文档内容
2015 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 5分,共 40分）
1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3}
【考点】1E：交集及其运算．
菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，
则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．
2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
【考点】J1：圆的标准方程．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5B：直线与圆．
【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
【解答】解：由题意知圆半径r= ，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，
是基础题．
第1页 | 共18页3．（5分）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣x
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】首先从定义域上排除选项 C，然后在其他选项中判断﹣x 与 x 的函数值
关系，相等的就是偶函数．
【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；
对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；
对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；
对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；
故选：B．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如
果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x） 关
系，相等是偶函数，相反是奇函数．
4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查
教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教
师人数为（ ）
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
A．90 B．100 C．180 D．300
【考点】B3：分层抽样方法．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．
第2页 | 共18页【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，
因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，
故选：C．
【点评】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】EF：程序框图．
菁优网版权所有
【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a= 时满
足条件a＜ ，退出循环，输出k的值为4．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=0，a=3，q=
a= ，k=1
不满足条件a＜ ，a= ，k=2
第3页 | 共18页不满足条件a＜ ，a= ，k=3
不满足条件a＜ ，a= ，k=4
满足条件a＜ ，退出循环，输出k 的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
6．（5分）设 ， 是非零向量，“ =| || |”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；9O：平面向量数量积的性质及
其运算．
菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑．
【分析】由 便可得到 夹角为0，从而得到 ∥ ，而 ∥ 并不
能得到 夹角为0，从而得不到 ，这样根据充分条件、必要条件
的概念即可找出正确选项．
【解答】解：（1） ；
∴ 时，cos =1；
∴ ；
∴ ∥ ；
∴“ ”是“ ∥ ”的充分条件；
（2） ∥ 时， 的夹角为0或π；
∴ ，或﹣ ；
即 ∥ 得不到 ；
∴“ ”不是“ ∥ ”的必要条件；
第4页 | 共18页∴总上可得“ ”是“ ∥ ”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与
过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
菁优网版权所有
【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．
【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关
几何量的数据，可得答案
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，
底面为正方形如图：
其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形
∴PB=1，AB=1，AD=1，
∴BD= ，PD= = ．
PC═
该几何体最长棱的棱长为：
故选：C．
第5页 | 共18页【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体
的结构特征是解答本题的关键
8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的
情况
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日 12 35000
2015年5月15日 48 35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100
千米平均耗油量为 （ ）
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
【考点】3U：一次函数的性质与图象．
菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，由此得到该
车每100千米平均耗油量．
【解答】解：由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，所以该
车每100千米平均耗油量48÷6=8；
故选：B．
【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．
二、填空题
9．（5分）复数i（1+i）的实部为 ﹣1 ．
【考点】A1：虚数单位i、复数．
菁优网版权所有
第6页 | 共18页【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．
【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，
所求复数的实部为：﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．
10．（5分）2﹣3， ，log 5三个数中最大数的是 log 5 ．
2 2
【考点】72：不等式比较大小．
菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣3＜1，1＜ ＜2，log 5
2
＞log 4=2，即可得到最大数．
2
【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜ ＜2，
log 5＞log 4=2，
2 2
则三个数中最大的数为log 5．
2
故答案为：log 5．
2
【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，
属于基础题．
11．（5分）在△ABC中，a=3，b= ，∠A= ，则∠B= ．
【考点】HP：正弦定理．
菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．
【解答】解：由正弦定理可得，
= ，
第7页 | 共18页即有sinB= = = ，
由b＜a，则B＜A，
可得B= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题．
12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣ =1（b＞0）的一个焦点，则b= ．
【考点】KC：双曲线的性质．
菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得双曲线 x2﹣ =1（b＞0）的焦点为（ ，0），（﹣ ，
0），可得b的方程，即可得到b 的值．
【解答】解：双曲线 x2﹣ =1（b＞0）的焦点为（ ，0），（﹣ ，
0），
由题意可得 =2，
解得b= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基
础题．
13．（5 分）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P（x，y）为 D 中任
意一点，则z=2x+3y的最大值为 7 ．
第8页 | 共18页【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有
【专题】26：开放型；59：不等式的解法及应用．
【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：由z=2x+3y，得y= ，
平移直线y= ，由图象可知当直线y= 经过点A时，直线y=
的截距最大，此时z最大．
即A（2，1）．
此时z 的最大值为z=2×2+3×1=7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常
用方法．
14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数
学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙 ；
第9页 | 共18页②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学 ．
【考点】BG：变量间的相关关系．
菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；
（2）根据散点图 2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成
绩名次大于数学成绩名次，反之小于．
【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，
数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人
的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第 5 个点，即丙的总
成绩在班里倒数第5．在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，
发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙；
②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成
绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名
次更靠前的科目是数学；
故答案为：乙；数学．
【点评】本题考查了对散点图的认识；属于基础题．
三、解答题（共 80分）
15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2 sin2 ．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0， ]上的最小值．
第10页 | 共18页【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；HW：三角函数
的最值．
菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f（x）=2sin（x+ ）
﹣ ，由三角函数的周期性及其求法即可得解；
（2）由x∈[0， ]，可求范围x+ ∈[ ，π]，即可求得f（x）的取值范围，
即可得解．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2 sin2
=sinx﹣2 ×
=sinx+ cosx﹣
=2sin（x+ ）﹣
∴f（x）的最小正周期T= =2π；
（2）∵x∈[0， ]，
∴x+ ∈[ ，π]，
∴sin（x+ ）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+ ）﹣ ∈[﹣ ，2﹣ ]，
∴可解得f（x）在区间[0， ]上的最小值为：﹣ ．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，
三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．
16．（13分）已知等差数列{a }满足a +a =10，a ﹣a =2
n 1 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设等比数列{b }满足b =a ，b =a ，问：b 与数列{a }的第几项相等？
n 2 3 3 7 6 n
【考点】83：等差数列的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
第11页 | 共18页【分析】（I）由 a ﹣a =2，可求公差 d，然后由 a +a =10，可求 a ，结合等差数
4 3 1 2 1
列的通项公式可求
（II）由b =a =8，b =a =16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项
2 3 3 7
公式可求b ，结合（I）可求
6
【解答】解：（I）设等差数列{a }的公差为d．
n
∵a ﹣a =2，所以d=2
4 3
∵a +a =10，所以2a +d=10
1 2 1
∴a =4，
1
∴a =4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）
n
（II）设等比数列{b }的公比为q，
n
∵b =a =8，b =a =16，
2 3 3 7
∴
∴q=2，b =4
1
∴ =128，而128=2n+2
∴n=63
∴b 与数列{a }中的第63项相等
6 n
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本
公式应用的考查，试题比较容易．
17．（13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四
种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
第12页 | 共18页98 × √ × ×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最
大？
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，
从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．
（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 300 人，求得顾客顾客在
甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．
（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、
同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．
【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200
人，
故顾客同时购买乙和丙的概率为 =0.2．
（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300
（人），
故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为 =0.3．
（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为 =0.2，
同时购买甲和丙的概率为 =0.6，
同时购买甲和丁的概率为 =0.1，
故同时购买甲和丙的概率最大．
【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．
18．（14 分）如图，在三棱锥 V﹣ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等边
三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．
第13页 | 共18页（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；LY：平面与平面
垂直．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明
VB∥平面MOC；
（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB
（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．
【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC= ，∴AB=2，OC=1，
∴S = ，
△VAB
∵OC⊥平面VAB，
第14页 | 共18页∴V = •S = ，
C﹣VAB △VAB
∴V =V = ．
V﹣ABC C﹣VAB
【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计
算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．
19．（13分）设函数f（x）= ﹣klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
菁优网版权所有
【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；
（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．
【解答】解：（1）由f（x）=
f'（x）=x﹣
由f'（x）=0解得x=
f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：
X （0， ） （ ）
f'（x） ﹣ 0 +
f（x） ↓ ↑
所以，f（x）的单调递增区间为（ ），单调递减区间为（0， ）；
f（x）在x= 处的极小值为f（ ）= ，无极大值．
（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为 f（ ）
= ．
因为f（x）存在零点，所以 ，从而k≥e
第15页 | 共18页当k=e时，f（x）在区间（1， ）上单调递减，且f（ ）=0
所以x= 是f（x）在区间（1， ）上唯一零点．
当 k ＞ e 时 ， f （ x ） 在 区 间 （ 0 ， ） 上 单 调 递 减 ， 且
，
所以f（x）在区间（1， ）上仅有一个零点．
综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点．
【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于
常见题型．
20．（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线
与椭圆C交于A，B 两点，直线AE 与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x 轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．
菁优网版权所有
【专题】26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；
（2）通过令直线AE 的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；
（3）分直线AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．
【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，
∴椭圆C的标准方程为： +y2=1，
∴a= ，b=1，c= ，
∴椭圆C的离心率e= = ；
（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，
∴可设A（1，y ），B（1，﹣y ），
1 1
∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y ）（x﹣2），
1
令x=3，得M（3，2﹣y ），
1
第16页 | 共18页∴直线BM 的斜率k = =1；
BM
（3）结论：直线BM与直线DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k =1，
BM
又∵直线DE的斜率k = =1，∴BM∥DE；
DE
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则直线AE的方程为y﹣1= （x﹣2），
令x=3，则点M（3， ），
∴直线BM 的斜率k = ，
BM
联立 ，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，
由韦达定理，得x +x = ，x x = ，
1 2 1 2
∵k ﹣1=
BM
=
=
=0，
∴k =1=k ，即BM∥DE；
BM DE
综上所述，直线BM与直线DE平行．
【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能
第17页 | 共18页力，注意解题方法的积累，属于中档题．
第18页 | 共18页
