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北京市广渠门中学 2022-2023 学年度第二学期期中考试
初一数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各图中， 和 是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【详解】解：根据对顶角的定义：
A． 和 顶点不在同一位置，不是对顶角；
B． 和 角度不同，不是对顶角；
C． 和 顶点不在同一位置，不是对顶角；
D． 和 是对顶角；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
2. 16的平方根是（ ）
A. B. 4 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用平方根的定义化简即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴16的平方根是 ，
故选A．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．．
3. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵x+1≥2
∴x≥1
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法
是解题的关键．
4. 若a＞b，则下列不等式中错误的是( )．
A. a－1＞b－1 B. a＋1＞b＋1 C. 2a＞2b D. －2a＞－2b
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行分析判断即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴上述四个选项中，A、B、C中的不等式都成立，只有D中的不成立.
故选D.
【点睛】熟记不等式的基本性质：“（1）不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），不等号
的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两
边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.”是正确解答这类题的关键.
5. 若 是方程 的解，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以
求出a的值．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：把 代入方程 得：
，
解得 ．
故选：C．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数
a为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其
他字母的值．
6. 如图，直线l与直线a、b分别相交，且a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
【答案】B
【解析】
【分析】由a∥b，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，再利用对顶角相等即可得出∠2
的度数．
【详解】∵a∥b，
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣110°=70°，
∴∠2=∠3=70°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查平行线以及对顶角的性质，熟练掌握，即可解题.
7. 如图，O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE于点O，若∠BOC＝80°，则∠AOD的度数是
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A. 70° B. 50° C. 40° D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂线的性质，可知∠AOD、∠BOE互余，再由角平分线的定义及已知条件，计算∠BOE的度
数，据此解题即可．
【详解】解：∵OD⊥OE于点O，
∴∠DOE＝90°，
∴∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OE平分∠BOC，∠BOC＝80°，
∴∠BOE＝40°，
∴∠AOD＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查垂线的性质、互余、角平分线的定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
8. 如图． 中， ，D，E分别在 上，且 ．将 沿线段 折叠．
使点A落在点F处，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到 ，再由折叠的性质可得 ，则由平
角的定义可得 ．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
由折叠的性质可知 ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
9. 已知关于x、y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是（ ）
A. 0 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由方程组的解互为相反数，得到 ，代入方程组计算即可求出k的值．
【详解】解：把 代入方程组得：
∴ ，
∴
∴ ，
故选B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10. 若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得每个不等式的解集，再根据不等式组的解得到关于m的不等式组即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：解不等式组 得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵原不等式组有2个整数解，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，正确得出m的取值范围是解答的关
键，注意边界值的取舍．
二、填空题（本题共16分，每题2分）
11. 用不等式表示“ 的2倍大于5”__________．
【答案】
【解析】
的
【分析】根据 2倍大于5可列出不等式．
【详解】根据题意得； ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，关键抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文
字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式，如果________________，那么
________________．
【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等
【解析】
【分析】命题中的条件是两个角对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在 “那么”的
后面．
【详解】解：题设为：两个角是对顶角；结论为：这两个角相等，故写成“如果……，那么……”的形式
是：
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学科网（北京）股份有限公司如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：两个角 是对顶角，这两个角相等
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是
命题的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论．
13. 如图，点P到一条笔直的公路 共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径
是选择沿线段 去公路，这一选择用到的数学知识是______
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段 去公路，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解答的关
键．
14. 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠A＝110°，则∠AEC＝_____°．
【答案】35
【解析】
【
分析】首先根据AB∥CD，得到∠ACD70°，再由CE平分∠ACD，得到∠ACE＝∠DCE＝35°，最后由两直线
平行内错角相等，得到∠AEC＝35°．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，
∵CE平分∠ACD，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠ACE＝∠DCE＝ =35°，
∴∠AEC＝∠DCE＝35°；
故答案为：35．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记并
灵活运用平行线基本性质是解本题的关键．
15. 如图，在一块长方形草地上原有一条等宽的笔直小路，现在要把这条小路改为同样宽度的等宽弯曲小
路，则改造后小路的长度_____，草地部分的面积_____．（填“变大”，“不变”或“变小”）
【答案】 ①. 变大 ②. 不变
【解析】
【分析】根据两点之间，线段最短即可判断改造后小路的长度变化，根据平移的性质即可判断草地部分的
面积变化．
【详解】解：根据两点之间，线段最短可得改造后小路的长度变大，
设长方形的草地的长为a，宽为b，第一个图形改造后草地的面积是a(b－1)，将第二个图形根据平移的性
质可知改造后草地的面积也是a(b－1)，所以改造后草地部分的面积不变．
故答案为：变大；不变．
【点睛】本题考查了平移的性质和两点之间，线段最短等知识，正确理解题意、灵活应用平移的性质是解
题的关键．
16. 已知一个正数x的两个平方根分别是 和 ，则 ______
【答案】2
【解析】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数进行求解即可
【详解】解：∵一个正数x的两个平方根分别是 和 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数
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学科网（北京）股份有限公司没有平方根．
17. 在本学期的编程课上，小宇同学设计了一个运算程序，如图所示．
按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行
（1）若 ，该程序需要运行______次才停止；
（2）若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是______．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】（1）根据所给程序运算法则求解即可；
（2）根据所给程序运算法则列不等式求解即可．
【详解】解：（1）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故运行4次才停止，
故答案为：4；
（2）∵该程序只运行了2次就停止了，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查程序流程图与有理数的运算、解一元一次不等式，理解程序运算法则，正确列出不等式
是解答的关键．
18. 我们定义 ，例如 ．若 ，是整数，且满足
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学科网（北京）股份有限公司，则 的最小值是__________．
【答案】-5
【解析】
【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而
求解．
【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3，
则3＜xy＜5，
又∵x、y均为整数，
∴x=1，y=4；此时，x+y=5；
x=2，y=2；此时，x+y=4；
x=-1，y=-4；此时，x+y=-5；
x=-2，y=-2；此时，x+y=-4；
故x+y的最小值是-5，
故答案为-5．
【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．
三、解答题（共54分，19-21题每题5分，22-25题每题6分，26题7分，27题8分）
19. 直线 与直线 相交于 ，根据下列语句画图：
（1）过点 作 ，交 于点 ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，交 于 ；
（3）若 ，直接写出 度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）150°
【解析】
【分析】（1）根据平行线的画法画出图形即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据垂线的画法画出图形即可；
（3）利用三角形的外角的性质求出∠CNR=30°，再根据邻补角的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，PQ即为所求；
【小问2详解】
解：如图，PR即为所求；
【小问3详解】
解：∵PR⊥CD，
∴∠CRN=90°，
∵∠DCB=∠CNR+∠CRN，
∴∠CNR=120°-90°=30°，
∴∠PNC=180°-∠CNR=150°．
【点睛】本题考查作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握垂线，平行线的画法，属于中考
常考题型．
20. 解二元一次方程组：
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法进行求解即可．
【详解】解：
得 ，解得 ，
把 代入①得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知加减消元法是解题的关键．
21. 解不等式组： ，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【答案】 ，图见解析
【解析】
【分析】分别解每个一元一次不等式，确定不等式组的解集，再在数轴上画出解集即可．
【详解】解：由 ，得： ；
由 ，得： ；
∴不等式组的解集为： ；
数轴表示如图：
【点睛】此题考查了求一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等
式组的解集是解题的关键．
22. 已知：如图， 中，点D、E分别是 、 上， 平分 ， ． 交
的延长线于点F，且 ．求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司完成下面的证明，并在括号里补充推理的依据。
证明：∵ 平分 （已知）
（______）
（已知），
∴∠______ ______，
（______）
（已知）
（______）
（______）
【答案】角平分线的定义；2；3；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线
平行，同位角相等
【解析】
【分析】根据角平分线 的定义和平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵ 平分 （己知）
（角平分线的定义）
（已知），
∴ ，
（内错角相等，两直线平行）
（已知）
（平行于同一条直线的两条直线平行）
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：角平分线的定义；2；3；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；两直
线平行，同位角相等．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关
键．
23. 已知：如图，四边形 中， ， ，点E，F分别在 上，且
．求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证明 得到 ，等量代换得到 ，即可证明 ．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等
是解题的关键．
24. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将 经过一次平移后得到 ，图
中标出了点B的对应点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）请补全
（2）线段AB与 的关系是______
（3）若点P为线段 上的一个动点，则 的面积为______
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先找到A、C的对应点 的位置，描出 ，然后顺次连接即可得到答案；
（2）利用平移的性质进行求解即可；
（3）根据平行线间间距相等可得点P在 上任意一点的位置， 都相等，由此求出当点P与
重合时 的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
解：由平移的性质可得 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：由平行线间间距相等可知，点P在 上任意一点的位置， 都相等，
∴如图所示，当点P与 重合时，
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质，网格求三角形面积，灵活运用所学知识
是解题的关键．
25. 每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入 ， 两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，
若购买 种书柜3个， 种书柜2个，共需资金1020元；若购买 种书柜1个， 种书柜3个，共需资金
900元．
（1） 、 两种规格的书柜的单价分别是多少？
（2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多投人4350元的资金购买书柜，则 种书柜最多
可以购买多少个？
【答案】（1）A种书柜的单价熟练掌握180元，B种书柜的单价是240元
（2）B种书柜最多可以买12个
【解析】
【分析】（1）设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，根据“购买A种书柜3个、B种书柜2个，
共需资金1020元；购买A种书柜5个、B种书柜3个，共需资金1620元”，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，根据学校至多有4350元的资金，即可得
出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求解．
【小问1详解】
解：设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，依题意得：
，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
答：A种书柜的单价是180元，B种书柜的单价是240元；
【小问2详解】
设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，依题意得：
180m+240（20﹣m）≤4350，
解得：m≥7.5，
则20﹣m≤12.5，
∵m为整数，
∴B种书柜最多可以买12个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
26. 已知：如图， ，点G、H分别在直线 上的定点，点P是直线 上的一个
动点，且不在直线 上，连接 ．
（1）如图1，求证： ．
（2）如图2，若 ， ，求 的度数．
（3）若 平分 ． ， ．且 ，直接用含 的代数式表示
的度数为：______
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） 或
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，由此即可证明结论；
（2）根据平行线的性质求出 ，则 ，再由平行线的性质即
可得到 ；
（3）分图3-1和图3-2两种情况，利用平行线的性质和角平分线的定义进行求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1所示，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图2所示，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图3-1所示，
同理可证 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司如图3-2所示，同理可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．
27. 如果x是一个有理数，我们定义 表示不小于x的最小整数，如 ， ， ．
（1）根据定义： ______， ______；
（2）若 ，直接写出a与1，2的大小关系为______；
（3）解决下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司①求满足 的m取值范围：
②直接写出方程 的解为______．
【答案】（1） ，
（2）
（3）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）根据题目所给的定义进行求解即可；
（2）根据题目所给 的定义进行求解即可；
（3）①根据新定义列出不等式求解即可；②据新定义列出不等式求出n的取值范围，再根据 为整数，
则 为整数，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得： ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
又∵ 为整数， ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题目所给的新定义是解题
的关键．
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学科网（北京）股份有限公司第22页/共22页
学科网（北京）股份有限公司
