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2022-2023 学年第一学期初三年级期末练习
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 若关于 的一元二次方程 的一个根为1，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 代入方程，得出关于 的方程，解出即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的一个根为1，
∴把 代入方程，可得： ，
解得： ，
∴ 的值为 ．
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解的定义．使一元二次
方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可进行解答．
【详解】解：A、既 是轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转
后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，解题的关键是熟练掌握相关定义．3. 将抛物线 向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线 向右平移3个单位长度得到的抛物线是 ．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．
4. 某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是【 】
A. 买1张这种彩票一定不会中奖
B. 买1张这种彩票一定会中奖
C. 买100张这种彩票一定会中奖
D. 当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%
【答案】D
【解析】
【分析】
的
【详解】解：A、因为中奖机会是1%，就是说中奖 概率是1%，机会较小，但也有可能发生，故本
选项错误；
B、买1张这种彩票中奖的概率是1%，即买1张这种彩票会中奖的机会很小，故本选项错误；
C、买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；
D、当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%，故本选项正确，
故选D．
5. 用配方法解方程 ，变形后结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法可直接进行求解．
【详解】解：由方程 两边同时加上4可得 ；故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键．
6. 如图，圆心角 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点 是优弧 上的一点，连接 ， ，根据圆周角定理，得出 ，再根据圆
内接四边形的对角互补，计算即可得出 的度数．
【详解】解：如图，设点 是优弧 上的一点，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正
确作出辅助线．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半．
7. 在半径为6的圆中， 的圆心角所对扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式 即可进行解答．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式 ．
8. 如图，在 中， ， ， ，将 绕顶点 顺时针旋转得到 ，
取 的中点 ， 的中点 ，则在旋转过程中，线段 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】连接 ，根据旋转的性质，得出 ， ，再根据直角三角形斜边的中线等于
斜边的一半，得出 ，再根据三角形三边关系，得出 ，进而得出当点
、 、 三点共线时， 最大，最大值为 ，再根据中点的性质，得出 ，进而即可
得出答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 绕顶点 顺时针旋转得到 ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ 的中点 ，
∴ ，
∵ ，
∴当点 、 、 三点共线时， 最大，最大值为 ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∴ 最大值为 ．
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握三角形的三边关系．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 点 关于原点对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
【详解】解：点（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
10. 请写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数解析式__________________．
【答案】y=-2（x+1）2．答案不唯一
【解析】
【分析】先设出二次函数解析式方程， ，再根据图像开口向下可知a<0，可以得
出结论.
【详解】设该二次函数的解析式为
∵抛物线的开口向下
∴a<0
又∵在x轴上
∴k=0
∴y=-2（x+1）2,答案不唯一，满足上述条件即可.
【点睛】本题主要考查了二次函数 中，当a<0，时开口向下，且顶点在x轴上时
要满足的条件，熟练掌握函数性质是本题解题的关键.
11. 已知 ， 两点都在抛物线 上，那么 ________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线： ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
12. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．
据了解，某展览中心3月份的参观人数为11万人，5月份的参观人数增加到 万人．设参观人数的月平
均增长率为 ，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得4月份的参观人数为 人，则5月份的人数为 ，根据5月份的参
观人数增加到 万人，列一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．
13. 如图， 是 的 直径， ， 是 上的两点．若 ，则 的度数为
________．【答案】 ##30度
【解析】
【分析】根据圆周角定理，得出 ，再根据直角三角形两锐角互余，得出 ，再根
据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出 的度数．
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质
定理．
14. 如图， ， 是 的切线，切点分别为 ， ．若 ， ，则 的长为
________．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线长定理和切线的性质，得出 ， ，再根据等腰三角形的判定定理，
得出 为等腰三角形，再根据角之间的数量关系，得出 ，再根据等边三角形的判定定理，
得出 为等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出 ，进而即可得出答案．【详解】解：∵ ， 分别为 的切线，
∴ ， ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定与性质，解本
题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
15. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精
确到0.1）．
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
【答案】0.5
【解析】
【分析】利用频率的计算公式进行计算即可.
【详解】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中
的概率约为： ≈0.5．
故答案为0.5．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，难度不大．16. 如图，在平面直角坐标系 中， 为 轴正半轴上一点．已知点 ， ， 为
的外接圆．
（1）点 的纵坐标为________；
（2）当 最大时，点 的坐标为________．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】（1）根据三角形外心的定义，可得出 的外接圆圆心在线段 的垂直平分线上，即可求
解；
（2）点P在 切点处时， 最大，而四边形 是矩形，由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴线段 的垂直平分线为直线 ，
∵点M在 的垂直平分线上，
∴点M的纵坐标为4，
（2）过点 ， ，作 与x轴相切，则点P在切点处时， 最大，
理由：如上图，若点 是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，
设 交 于点E，连接 ，则 ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，即点P在切点处时， 最大，
∵ 经过点 ， ，
∴点M在线段 的垂直平分线上，即点M在直线 上，
∵ 与x轴相切于点P， 轴，从而 ，即 的半径为4，
设AB的中点为D，连接 ，如上图，则 ， ， ，
∵ ， 轴， ，
∴四边形 是矩形，从而 ，
由勾股定理，得
，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，故答案为：4， ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作
出图形是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分）
17. 下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知： 及 外一点 ．
求作：直线 和直线 ，使 切 于点 ， 切 于点 ．
作法：如图，
①连接 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点 ， ；
②连接 ，交 于点 ，再以点 为圆心， 的长为半径作弧，交 于点 和点 ；
③作直线 和直线 ．
所以直线 和 就是所求作的直线．
根据小乐设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ 是 的直径，
∴ ________ （________）（填推理的依据）．
∴ ， ．
∵ ， 是 的半径，∴ ， 是 的切线．
【答案】（1）见解析 （2） ，直径所对的圆周角为直角
【解析】
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出 ，再根据垂线的定义，得出 ，
，再根据切线的判定定理，即可得出结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图：
【小问2详解】
证明：∵ 是 的直径，
∴ （直径所对的圆周角为直角）．
∴ ， ．
∵ ， 是 的半径，
∴ ， 是 的切线．
故答案为： ，直径所对的圆周角为直角
【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18. 如图， 是 的弦， 为 的中点， 的延长线与 交于点 ，若 ， ，求
的半径．
【答案】5
【解析】
【分析】根据垂径定理可得 ， ，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ 是 的弦， 为 的中点， ，
∴ ， ，
设 的半径为r，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ．
∴ 的半径为5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理相关内容，根据勾股定理列出方程求解．
19. 用配方法解一元二次方程：2x2﹣4x+1＝0．
【答案】 ，【解析】
【分析】方程整理后，利用配方法求出解即可．
【详解】解：方程整理得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程 配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
20. 已知二次函数 ．
（1）二次函数的图象与 轴交于点 ， （点 在点 左边），则 ， 两点的坐标为________；
（2）在平面直角坐标系 中画出该函数的图象；
（3）当 时， 的取值范围是________．
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数图象与 轴交于点 ， ，得出 ，即 ，解出即可得出 ，
两点的坐标；（2）列表、描点、连线，画出图象即可；
（3）根据（2）的图象，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数 的图象与 轴交于点 ， （点 在点 左边），
∴ ，即 ，
解得： ， ，
∴ ， ；
故答案为： ，
【小问2详解】
解：列表：
描点、连线，画出图象，如图所示：
【小问3详解】
解：观察图象，可得：当 时， 的取值范围为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、用描点法画二次函数图象、二次函
数的图象与性质，解本题的关键在正确画出二次函数的图象．
21. 如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1， 在平面直角坐标系中的位置如图．（1）画出将 绕点 顺时针方向旋转 得到的图形；
（2）求出点 经过的路径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的作图方法和作图步骤即可进行解答；
（2）点C经过的路径是以点B为圆心， 长为半径，旋转角为圆心角的弧长．
【小问1详解】
解：如图所示：【小问2详解】
根据勾股定理得： ，
点C经过的路径长为： ．
【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质．
22. 在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，
黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．
游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由
小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？
请你利用树状图或列表法说明理由．
【答案】不公平
【解析】
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转
化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，
由上述树状图知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）= ，P（小亮赢）= ，故此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．23. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个实数根都是正数，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次函数的判别式，进行求解即可；
（2）首先根据十字相乘法解一元二次方程，得出 ， ，然后再根据题意：方程的两个实数
根都是正数，得出不等式组，解出即可得出结果．
【小问1详解】
证明：在关于 的一元二次方程 中，
∵ ，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：
因式分解，可得： ，
于是得： 或 ，
∴ ， ，
∵方程的两个实数根都是正数，
∴可得： ，
解得： ，
∴ 的取值范围为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、因式分解法解一元二次方程、解不等式组，熟练掌握一元二
次方程的解法及根的判别式是解本题的关键．
24. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨
迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为 ，水流的最高点到地面的距离记为
．
与 的几组对应值如下表：
（单位：
0 1 2 3 4 …
）
（单位：
2 3 4 …
）
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为________ ；
（2）在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并画出 与 的函数图象；
（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为 时，水流的最高点到地面的距离
为________ （精确到 ）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________ （精确到 ，参考
数据 ）．
【答案】（1）
（2）见解析 （3） ，
【解析】
【分析】（1）令 时，求得 值即可；
（2）按照描点，连线的基本步骤画函数图象即可；（3）设直线为 ，把 ， 和 ， 代入解析式，联立方程组，解出即可得出直线
的解析式为 ，然后再把 代入 ，求得 ，进而得出抛物线的顶点坐标，然
后设出抛物线解析式为 ，把 代入解析式，确定 ，得到抛物线解析式，再
令 ，求得 的值即可．
【小问1详解】
解：令 时，得 ，
故答案为：
【小问2详解】
解：根据题意，画图如下：
【小问3详解】
解：设直线为 ，
把 ， 和 ， 代入，可得： ，
解得 ，
∴直线的解析式为 ，当 时，可得： ，
∴水流的最高点到地面的距离为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入解析式，可得： ，
解得： ，
∴ ，
令 ，可得： ，
解得： 或 （舍去），
且 ，
∴此时水流的射程约为 ．
故答案为： ，
【点睛】本题考查了一次函数图象的画法、待定系数法求一次函数的解析式、求二次函数解析式、一元二
次方程的解法、 二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解本题的关键．
25. 如图， 是 的直径，弦 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，
．（1）求 的大小；
（2）取 的中点 ，连接 ，请补全图形；若 ，求 的半径．
【答案】（1）
（2）图形见解析，
【解析】
【分析】（1）连接 ，先求出 ，从而得出 ，再根据同弧所对的圆周角等于
圆心角的一半得出 ，最后根据切线的定义即可求解；
（2）连接 ，证明 为等边三角形，将 的长度用半径表示出来，再证明
，根据勾股定理列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∵点M为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
设 半径为r，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，
∴ 半径为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是掌握圆周角定理，圆的切线的定义，直角三角形两
个内角互余，勾股定理等相关知识．
26. 已知二次函数 的图象经过点 ．
（1）用含 的代数式表示 ；
（2）若该函数的图象与 轴的一个交点为 ，求二次函数的解析式；（3）当 时，该函数图象上的任意两点 、 ，若满足 ， ，求 的取
值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）把 代入 可得关于a和b的等式，再进行整理即可；
（2）把 ， 代入 ，求出a和b的值即可；
（3）先求出函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性即可进行解答．
【小问1详解】
解：把 代入 得：
，
整理得： ．
【小问2详解】
把 ， 代入 可得：
，解得： ，
∴该二次函数的解析式为： ．
【小问3详解】
由（1）可知，
∴该函数的对称轴为直线 ，
∵ ，∴函数开口向下，
∴在对称轴左边，y随x增大而增大；在对称轴右边，y随x增大而减小；当 时，函数取得最大值；
∵ ， ，
∴点P在对称轴左侧，
①当点P和点Q在对称轴同侧时： ，即 ，
②当点P和点Q在对称轴两侧时：
∵ ，
∴带你P到对称轴的距离 ，
∴点P关于直线 的对称点的横坐标为：
∴ ．
综上： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练
掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 如图，在三角形 中， ， ，点 为 内一点，连接 ， ， ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
（1）用等式表示 与 的数量关系，并证明；
（2）当 时，①直接写出 的度数为________；
②若 为 的中点，连接 ，请用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1） ，证明见解析
（2）① ，② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明 ，即可得出结论；
（2）①根据三角形的内角和得出 ， ，即可得出
，再根据 ，即可得出结论；②延长 至点Q，使 ，
连接 ，先证明 ，得出 ， ，再证明 ，
得出 ，再根据等腰直角三角形边之间的关系，即可进行解答．
【小问1详解】
解： ，证明过程如下：
∵ 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．【小问2详解】
①在 中∵ ，
∴ ，
在 中∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
②连接 ，延长 至点Q，使 ，连接 ，
∵点M为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
由（1）可得 ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，整理得： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的综合应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质，三角形
的内角和，等腰直角三角形的性质．
28. 给出如下定义：对于 的弦 和 外一点 （ ， ， 三点不共线，且 ， 在直线
的异侧），当 时，则称点 是线段 关于点 的关联点．图1是点 为
线段 关于点 的关联点的示意图．在平面直角坐标系 中， 的半径为2．
（1）如图2， ， ．在 ， ， ，三点中，是线段
关于点 的关联点的是________；
（2）如图3， ， ，点 是线段 关于点 的关联点．
① 的大小为________ ；
②在第一象限内有一点 ，点 是线段 关于点 的关联点，求点 的坐标；
③点 在直线 上，当 时，直接写出点 的横坐标 的取值范围
________．
【答案】（1）
（2）① ；② ；③
【解析】
【分析】（1）由题意线段 关于点 的关联点的是以线段 的中点为圆心， 为半径的圆上，再
结合点 的坐标，即可得出答案；
（2）①作 轴于 ，根据锐角三角函数，得出 ，再根据角之间的数量关系，得出
，再根据题意，得出 ，然后计算即可得出答案；②作 轴于 ，根据锐角三角函数，得出 ，进而得出 ，再根据
，推出 、 、 、 四点共圆，然后再作 的外接圆 ，再根据圆
周角定理，得出 ，进而得出点 的纵坐标和点 的纵坐标相同，即 ，由此即可得出
点 的坐标；
③由②可知， ，进而得出点 在直线 上，设直线交 于 、 ，结合图象，
可得点 的横坐标等于 ，观察图形即可得出满足条件的点 的横坐标 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵由题意线段 关于点 的关联点的是以线段 的中点为圆心， 为半径的圆上，
∴ ，
又∵ ，
∴线段 关于点 的关联点的是 ；
故答案为：
【小问2详解】
解：①如图3-1中，作 轴于 ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是线段 关于点 的关联点，
∴ ，
∴ ；
为
故答案 ：
②如图3-2中，作 轴于 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ 、 、 、 四点共圆，
如图3-3，作 的外接圆 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ 轴，
∴点 的纵坐标和点 的纵坐标相同，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
③如图3-3，由②可知， ，
∴点 在直线 上，
设直线交 于 、 ，
∵点 是 的中点，
∵ ，
∴点 的横坐标等于 ，
观察图象，可知满足条件的点 的横坐标 的取值范围 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了坐标与图形、锐角三角函数、圆周角定理、一次函数的图象与性质、直线与圆的位置
关系，解本题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
