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专题 2.1 函数的性质
1、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)设函数 ，则
( )
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵函数 ，
∴ ，
.
故选：C.
2、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)函数 是 上的奇函数，当 时， ，
则当 时， ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 时， .
当 时， ， ，
由于函数 是奇函数， ，
因此，当 时， ，故选C.
3、(2020届山东省临沂市高三上期末)函数 ( )的值域是( )A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
，
.
即
故选：
4、(2020届山东省泰安市高三上期末)函数 的部分图象是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， 为奇函数，排除B当 时， 恒成立，排除CD
故答案选A
5、(2020·河南高三月考(理))已知 是偶函数， 在 上单调递减， ，则
的解集是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 是偶函数，所以 关于直线 对称；
因此，由 得 ；
又 在 上单调递减，则 在 上单调递增；
所以，当 即 时，由 得 ，所以 ，
解得 ；
当 即 时，由 得 ，所以 ，
解得 ；
因此， 的解集是 .
6、(2019年北京高三月考)已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的
的取值范围( )A． B． C． D．
【答案】A
【解析】偶函数 在区间 上单调递增
则 在区间 上单调递减
若满足
则
化简可得
解不等式可得 ,即
故选:A
7、(2019·山东师范大学附中高三月考)函数 的零点所在区间为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
， ，
，由 .
故选：C8、(2020届山东省烟台市高三上期末)设 ， ， ，则 的大小关系为(
)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题,因为 单调递减,则 ；
因为 单调递减,则 ；
因为 单调递增,则 ,
所以 ,
故选：A
9、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中
K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为( )(ln19≈3)
A．60 B．63
C．66 D．69
【答案】C
【解析】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故选：C．
10、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则( )
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【解析】由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故选：A.
11、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)若函数 是奇函数，则使 的
的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数 是奇函数，则 ，
即 ，可得 ，
则 ，有 ，解可得 ，即函数的定义域为 ，
设 ，则 ，
，则 在 上为增函数，而 在 上为增函数，则 在 上
为增函数，
若 ，即 ，解可得 ，
则 ，即 ，解得 ，
又由 ，则有 ，
即 的取值范围为 ；
故选：A.
12、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)已知定义在 上的奇函数 ，满足 时，
，则 的值为( )
A．-15 B．-7 C．3 D．15
【答案】A
【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称
则 ,解得
因为奇函数 当 时,
则
故选:A13、(2020年高考全国I卷理数)若 ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.
故选：B．
14、(2020 年新高考全国Ⅰ卷)若定义在 的奇函数 f(x)在 单调递减，且 f(2)=0，则满足
的x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，所以由 可得：
或 或 .
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D．
二、多选题
15、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)下列函数既是偶函数，又在 上单调递减的是( )
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
对于A选项， 为偶函数，且当 时， 为减函数，符合题意.
对于B选项， 为偶函数，根据幂函数单调性可知 在 上递增，不符合题意.
对于C选项， 为奇函数，不符合题意.
对于D选项， 为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知， 在区间
上单调递减，符合题意.
故选：AD.
16、(2020届山东省临沂市高三上期末)若 ， ，则( )
A． B． C． D．
【答案】ACD【解析】由 ， ，得 ， ，则
，
，
，
故正确的有：
故选： .
17、(2020年南通期末)对数函数 且 与二次函数 在同一坐标系内的图象
不可能是
A． B．
C． D．
【答案】 ．
【解析】：若 ，则对数函数 在 上单调递增，二次函数 开口向上，对
称轴 ，经过原点，可能为 ，不可能为 ．
若 ，则对数函数 在 上单调递减，二次函数 开口向下，对称轴，经过原点，可能为 ，不可能为 ．
故选： ．
18、(2020届山东省日照市高三上期末联考)已知定义在 上的函数 满足条件 ，
且函数 为奇函数，则( )
A．函数 是周期函数 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 为 上的偶函数 D．函数 为 上的单调函数
【答案】ABC
【解析】
因为 ，所以 ，即 ，故A正确；
因为函数 为奇函数，所以函数 图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数 为奇函数，所以 ，根据 ，令 代 有
，所以 ，令 代 有 ，即函数 为 上
的偶函数，C正确；
因为函数 为奇函数，所以 ，又函数 为 上的偶函数， ，所以函数
不单调，D不正确.
故选：ABC.
三、填空题
19、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)若 ,则 __________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，应填答案 .20、(2020届江苏省七市第二次调研考试)在平面直角坐标系 中，曲线 在点 处的切线
与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数.若点 ， 的面积为3，则 的值是______.
【答案】
【解析】由题， ， 切线斜率 ，则切线方程为 ，令 ，解得
，又 的面积为3， ，解得 .
故答案为：
21、(2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟)若幂函数 的图象经过点 ，则其
单调递减区间为_______．
【答案】
【解析】幂函数 的图象经过点 ，
则 ，解得 ；
所以 ，其中 ；
所以 的单调递减区间为 ．
故答案为： ．
22、(2020届山东省潍坊市高三上期中)已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是减函数，
则不等式 的解集为__________．
【答案】【解析】 是定义在 上的偶函数，且在 上是减函数， ，
，
则不等式 等价为不等式 ，
即 ，
即不等式的解集为 ，
故答案为： .
23、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知定义在 上的函数满足 ，且
图像关于 对称，当 时， ，则 ________.
【答案】-2
【解析】因为 图像关于 对称，则 ，
，
故 是以8为周期的周期函数，
故答案为： .24、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，有
恒成立，若 ，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】根据已知条件：当 时，有 恒成立，得函数 是定义在
上的减函数，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，故 等价于
，
所以 ，即 .
故答案为： .
四、解答题
25、(1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝ ；
(2)若60a＝3，60b＝5，求 的值．
【解析】 (1)设3a＝4b＝6c＝k，则k>1.由对数定义得a＝log k，b＝log k，c＝log k，
3 4 6
则＋＝＋
＝2log 3＋log 4
k k
＝log 9＋log 4
k k
＝log 36.
k
又＝＝2log 6＝log 36，
k k
∴＋＝.
(2)由a＝log 3，b＝log 5，得1－b＝1－log 5＝log 12，
60 60 60 60
于是1－a－b＝1－log 3－log 5＝log 4，
60 60 60
则有＝＝log 4，
12
∴12＝12log 4
12
＝12log 2＝2.
12
26、函数f(x)定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x，x∈D，有f(x·x)＝f(x)＋f(x)．
1 2 1 2 1 2
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求实数x的取值范围．
【解】 (1)令x＝x＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
1 2
(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x＝x＝－1，
1 2
有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x ＝－1，x ＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝
1 2
f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.由 f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，变形为 f[(3x＋1)(2x－
6)]≤f(64)．(*)
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－≤x<－或－<x<3或3<x≤5.
∴x的取值范围是{x|－≤x≤－或－<x<3或3<x≤5}．
27、(1)设函数f(x)＝(x∈R)为奇函数，求实数a的值；
(2)设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值
范围．
【解】 (1)要使f(x)为奇函数，∵ x∈R，
∴需f(x)＋f(－x)＝0成立．
又∵f(x)＝a－，
∴ f(－x)＝a－＝a－.
由＋＝0，得2a－＝0，∴ a＝1.
(2)由f(x)的定义域是，知 解得<a<.
由f(a－2)－f(4－a2)<0，得f(a－2)<f(4－a2)．∵函数f(x)是偶函数，∴ f(|a－2|)<f(|4－a2|)．
由于f(x)在(0，1)上是增函数，∴ |a－2|<|4－a2|，解得a<－3或a>－1且a≠2.
综上，实数a的取值范围是<a<且a≠2.
28、(江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测)已知函数 ，.
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，若 ，且 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)设函数 ，若 ，且 在 上存在零点，求 的取值范围.
【解析】(1)当 时，
令 得：
函数 的定义域为
当 时， ；当 时， ，
函数 的单调减区间为 ，单调增区间为
(2)由 得： .
当 时， 恒成立
当 ，即 时， 恒成立；
当 ，即 时，
解得：
综上所述：
当 时，由 恒成立得： 恒成立设 ，则 .
令 得：
当 时， ；当 时，
综上所述： 的取值范围为：
(3)
在 上存在零点 在 上有解
即 在 上有解
又 ，即
在 上有解
设 ，则
令 得：
当 时， ；当 时，
，即 .
设 ，则
同理可证：则 在 上单调递减，在 上单调递增
，故
的取值范围为：
29、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)已知函数 是奇函
数.
(1)求实数 ， 的值；
(2)若对任意实数 ，都有 成立.求实数 的取值范围.
【解析】(1)当 时， ，
因为 为奇函数，∴ ，
∴ ，
即 总成立.
∴ ，∴ ，
又当 时，同理可得 ，综上 .
(2)∵ ， ，原不等式化为 ，
令 ，则 ，原不等式进一步化为 在 上恒成立.记 ， .
①当 时，即 时， ，∴ 合理；
②当 时，即 时， ，显然矛盾.
综上实数 的取值范围为： .
