文档内容
北京市中关村中学 2022-2023 学年第二学期期中调研
初二数学
考生须知
1．本试卷共8页，共两部分，26道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级、考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共24分，每小题3分）在下列各小题的四个备选答案中，只有一个是正
确的．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】解：A、 ，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
B、 是最简二次根式，符合题意；
C、 ，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件：（1）被开方
数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数不含能开得尽的因数或因式．
2. 下列二次根式中，与 能合并的是（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】化简二次根式，找出与 是同类二次根式的即可．
【详解】解：A、 ，不能与 合并，则此项不符合题意；
B、 ，不能与 合并，则此项不符合题意；
C、 ，不能与 合并，则此项不符合题意；
D、 ，能与 合并，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A. 1， ， B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 2，2，3
【答案】D
【解析】
【详解】分析：欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两
小边的平方和等于最长边的平方即可．
详解：A、12+（ ）2=3=（ ）2，故是直角三角形，故错误；
B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；
C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；
D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．
故选D．
点睛：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利
用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据二次根式的加减法与乘法、二次根式的化简逐项判断即可得．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，则此项错误，不符合题意；
D、 ，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法与乘法、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关
键．
5. 如图，在平行四边形 中， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解.
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答此题的关键.
6. 如图，在平行四边形 中， ， 为 上一动点， ， 分别为 ， 的中点，则的长为（ ）
.
A 4 B. 3 C. 2 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得 ；然后利用三角形中位线定理求得
．
【详解】解：如图，在平行四边形 中， ．
， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结
合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
7. 如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件
是（ ）
A. B.
C. D.【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理推理判断即可．
【详解】因为 ，
所以∠ABD=∠CDB，
因为∠AOB=∠COD，
所以 AOB≌ COD，
所以△OB=OD，△
所以四边形ABCD是平行四边形，
故A可以，不符合题意；
因为 ，
所以∠DAC=∠BCA，
因为AC=CA，
所以△ACD≌△CAB，
所以AD=BC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
故B可以，不符合题意；
因为 ，
无法判定四边形ABCD是平行四边形，
故C不可以，符合题意；
因为 ，
所以四边形ABCD是平行四边形，
故D可以，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理，灵活选择方法完善条件是解题的关键．
8. 如图，分别在四边形 的各边上取中点 ， ， ， ，连接 ，在 上取一点 ，连接
，过 作 ，交 于 ，将四边形 中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形 和 ，延长 ， 相交于点 ，得到四边形 ．下列说法中正
确的是（ ）
①
②
③
④四边形 是平行四边形
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 顺 次 连 接 ， 连 接 交 于 点 ， 得 ， 于 是 ， 证 明
，即可判断①；由对称性可得： ，则 ，由 ，
即可判定四边形 是平行四边形，即可判断④；四边形 是平行四边形，则 ，
无法证明 ，即可判断②；四边形 四边形 ，四边形 四边形
，四边形 四边形 ，得到 ，则 ，即
可判断③．
【详解】解：如图，顺次连接 ，连接 ，连接 交 于点 ，
∵分别在四边形 的各边上取中点 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
由对称性可得： ，
，
，
四边形 是平行四边形，
故④正确；
四边形 是平行四边形，
，
无法证明 ，
故②不正确；依题意，四边形 四边形 ，四边形 四边形 ，
由题意得，四边形 是由 移动得到的，
∵ ，
∴四边形 可以看成是四边形 以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转 得到的，
∴ ，
即 在同一条直线上， ， ，
∴ ，
又∵四边形 是由四边形 移动后得到的，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
同理可得， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 四边形 ，
，
∴ ，
故③正确；
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质，全等形的判定和性质等知识，解决问
题的关键是掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共18分，每小题3分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
10. 已知 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的非负性、绝对值的非负性可得 的值，再代入计算即可得．
【详解】解： ，
， ，
解得 ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性、绝对值的非负性、代数式求值，熟练掌握二次根式的非负性是解
题关键．
11. 如图，在平行四边形 中， 平分 ，交 边于 ， ， ，则 的长
为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，根据平行线的性质可得
，再根据角平分线的定义可得 ，从而可得 ，然后根据
等腰三角形的判定可得 ，最后根据 即可得．【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题
关键．
12. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：
“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中，
， ， ，求 的长，如果设 ，则可列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，再利用勾股定理列出方程即可得．
【详解】解： ， ，
，
， ，，即 ，
则可列方程为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
13. 如果一个无理数a与 的积是一个有理数，写出a的一个值是_____．
【答案】 （答案不唯一）．
【解析】
【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值．
【详解】解：∵ ＝2 ，
∴无理数a与 的积是一个有理数，a的值可以为： （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定
义以及同类二次根式的积为有理数即可．
14. 如图，在 中， ， ， ，有一动点 自 向 以 的速度
运动，动点 自 向 以 的速度运动，若 ， 同时分别从 ， 出发．
（1）经过___________秒， 为等边三角形；
（2）经过___________秒， 为直角三角形．
【答案】 ①. 10 ②. 6或15【解析】
【分析】（1）设经过 秒， 为等边三角形，先求出 ，再根据等边三角形的判定可得当
时， 为等边三角形，由此建立方程，解方程即可得；
（2）设经过 秒， 为直角三角形，分两种情况：① 和② ，利用含30
度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：点 自 运动至 所需时间为 ，点 自 运动至 所需时间为 ，
（1）设经过 秒， 为等边三角形，
由题意得： ，
，
，
要使 为等边三角形，则 ，
，
解得 ，符合题意，
故答案为：10．
（2）设经过 秒， 为直角三角形，
由题意得： ，
，
①当 时， 为直角三角形，
，
，即 ，解得 ，符合题意；
②当 时， 为直角三角形，
，
，即 ，
解得 ，符合题意；
故答案为：6或15．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的
直角三角形的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共58分，第15~18题每题4分，19~23题每题5分，第24题4分，第25
题6分，第26题7分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算二次根式 的除法、化简二次根式，再计算二次根式的减法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法与减法、化简二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
16. 计算： ．
【答案】21
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算加减法即可得．
详解】解：原式
【．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、化简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键．
17. 当 时，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式将原式进行变形，再直接将 代入求值即可．
【详解】解：
当 时，
原式
【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的
长度及平行四边形ABCD的面积．
【答案】OB=3，48
【解析】
【分析】由BD⊥AD可知 为直角三角形，利用勾股定理求出BD即可．
【详解】解：∵BD⊥AD，AB＝10，
在 中，由勾股定理得∴BD＝
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ BD＝3，S ＝AD•BD＝8×6＝48．
ABCD
▱
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19. 阅读下面材料，并回答问题
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线
定理”的两种不同证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化．
方法一
方法二
已知：如图①，在 中， ， 分别是边 ，
已知：如图②，在 中， ， 分别是边
的中点，连接 ．
， 的中点，连接 ．
求证： ，且 ．
求证： ，且 ．
完成下面的证明：
完成下面的证明：
证明：延长 到点 ，使 ，
证明：过点 作 ，与 的延长线
连接 ， ， ． 交于点 ．
∵ ， ， ∴ ④___________．
∴四边形 是平行四边形（①___________） ∵ ， ，
（填推理的依据）
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
又 ，
∴ ． ∴ ．
∴四边形 是平行四边形（②___________） ∴四边形 是平行四边形．
（填推理的依据）
∴ （⑤___________）（填推理的依
∴ ③___________． 据）．又 又
∴ ，且 ． ∴ ，且 ．
【答案】①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③
；④ ；⑤平行四边形的对边平行且相等
【解析】
【分析】方法一：先证出四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得 ，
再证出四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得 ，由此即可得证；
方法二：先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，再证出四边形 是平行四
边形，根据平行四边形的性质可得 ，由此即可得证．
【详解】证明：方法一：延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ．
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴ ．
又 ，∴ ，且 ．
方法二：过点 作 ，与 的延长线交于点 ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
∴ （平行四边形的对边平行且相等）．
又 ，
∴ ，且 ．
故答案为：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③
；④ ；⑤平行四边形的对边平行且相等．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形
的判定与性质是解题关键．
20. 如图，在平行四边形 中，E，F分别是 ， 的中点，求证： ．【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先根据四边形 为平行四边形推出 ， ，从而判定四边形 是平行
四边形，即可得证．
【详解】证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
又∵E，F是 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
21. 如图，在 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为
顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．
（1）在图①中，画一个格点三角形 ，使得 ；
（2）在（1）的条件下，直接写出 边上的高；
（3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【答案】（1）图见解析
（2）2 （3）图见解析（答案不唯一）【解析】
【分析】（1）先结合网格特点，利用勾股定理画出 ，再利用勾股定理画出 ，然后连接
即可得；
（2）先利用勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）参照（1）的方法，画出三边长分别为 的直角三角形即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求．
【小问2详解】
解：设 边上的高为 ，
，
，
是直角三角形，
，即 ，
解得 ，
即 边上的高为2．
【小问3详解】
解：如图， 即为所求作（答案不唯一）．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．
22. 如图，在四边形 中， ， ， ， ．求 的度数．
【答案】135°
【解析】
【分析】连接AC，首先判断出△ABC的形状，然后根据勾股定理求出AC的长度，再用勾股定理的逆定理
判断出△DAC的形状，最后即可求出∠BAD的度数．
【详解】连接 ，
∵ ， ，
∴△ABC为等腰直角三角形， ，
在 中，由勾股定理得：
，∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形相关知识，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确使用勾股定理和勾股
定理的逆定理是解决本题的关键．
23. 已知：如图A、C是 DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行
▱
四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形和平行线的性质，推导得 ， ；根据全等三角形
的判定和性质，证明 、 ，得 、 ，即可完成证明．
【详解】证明：∵平行四边形DEBF，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
，
∴ ， ，
∵平行四边形DEBF，
∴ ， ，在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等
三角形的判定和性质，从而完成求解．
24. 把根式 进行化简，若能找到两个数 、 ，使 且 ，则把 变成
，然后开方，从而使得 化简．
例如：化简 ．
解：∵ ，
∴ ．
为
利用上述方法完成下列各题（结果要化 最简形式）：
（1） ___________；
（2） ___________；（3）当 时，化简 ．
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）根据 ，利用完全平方公式配方求解即可得；
（2）根据 ，利用完全平方公式配方求解即可得；
（3）根据 ， 进行化简，再计算加减法即
可得．
【小问1详解】
解： ,
，
，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：
，
，故答案为： ．
【小问3详解】
解： ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式的加法与乘法、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算
法则是解题关键．
25. 在等腰直角三角形 中， ， 是射线 上一动点（与点 ， 不重合），作射线
，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，垂足为点 ，交直线 于点 ．（1）如图1，若点 在 的延长线上，请补全图形；
（2）若 ，则 ___________；（用含 的式子表示）
（3）用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） 或
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）按照要求补全图形即可；
（2）分点 在 的延长线上和点 在线段 上两种情况进行求解即可；
（3）点 在 的延长线上，连接 ，作 于点E，证明 ，则
， ，再证明 ，证明 ，则 ，
由 是等腰直角三角形得到 ，则 ，进一步得到
，即可得到结论；②点 在线段 上，连接 ，作 于点E，证
，则 ， ，再证 ，证
，则 ，由 是等腰直角三角形得到 ，则
，进一步得到 ，即可得到结论．
【小问1详解】
补全图形如下：【小问2详解】
解： 或 ；理由如下：
如图1，点 在 的延长线上，
∵ ， 是等腰直角三角形，
， ，
∴ ，
，
，
；
如图2，点 在线段 上，
∵ ， 是等腰直角三角形，
， ，，
，
；
故答案为： 或
【小问3详解】
；理由如下：
①当点 在 的延长线上，连接 ，作 于点E，如图1图示：
，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
，
，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中， ，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
②点 在线段 上，连接 ，作 于点E，如图2所示：，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
∴ ，，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
综上可知，
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线
构造全等三角形分类讨论是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点A在 轴的正半轴上，点 在第一象限，作射线 ．给出如下定义：
如果点 在 的内部，点 作 于点 ， 于点 ，那么称 与 的长度之
和为点 关于 的“内距离”，记作 ，即 ．的
（1）如图1，若点 在 平分线上，则 ___________， ___________，
___________；
（2）如图2，若 ，点 （其中 ）满足 ，求 的值；
（3）若 ，点 在 的内部，用含 ， 的式子表示 ，并直接写出
结果．
【答案】（1）2，2，4；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质得 ，即可得到 ；
（2）过点C作 轴于点M，过点C作 于点N，得到 ， ，
是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 由 得 到 ， 由 勾 股 定 理 得 到 ， 则
，可得到 ，解方程即可得到a的值；
（3）过点Q作 轴于点C，交 于点D，则四边形 是矩形，证得 ，即可得到 ，由勾股定理得到 ，则 ，同理可得
，则 ,得到 ，即可得到答案．
【小问1详解】
∵点 在 的平分线上，
∴ ， ，
故答案是：2，2，4；
【小问2详解】
过点C作 轴于点M，过点C作 于点N，
∵点 （其中 ），
∴ ， ， 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ；
【小问3详解】过点Q作 轴于点C，交 于点D，则四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ,∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，含 角直角三角形的性质，添加合适的辅助线构造
直角三角形，是解题的关键．
