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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三数学
一、选择题（每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 年3月 日教育部召开新闻发布会，据介绍，去年我国在学研究生 人，比上年增长
．其中 用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定 的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为 ，其中 ， 的值为整数位数少1．
【详解】解： 大于1，用科学记数法表示为 ，其中 ， ，
∴ 用科学记数法表示为 ，
故选：D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做
中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
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3. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，若∠BOD=40°，则不正确的结论是（ ）
A. ∠AOC=40° B. ∠COE=130° C. ∠BOE=90° D. ∠EOD=40°
【答案】D
【解析】
【分析】首先由垂线的定义可知∠EOB=90°，然后由余角的定义可求得∠EOD，然后由邻补角的性质可求
得∠EOC，由对顶角的性质可求得∠AOC．
【详解】由对顶角相等可知∠AOC=∠BOD=40，故A正确，所以与要求不符；
∘
∵OE⊥ AB，∴∠EOB=90，故C正确，与要求不符；
∘
∵∠EOB=90，∠BOD=40，
∘ ∘
∴∠EOD=50，故D错误，与要求相符．
∘
∴∠EOC=180−∠EOD=180−50=130，故B正确，与要求不符．
∘ ∘ ∘ ∘
故选D．
4. 下列结论中，正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则 ，
C. 若 ， ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，选出正确的即可．
【详解】A．若 ， ， 时， ， 时， ，故选项不完全正确，不符合题意；
B．若 ，则 ， 或 ， ，故选项不完全正确，不符合题意；
C．若 ， ，则 ，故选项正确，符合题意；
D．若 ，则 或 ，故选项错误，不符合题意；
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故选：C．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．
5. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A. 6 B. 12 C. 16 D. 18
【答案】B
【解析】
【详解】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，
故选B.
6. 在一个不透明的袋中装有1个黄球和1个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，
然后放回搅匀，再从袋中任意摸出一个球，那么两次都摸到黄球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次都
摸到黄球的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
黄 红
黄 （黄，黄） （红，黄）
红 （黄，红） （红，红）
由表格可知一共有4种等可能性的结果数，其中两次都摸到黄球的结果数有1种，
∴两次都摸到黄球的概率为 ，
故选：A．
7. 如果a2 −a−6=0，那么代数式 的值为（ ）
A. B. 3 C. ﹣ D. ﹣3
【答案】A
【解析】
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【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2 −a−6＝0，即可求得所求式子的值．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝ ，
∵a2 −a−6＝0，
∴a2 −a＝6，
∴原式＝ ，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
8. 如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每
秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A
的距离设为y，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；
②当t＝3时，机器人一定位于点O；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有（
）
A. ①④ B. ①③ C. ①②③ D. ②③④
【答案】C
【解析】
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【分析】根据图象起始位置猜想点B或F为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象
的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．
【详解】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F或B点，则正六边形边长为1．故①正
确；
观察图象t在3－4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，
则当t＝3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确；
所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确；
因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故④错误．
故选C．
【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
【答案】x≥3
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意可得：x—3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
10. 分解因式： _______.
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用公式法进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，在进行因式分解时，有公因式一定要先提公因式．
11. 分式方程 的解是________
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【答案】
【解析】
【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解；
【详解】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得
3(x+1)=4x
3x+3=4x
x=3，
检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，
∴原分式方程的解为：x=3．
故答案为：x=3．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程 的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式
方程一定要验根．
12. 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，若点A的坐标为 ，则关于x的
不等式 的解集是______．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据对称性求出 点坐标，进而利用图象法求不等
式的解集即可．
【详解】解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象都关于原点对称，
∴点 关于原点对称，
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∵点A的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
由图象可知： 的解集是 或 ；
故答案为： 或
13. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了 30名学生每周课外阅读的时
间，统计如下：若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为______
人．
阅读时间（x小时）
人数 12 8 6 4
【答案】400
【解析】
【分析】本题考查了用样本估计总体，用1200乘以样本中每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数的比
例即可．
【详解】解： （人）．
故答案为：400．
14. 如图，已知 的直径 垂直于弦 ，垂足为点 ，则半径 的长为
__________．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关
键．
连接 ，根据圆周角定理可得 ，再利用垂径定理可得 ， ，从
而可得 ， ，进行计算即可解答．
【详解】解：连接 ，
，
，
直径 ，
， ，
，
， ，
，
故答案为： ．
15. 如图，AB∥CD∥EF，直线 、 与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若AD：DF＝
3：1，BE＝10，则CE的长为________．
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【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ，则BC=3CE，然后利用BC+CE=BE=10可计
算出CE的长．
【详解】解：∵AB//CD//EF，
∴ ，
∴BC=3CE，
∵BC+CE=BE，
∴3CE+CE=10，
∴CE= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
16. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝
30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③AE2＝AD•AF；④AF＝AB+CF．其中正确结论为是______．
（填写所有正确结论的序号）
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【答案】②③④
【解析】
【分析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到∠BAE是否等于30°；
②根据题目中的条件，可以求得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分
线；
③由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，进而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出题
中结论；
④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到AF＝AB＋CF是否成立．
的
【详解】解：∵在正方形ABCD中，E是BC 中点，∠B＝∠C＝90°，
∴AB＝BC，BE＝ AB，
∴tan∠BAE＝ ＝ ，
∵tan30°＝ ，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，
∴∠BAE＋∠BEA＝90°，∠BEA＋∠CEF＝90°，∠CFE＋∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，∠BEA＝∠CFE，
∴△ABE∽△ECF，
∴
∵AB＝2BE＝2CE，
∴EC＝2CF，
设CF＝a，则EC＝BE＝2a，AB＝4a，
∴在Rt△ABE中，AE＝ a，
在Rt△CEF中，EF＝ a，tan∠CFE＝2，
∴tan∠AFE＝ ＝2，
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∴∠AFE＝∠CFE，
即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；
∵∠AFE＝∠CFE，∠AEF＝∠C，
∴∠EAF＝∠CEF，
∵∠BAE＝∠CEF，
∴∠BAE＝∠EAF，
∴△ABE∽△AEF，
∴ ，
∴AE2＝AB•AF，
∵AD＝AB，
∴AE2＝AD•AF，故③正确；
作EG⊥AF于点G，
∵FE平分∠AFC，∠C＝90°，
∴EG＝EC，
∴EG＝EB，
∵∠B＝∠AGE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）
∴AB＝AG，
又∵CF＝GF，AF＝AG＋GF，
∴AF＝AB＋CF，故④正确，
由上可得，②③④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，解答
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
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三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每
题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
18. 解不等式组： ，并求整数解．
【答案】 ，整数解是0、1、2
【解析】
【分析】本题考查得是求一元一次不等式组的解集及整数解，正确解不等式组是解题关键．分别求出每一
个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解
集，再写出整数解即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集是 ，
整数解是0、1、2．
19. 已知m是方程 的一个根，求代数式 的值．
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【答案】
【解析】
【分析】由题意可得： ，即 ，根据完全平方公式和平方差公式对代数式进
行化简，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由m是方程 的一个根可得 ，即 ，
将 代入，可得原式
【点睛】此题考查了一元二次方程根的含义，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是理解一元二次方
程根的含义，正确对代数式进行运算．
20. 已知关于x的方程 ( )．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先计算根的判别式得到△=（a＋3）2，然后根据a>0得到△＞0，则可根据判别式的意义得到
结论；
（2）利用公式法求得方程的两个解为 x＝－1，x＝ ，再由方程有一个根大于2，列出不等式，
1 2
解不等式即可求得a的取值．
【详解】（1）证明： ，
∵ ，
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∴ ，即 ．
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵ ，由求根公式得x＝ ，
∴ ，
∵方程有一个根大于2，
∴ .
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 （ ）的根的判别式 ：当 ，方
程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
21. 如图，点F在 的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，
∠ABF＝∠FBC＋∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝ ，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由
菱形的判定定理可得结论；
（2）过D作DH⊥AC于点H，先求出∠CBE=30°，再由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，然后由锐角
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三角函数定义可得AH，DH的长，由菱形的性质和勾股定理得CH的长，即可得出AC的长．
【详解】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴▱ABEF是菱形；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵sin∠CBE= ，
∴∠CBE=30°，
∵BE∥AC，
∴∠1=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠1，
∴∠2=∠CBE=30°，
Rt△ADH中，AH=AD•cos∠2=8 = ，DH=AD•sin∠2= ，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD=AB=BE=5，
Rt△CDH中，CH= ，
∴AC=AH+CH= ．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函
数定义以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过
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点 ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，直接写
出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，得出 ，把
代入 ，即可求出b的值，得出一次函数关系式；
（2）根据函数图象结合题意先推理得出 ，然后将 代入y=-x+2得出函数值 ，根据题意即
可列出 ，得出 ，根据此时 得出 ，解得 ，结合图象得出m的取值范
围即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∴ ．
∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴这个一次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
根据函数y=-x+2的函数图象可知，要使当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次
函数y=kx+b的值，则 一定要小于0，
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把 代入y=-x+2得： ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故m的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握平移后一次函数关系式中的k值
不变，是解题的关键．
23. 2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个
滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、
描述和分析．下面给出部分信息：a．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：
， ， ， ， ， ）：
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b．甲滑雪场游客消费额的数据在 这一组的是：
410 430 430 440 440 440 450 450 520 540
c．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
甲滑雪场 420 m
乙滑雪场 390 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）一名被调查的游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查
的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由；
（3）若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额．
【答案】（1）430 （2）乙滑雪场的游客，理由见解析
（3）5850000
【解析】
【分析】（1）根据题意得到位于第25位和第26位的分别为430和430，即可求解；
（2）根据甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元，可得他不是甲滑
雪场的游客，即可求解；
（3）用乙滑雪消费的平均数乘以每天的人数，再乘以时间，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：位于第25位和第26位的分别为430和430，
∴m=430；
【小问2详解】
解：∵甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元，
∴他不是甲滑雪场的游客，而是乙滑雪场的游客；
【小问3详解】
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根据题意得：乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额为： 元．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和统计表，求中位数，中位数和平均数的应用，明确题意，准确从统
计图和统计表中获取信息是解题的关键．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连
接PC．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）若BC＝4，tan∠APO＝ ，求PA的长．
【答案】（1）见解析；（2）PA= ．
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理的推论可得OP⊥AC，根据垂直平分线的性质可得PA=PC，根据等腰三角形
的性质可得∠PCA ∠PAC，根据切线的性质可得OA⊥PA，可得∠PAC＋∠BAC 90°，根据直径所对圆周
角等于90°可得∠ACB 90°，即可得出∠ABC＋∠BAC 90°，可得结论；
（2）根据角的和差关系可得∠APO ∠BAC，根据tan∠APO＝ 可得tan∠BAC= = ，即可求出AC
的长，利用勾股定理可求出AB的长，进而求出OA的长，根据tan∠APO＝ = 即可得PA的长．
【详解】（1）∵D是AC中点，OP过⊙O的圆心，
∴OP⊥AC，AD CD，
∴PC PA，
∴∠PCA ∠PAC，
∵PA是⊙O的切线，OA为半径，
∴OA⊥PA，
∴∠PAC＋∠BAC 90°，
∵AB是直径，
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∴∠ACB 90°，
∴∠ABC＋∠BAC 90°，
∴∠PCA ∠ABC．
（2）∵OP⊥AC，
∴∠PAC＋∠APO 90°，
∵∠PAB 90°，
∴∠PAC＋∠BAC 90°，
∴∠APO ∠BAC，
∴tan∠APO tan∠BAC= = ，
∵BC 4，
∴AC 8，
∴AB = ，
∴AO ，
∵tan∠APO＝ = ，
∴PA= ．
【点睛】本题主要考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理及三角函数的定义，平分弦(不是直径)的直径
垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；切线垂直于经过切点的半径；直径所对圆周角等于90°；熟
练掌握相关性质及定理并理解三角函数的定义是解题关键．
25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一
部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度 （单位： ）与水平距离
（单位： ）近似满足函数关系 ．
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（1）拱门上的点的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
1
水平距离 2 3 6 8 12
0
竖直高度
4 5.4 7.2 6.4 4 0
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系
．
（2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度 （单位： ）与水平距离
（单位： ）近似满足函数关系 ，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个
端点间的距离）为 ，“新拱门”的跨度为 ，则 __________ 填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由表格得当 时， ，当 时， ，从而可求顶点坐标，即可求解；
（2）由表格可以直接求出 ，由 可求出 ，进行比较即可．
【小问1详解】
解：由表格得：
，
顶点坐标为 ，
，
，
解得： ，
．
【小问2详解】
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解：由表格得
当 时， ，
原拱门中： （ ）；
新拱门中：
当 时，
解得： ， ，
（ ），
，
．
故答案： ．
【点睛】本题考查了二次函数 的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 、 ，在抛物线 上，设抛物线的对
称轴为 ．
（1）若对于 ， ，有 ，求t的值．
（2）若对于 ， ，都有 ，取t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，因式分解的应用等知识，熟练掌握相关运算
法则是解题关键．
（1）将 和 代入抛物线解析式，得出 ，再结合抛物线对称轴公式，即可求出t的值；
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（2）由抛物线对称轴，得到 ，将 ， 代入 ，可得
，再根据 ， ，得出 ，
，然后根据 ，得到 ，解不等式即可得出t的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意知， ．
∴ ．
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ．
将 ， 代入 得：
， ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，且对于 ， ，都有 ，
∴对于 ， ，都有 ．
∴ ，即 ．
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27. 已知：线段 ，点C是线段 的中点，点D在线段 上，线段 绕点C顺时针旋转 得到
线段 ，过B作 交 的延长线于点F，交直线 于点G．
（1）如图， 补全图形， 设 ，求 的度数(可以用α表示)；
（2）在（1）中补全图形中， 求 与 的数量关系；
（3）在（1） 中补全图形中，用等式表示 、 、 的数量关系，并证明．
【答案】（1）图形见解析， ；
（2） ，理由见解析；
（3） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形，利用旋转的性质得到 ，推出， 利用
直角三角形性质，得到 ，结合对顶角性质和角的运算得到 ，
再利用直角三角形性质即可得到 的度数；
（2）连接 ，根据题意得到 ，推出 ，记 ，则
，利用三角形内角和得到 ，进而得到 ，利用等腰三
角形性质得到 ，最后进行等量代换，即可解题；
（3）过B作 交于点H，根据等腰直角三角形的性质结合解直角三角形，进行等量代换，即可
解题．
【小问1详解】
解：根据题意补全图形如下：
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，线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，
， ，
， ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
连接 ，
点C是线段 的中点， ，
是 的垂直平分线，
，
，
记 ，
，
，
由（1）可知 ，
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，
，
，
；
【小问3详解】
解： ，证明如下：
过B作 交于点H，如图，
由（2）可知 ， ，
，
， ，
，同理 ，
，
，
，
，
整理可得 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形性质，旋转的性质
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以及对顶角性质等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
28. 对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆．若 与图形M有交点，
且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度 ”．
（1）如图1，点 ， ．
①在点O视角下，线段 的“宽度 ”为______；
②若 半径为2，在点A视角下， 的“宽度 ”为______；
（2）如图2， 半径为2．点P为直线 上一点．求点P视角下 “宽度 ”的取值范围；
（3）已知点 ， ，直线 与x轴，y轴分别交于点D，E．若随着点C位置的变
化，使得在所有点K的视角下，线段 的“宽度”均满足 ，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①2；②3
（2）
（3） 或
【解析】
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【分析】（1）①②点 视角下图形 的“宽度 ”的定义解决问题即可．
（2）当点 在 外时，点 视角下 “宽度 ” ，可得 的最大值为4，当 直线
时， 的最小值 ，由此即可解决问题．
（3）如图3中，观察图象可知当 与直线的交点在线段 （不包括点 ， 上或与直线 没有交
点，满足条件．求出几种特殊位置点 的坐标，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①如图1中，
， ，
， ， ，
，
点 视角下，则线段 的“宽度 ”为 ．
②设直线 交 于 ， ．
则在点 视角下， 的“宽度 ” ，
【小问2详解】
解：如图2中，
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当点 在 外时，点 视角下 “宽度 ” ，
的最大值为4，
当 直线 时， 的最小值 ，
．
【小问3详解】
解：如图3中，观察图象可知当 与直线的交点在线段 （不包括点 ， 上或与直线 没有交
点，满足条件．
与 轴， 轴分别交于点 ， ，
， ， ，
当 在直线的左侧与直线相切时， ， ，
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当 经过点 时， ， ，
观察图象可知满足条件的 的值为： 或 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，切线的性质，解直角三角
形等知识，解题的关键是理解题意，学会性质特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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