原式 ………………4分
……………………5分
21.解： ………………1分
……………………2分
………………3分
……………………4分
检验：当 时，方程左右两边相等，所以 是原方程的解.………………5分
所以原方程的解是 .
22.解：原式 ………………2分
………………3分
……………………4分
将 代入，得： .（或将 代入，得： .）…………5分
23.解：（1）作图：
学科网（北京）股份有限公司……………………3分
（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.………………5分
45°………………………………6分
24.解：设高铁的平均速度为 千米/时，则民航客机的平均速度为 千米/时.…………1分
根据题意，得
.……………………3分
解得
.……………………4分
经检验， 是原方程的解，且符合实际问题的意义.………………5分
当 时， .
答：高铁平均速度为270千米/时，民航平均速度为810千米/时.………………6分
25.解：（1）证明： 中， ，点 为 中点，
平分 .………………1分
.
，
.………………2分
.
.………………3分
（2）判断： 为直角三角形.……………………4分
学科网（北京）股份有限公司证明： 中， ，点 为 中点，
， .
点 为 中点， ，
.
， ， ，
，即 .
，
.
.
.
是等边三角形.………………5分
.
.………………6分
在 中，
.
为直角三角形.
26.解：（1）平方； .……………………2分
（2）25.………………4分
（3）解：根据题意，得
.………………5分
等式两边同时平方，得
.
.
学科网（北京）股份有限公司.
.
.……………………6分
27.解：（1） 线段 ， 关于直线 对称，
.
.
.
，
为 中线.………………1分
.
， ， ，
，即 .……………………2分
.……………………3分
（2） .………………4分
证明： 点 关于直线 的对称点为 ，
是线段 的垂直平分线.
.……………………5分
在 和 中，
.……………………6分
.
.
学科网（北京）股份有限公司（3） .……………………7分
28.解：（1）①④.……………………2分
（2）① .………………3分
证明： ，
， ，
.
，
.
在 和 中，
.………………4分
.
②方法一：
证明：作辅助线，在 上截取 .………………5分
在 和 中，
学科网（北京）股份有限公司.………………6分
， .
.
.………………7分
.
方法二：
证明：作辅助线，在 上取一点 ，使得 .………………5分
在 和 中
.………………6分
.
，
.
.……………………7分
.
方法三：
证明：作辅助线，在 的延长线上取一点 ，使得 .………………5分
学科网（北京）股份有限公司，
.
在 和 中，
.………………7分
.
注：所有题选取其他思路酌情给分.
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