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2023 年北京大兴区魏善庄中学八年级下期末数学试卷
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）
A. y=2x2中，x取全体实数 B. y= 中，x取x≠-1的实数
C. y= 中，x取x≥2的实数 D. y= 中，x取x≥-3的实数
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】解：A、 中， 取全体实数，此项正确；
B、 ，即 ，
中， 取 的实数，此项正确；
C、 ，
，
中， 取 的实数，此项正确；
D、 ，且 ，
，
中， 取 的实数，此项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量、分式和二次根式，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．
2. 在平面直角坐标系中，点 位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系各个象限内点的坐标特点判断即可．
【详解】解：点 位于第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
3. 正五边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】n边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】（5﹣2）×180°=540°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是
需要熟记的内容．
4. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B【解析】
【详解】试题分析：中心对称图形是旋转 180度与它本身重合，B是旋转120度与它本身重合，所以不是
中心对称图形，故选B．
考点：中心对称图形的识别
5. 若方程 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可.
【详解】解：∵方程 是关于 的一元二次方程，
的
∴ 系数不为0，即 ，
∴ ，
故答案为：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
6. 某工厂为了选拔1名车工参加直径为5mm精密零件的加工技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5
个零件，现测得的结果如下表，平均数依次为 、 ，方差依次为s 2、s 2，则下列关系中完全正确
甲 乙
的是（ ）
甲 5.05 5.02 5 4.96 4.97
.
乙 5 5.01 5 4.97 5 02
A. ＜ ，s 2＜s 2 B. ＝ ，s 2＜s 2
甲 乙 甲 乙
C. ＝ ，s 2＞s 2 D. ＞ ，s 2＞s 2
甲 乙 甲 乙
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出平均数后，再根据方差的计算公式计算，再比较．
【详解】甲的平均数＝（5.05+5.02+5+4.96+4.97）÷5＝5，乙的平均数＝（5+5.01+5+4.97+5.02）÷5＝5，
故有 ＝ ，
S2 ＝ [（5.05﹣5）2+（5.02﹣5）2+（5﹣5）2+（4.96﹣5）2+（4.97﹣5）2]＝0.0108，
甲
S2 ＝ [（5﹣5）2+（5.01﹣5）2+（5﹣5）2+（4.97﹣5）2+（5.02﹣5）2]＝0.00028；
乙
故有S2 ＞S2 ．
甲 乙
故选C．
【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x，x，…x 的平均数为 ,则方差
1 2 n
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反
之也成立，难度适中．
7. 从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48㎡，则原来这块木板的面积是
（ ）
A. 100㎡ B. 64㎡ C. 121㎡ D. 144㎡
【答案】B
【解析】
【详解】设原来正方形木板的边长为xm，从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的仍然是一
个长方形，此时这个长方形的长等于原来正方形木板的边长，宽等于正方形木板的边长减去 2m，根据剩
下的长方形的面积是48m2，列出方程：
x（x﹣2）=48，解得x=8，x=﹣6（不合题意，舍去）．
1 2
∴原来这块木板的面积是8×8=64（m2）．
故选B．
8. 如图，在菱形 中， ， ， 分别为 ， 的中点，连接 、 、 ，
则图中与 全等的三角形（ 除外）有（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C
【解析】
【分析】先由菱形的性质得出AD∥BC，由平行线的性质得到∠BAD+∠B=180°，又∠BAD=2∠B，求出
∠B=60°，则∠D=∠B=60°，△ABC与△ACD是全等的等边三角形，再根据E，F分别为BC，CD的中
点，即可求出与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有△ACE，△ACF，△ADF．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∵∠BAD=2∠B，
∴∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，
∴△ABC与△ACD是全等的等边三角形，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴ ，
在△ABE与△ACE中，
∴△ABE≌△ACE（SAS）;
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）;
在△ABE与△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（SAS）;
∴图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有3个，
故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，难度适中，根据菱形的性质求出∠D=∠B=60°是
解题的关键．
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 三角形的各边长分别是8、10、12、则连接各边中点所得的三角形的周长是___．
【答案】15
【解析】
【分析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．
【详解】解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，
则DE= AC，DF= BC，EF= AB，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF= （AC+BC+AB）= ×（8+10+12）cm=15cm．
故答案为15．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得
中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半是解题的关键．
10. 一组数据 ， ， ， ， 的方差为 ，另一组数据 ， ， ， ， 的方差为 ，那么
________________ （填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】观察两组数据，哪一组数据的波动小，哪一组数据的方差就小，据此求解.
【详解】解：∵观察两组数据发现，第一组数据相对第二组数据更加稳定，
∴第二组数据的方差就大，
故答案为： .
【点睛】本题考查了方差的意义，解题的关键是观察数据，找到波动较小的就方差小，也可以分别求得方
差后再比较，难度不大.
11. 若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是_____．
【答案】3
【解析】【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．
【详解】解：由题意，知： ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了菱形的面积两种求法，解题的关键是掌握（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用
菱形的特殊性，菱形面积 两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．
12. 如果 ， ，那么代数式 的值是___．
【答案】−32
【解析】
【分析】由 ＝（x＋y）（x−y），然后用整体代入法进行求解．
【详解】解：∵x＋y＝−4，x−y＝8，
∴ ＝（x＋y）（x−y）＝（−4）×8＝−32．
故答案为−32．
【点睛】本题考查了平方差公式，将代数式适当变形，然后利用“整体代入法”求代数式 的值．
13. 在梯形 中，两底 ， ，对角线 ，且 ，则
________________．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】过 点作 ，交 的延长线于 点，由 可得 ，再根据
得到 ， ，根据解直角三角形解题即可．
【详解】解：根据题意画出图象，并过 点作 ，交 的延长线于 点．， ，
，即 ．
∵ ，
四边形 是平行四边形，
， ，
延长 到F，使得 ，连接 ，
则 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定
方法是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， ，…，以 为对角线
作第一个正方形 ，以 为对角线作第二个正方形 ，以 为对角线作第三个正方
形 ，…，如果所作正方形的对角线 都在 轴上，且 的长度依次增加1个单位长度，
顶点 都在第一象限内（ ，且 为整数）那么 的纵坐标为______；用 的代数式表示 的纵坐标
______．【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】作 ⊥y轴于点D，可推出 的纵坐标= ， 的纵坐标=
，则 的纵坐标为 .
【详解】作 ⊥y轴于点D，
则
D的纵坐标=同理可得 的纵坐标= =
的纵坐标为：
故答案为：2； .
【点睛】本题主要考查正方形的性质及坐标与图形性质，解题关键是作 ⊥y轴于点D，推出 的纵坐
标.
三、解答题（共10小题；共130分）
15. 解方程：
【答案】解：原方程化为：x2－4x=1
配方，得x2－4x+4=1+4
整理，得（x－2）2=5
∴x－2= ,即 ， ．
【解析】
【详解】解一元二次方程．根据一元二次方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先
将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法．
16. 如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， 分别在 ， 上，
且 ，连接 ， ， 的延长线交 于点 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】【分析】利用正方形的性质及 定理证 ，得出 ，证出
，得出 ，即可得出结论．
【详解】 四边形 是正方形，
， ， ， ．
在 与 中，
（ ），
．
，
，
，即 ．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；解答本题的
关键是通过全等的证明和利用等角代换解题，属于中考常考题型．
17. 某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，
长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度
y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开
始开花结果？【答案】（1） ；（2）这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花
结果．
【解析】
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【详解】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
∵y＝kx（k≠0）的图象过（15，20），
则：20＝15k，
解得k＝ ，
∴y＝ ；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），
∵y＝k′x+b（k≠0）的图象过（15，20），（60，170），
则： ，
解得 ，
∴y＝ ，∴ ；
（2）当y＝80时，80＝ ，解得x＝33，
33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的
值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
18. 已知：如图，点E，F是平行四边形 中 边上的点，且 ，连接 ．求
证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质证得 ，根据等式的性质可得到 ，根据一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形即可证得四边形 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定定理和性质是解题关键．19. 已知关于 的一元二次方程： ．
（1）求证：方程总有两个实根；
的
（2）若 是整数，方程 根也是整数，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）计算 ，即可得出结论；
（2）公式法解一元二次方程，得出 ，根据题意，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意， ，
方程总有两个实根．
【小问2详解】
，
，
均为整数，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20. 某校为了了解七年级学生体育测试情况，以七年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、
C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下的统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题：（说明：A级：90分~100分；B级：75分~89分；C级：60分~74分；D级：60分以下）
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是 ；
（3）若该校七年级有600名学生，请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人？
【答案】（1）见解析（2）36°（3）120人
【解析】
【分析】（1）根据A等人数为10人，占扇形图的20%，求出总人数，可以得出D的人数，即可画出条形
统计图；
（2）根据D的人数即可得出所占百分比，进而得出所在的扇形的圆心角度数；
（3）利用总体人数与A组所占比例即可得出A级学生人数．
【详解】解：（1）总人数是：10÷20%＝50，则D级的人数是：50−10−23−12＝5．条形统计图补充如下：
（2）D级的学生人数占全班学生人数的百分比是：1−46%−20%−24%＝10%； D级所在的扇形的圆心角度
数是360×10%＝36°；
（3）∵A级所占的百分比为20%，
∴A级的人数为：600×20%＝120（人）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形图统计图以及用样本估计总体，利用图形获取正确信息以及扇
形图与条形图相结合是解决问题的关键．
21. 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的，小明对学校所添置的一
批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度，于是，他测量了一套课桌、凳上对应四
档的高度，得到如下数据见下表：
档次高度 第一档 第二档 第三档 第四档
凳 高 x
37.0 40.0 42.0 45.0
（cm）桌 高 y
70.0 74.8 78.0 82.8
（cm）
（1）小明经过对数据探究，发现桌高 是凳高 的一次函数，请你写出这个一次函数的关系式（不要
求写出 的取值范围）；
（2）小明回家后测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 ，凳子的高度为 ，请你判断
它们是否配套，并说明理由．
【答案】（1）
（2）不配套，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法解答即可；
（2）当 时，求得 ；然后再和 比较即可解答．
【小问1详解】
解：设桌高 与凳高 的关系为 ，
依题意得 解得 ，
所以桌高 与凳高 的关系式为 ．
【小问2详解】
解：不配套．理由如下：
当 时， ，
因为 ，
所以该写字台与凳子不配套．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，运用待定系数法求得函数解析式是解答本题的关键．
22. 如图，在四边形 中， ， 交 于E ，且 ．若
， ，求四边形 的面积．【答案】22
【解析】
【分析】先证明四边形 是平行四边形，得到 ，勾股定理求出 和 的长，再利用
进行求解即可．
【
详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
在 中，由勾股定理得 ．
设 ，则 ．
∴ ．
在 中，由勾股定理得 ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是证明四边形 是平行四边形．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，
0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝ x的图象的交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．（不
必写出推理过程）．
【答案】(1) y＝ x+2;(2)（﹣3，﹣2）、（3，2）、（3，6）
【解析】
【分析】（1）先把点C的坐标代入正比例函数关系式，可求出m的值，再把点A，C的坐标代入一次函数
的解析式求出k，b即可．
（2）利用CD平行且等于OD，或BO DC进而求解．
【详解】解：（1）把点C（m，4），代入正比例函数y＝ x得，
4＝ m，解得m＝3，
∴点C的坐标为（3，4），
∵A的坐标为（﹣3，0），
∴ ，
解得 ．∴一次函数的解析式为：y＝ x+2．
（2）∵O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴只要CO平行且等于BD，即BD＝5，
①当点D在点O的左边时，点D的坐标为（﹣3，﹣2），
②当点D在点O的右边时，点D的坐标为（3，2），
③当BO∥DC时，D（3，6）
∴点D的坐标为（﹣3，﹣2）、（3，2）、（3，6）．
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
24. 如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线
FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：如图，连接BD，作BD的中点M，连接FM、EM．利用三角形中位线定理证得
△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠BPF，
∠MFE=∠CQF．根据等量代换证得∠BPF=∠CQF；
试题解析：
证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM，如图所示
∵点E是AD的中点∴在 ABD中，EM∥AB，EM= AB
△
∴∠MEF=∠BPF
同理可证：FM∥CD，FM= CD
∴∠MFE=∠CQF
又∵AB=CD
∴EM=FM
∴∠MEF=∠MFE
∴∠BPF=∠CQF
