文档内容
2022-2023 学年度第一学期初三年级数学练习 1
命题人：陈维兵 审题人：孙芳 左丽华
一、选择题（本题共2，每小题）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 把一次函数的图像 向上平移4个单位长度，得到图象表达式是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数”上加下减“的性质分析即可．
【详解】解：根据题意得，一次函数的图象平移后的解析式为：
y=3x+1+4，
即y=3x+5．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数”上加下减“的性质是解题的关键．
2. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果 ，那么 的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质证得 ，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ， ，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
3. 二次函数 的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据顶点式 的顶点坐标为 求解即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ， ，开口向上，当 时，函数有最小值
2．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式 的顶点坐标为 ，掌握顶点式求顶点坐标是解
题的关键．
4. 一元二次方程 配方后可变形为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项
【详解】
故选：D【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解题关键．
5. 已知 ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则 ， ， 的
大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据 ， ， 三点到对称轴的距离大小关系求
解．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数 的对称轴直线x= ，图象具有如
下性质：①当a＞0时，抛物线 的开口向上，x＜ 时，y随x的增大而减小；x＞
时，y随x的增大而增大；x= 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0
时，抛物线 的开口向下，x＜ 时，y随x的增大而增大；x＞ 时，y随x的增
大而减小；x= 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．6. 如图，正方形 的面积为8，菱形 的面积为4，则 的长是（ ）
A. 4 B. C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF
的长即可.
【详解】解：连接AC，如下图所示：
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AD= ，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：
，
∵菱形AECF的面积为4，
∴ ×EF×AC=4，
∴EF=2.
故答案选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形和菱形的面积计算公式是解决此题的关键．7. 小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计
2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列
出方程得( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的
产量为345万吨，列方程即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
8. 如图，点E为正方形ABCD外一点，且 ，连接AE，交BD于点F．若 ，则
的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质，得 ， ，得 ；根据 ，
得 ；根据等边对等角， ，可求出 ；根据三角形的内角和，得 ；根
据 和 全等，得 ，即可求出 的角度．
【详解】∵四边形 正方形∴ ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴在 中，
∴
∴
∵在 和 中
∴
∴
∴
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形和三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的性质和判定，
等边对等角．
二、填空题（本题共18分，每小题）
9. 己知正比例函数 过点 ，则k的值为______．【答案】3
【解析】
【分析】根据点在函数上，把点 代入 ，即可求出 值．
【详解】∵正比例函数 过点
∴
∴
故答案为：3．
【点睛】本题考查正比例函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解 值．
10. 在□ 中，若 ，则 的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，由平行四边形的性质得 ，则 ，即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．理解和掌握平行四边形的性质是解题的关键．
的
11. 写出一个对称轴为y轴，且过 二次函数的解析式______．
【答案】 （答不唯一）
【解析】【分析】对称轴为y轴，则一次项系数为0，经过点（0，-2）即常项数为-2，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，满足题意的二次函数解析式可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解对称轴为y轴，则一次项系数为0，经过点（0，-2）
即常项数为-2是解题的关键．
12. 如图，在 中， ， ，BE平分 交AD于点E，则DE的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，角的平分线,先证明AB=AE，AD=BC，再根据DE=AD-AE计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC．
∵BE平分 ，
∴∠ABE=∠EBC．
∴∠ABE=∠AEB．
∴AB=AE，
∴DE=AD-AE=BC-AB=BC-CD，
∵ ， ，
∴DE=8-5=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的
性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
13. 如图，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，则 的面积为______．【答案】2
【解析】
【分析】根据题意求出A、B点的坐标，然后求出面积即可．
【详解】解： 直线 交x轴于点A．
令 ，则 ，解得：
点A的坐标为
直线 交y轴于点B．
令 ，则 ，解得：
点B的坐标为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数中求与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握坐标轴上点的特征并利用函数表
达式求出关键点的坐标是解本题的关键．
14. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的系数结合根的判别式 ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的
取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ =(﹣2)2-4×1·m＞0，解得m＜1，
即m的取值范围是m＜1．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
15. 如图，正方形 在第一象限内，点 、 坐标分别为 ， ，若直线
把正方形 分成面积相等的两部分，则 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】正方形 的各边都相等，点 、 坐标分别为 ， ，如图所示（见详解）可求
出点 、 的坐标，再将点 、 的坐标代入直线方程 即可求出答案．
【详解】解：∵正方形 ，点 、 坐标分别为 ， ，
∴ ，
∴点 、 坐标分别为 ， ，且正方形 的面积是 平方单位，
直线 过线段 交于点 、过 交于点 ，且设 ， ，
∴ ，解方程组得， ，
如图所示， ， ， ，梯形 的面积是正方形 的一半，即梯形 的面积是 平方单位，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ， ，即 ， ，代入直线 得，
∴ ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，根据题意绘制函数图像，结合图形、数据分析一次
函数图形与正方形的交点，将交点坐标代入一次函数解析式即可求出答案．
16. 如图，线段AD为 的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合）， 于点
E， 于点F，若 ， ，则EF的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 ． ．证明四边形 是矩形，推出 ，当 时， 的
值最小．【详解】解：如图，连接 ． ．
， ， 是中线，
， ，
，
于点 ， 于点 ，
，
四边形 是矩形，
，
当 时， 的值最小，即 的值最小，
此时 ，
，
使得最小值为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用
转化的思想思考问题．
17. 已知二次函数 的图象与x轴交于 和 ，其中 ，与y轴交于
正半轴上一点．下列结论：① ；② ；③若点 ， ， 均在二次函
数图像上，则 ；④ ．其中一定正确的结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据与坐标轴的交点判断出①a＜0，根据图象与x轴交于两点判断②，根据对称轴和开口方向即
可判断③，根据抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），分别在y轴两侧，且开口向下，判断出当x＜-2或者x＞m时，函数值y＜0，即可判断④．
【详解】∵抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），且 ，
∴抛物线图象与x轴的两个交点分别在y轴两侧，
又∵抛物线图象交于y轴正半轴，
∴a＜0，故①正确；
∵抛物线图象与x轴交于两点，
∴一元二次方程 有两个不相等的根，
∴ ，
∵a＜0，
∴ ，故②正确；
,
∵图象与x轴交于A（−2 0）和B（m,0），其中2＜m＜4，
令当m=2时，即有B（2,0），此时对称轴为： ，
当m=4时，即有B（4,0），此时对称轴为： ，
∴抛物线的对称轴的范围为： ，
当对称轴接近x=0时，即对称轴离点A更近，有 ，
当对称轴接近x=1时，即对称轴离点B更近，有 ，
∴ 与 的大小不能判断，故③错误；
∵抛物线与x轴的交点有一个为（−2,0），
∴4a−2b＋c＝0，
∴4b＝8a＋2c，
∵抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），且 ，
又∵上述两个交点分别在y轴两侧，且开口向下，∴当x＜−2或者x＞m时，函数值y＜0，
∴当x＝4时，y＜0，
∴16a+4b+c＜0，
∴ ，
∴c+8a＜0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题
的关键，结论④的判断有点难度，根据抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），分别在y轴两侧，且开
口向下，判断出当x＜-2或者x＞m时，函数值y＜0，是关键．
三、解答题（本题共58分，第18-19题，每小题，第20-25题，每小题，第26题6分，第
27-28题，每小题7分）
.
18 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先化简绝对值和二次根式，再加减．
【详解】解：原式 ，
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键．
19. 解方程： .
【答案】 ， .
【解析】
【分析】找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出△=24＞0，再将a，b，c分别代入公式即可解出．
【详解】∵ ， ， ，
∴ .∴ .
∴ ， .
【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找
出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值
代入求根公式即可求出原方程的解．
20. 如图，在 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，延长 至点 ，使
，连接 、 、 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】三角形的中位线平行且等于底边的一半， ，可以求出 与 的关系，即可证
明四边形 是平行四边形．
【详解】证明：∵在 中点 ， 分别是边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，即 ， ，
∵ ， ， ， 共线，
∴ ， ．故四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判断．熟练掌握平行四边形判定方法是解题的关键．
21. 已知点 为二次函数 图像上的点，求代数式 的值．
【答案】25
【解析】
【分析】根据点 为二次函数 图像上的点，得含 的代数式，化简
，即可．
【详解】∵点 在二次函数 图像上
∴
∴
∵
把 代入 得
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点在函数图象，整式的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的性质，整式的加减．
22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的对称轴为 ，且它经过点 ，求该二
次函数的解析式和顶点坐标．
【答案】解析式为 ，顶点坐标为（1，-4）
【解析】
【分析】先根据抛物线对称轴求出b，再利用待定系数法求出c即可求出函数解析式，然后把函数解析式
化为顶点式即可得到答案．【详解】解：∵二次函数 的对称轴为 ，
∴ ，
解得： ．
∵二次函数的图象过点 ．
∴ ，
结合 ，解得： ．
∴二次函数的解析式为 ．
∴二次函数的顶点坐标为（1，-4）
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解
题的关键．
的
23. 已知关于x 一元二次方程 ．
（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值，
【答案】（1）证明见解析
（2）k的值为 或
【解析】
【分析】（1）先计算判别式的值得到 ，然后根据非负数的性质得到△ ，
则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求得 的解为 ， ，然后根据整数的整除
性可确定整数 的值．
【小问1详解】
证明：∵∴不论k为何值，该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：原方程的两根为 ，
即 ，
∵方程的根为整数，k为整数，
∴k的值为 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式，解一元二次方程，
：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，
方程没有实数根．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 在直线 上，过点A的直线 与x轴交于点
．与y轴交于点C．
（1）求直线 的解析式；
（2）已知点P的坐标为 ，过点P的作y轴的垂线与 ， 分别交于点D、E（点D和点E不重合），
当 时，则n的值是_________．
【答案】（1）
（2）2或6【解析】
【分析】（1）先根据 ，确定点A的坐标，再运用待定系数法确定直线 的解析式．
（2）根据P（0，n），结合函数的解析式，分别表示出点D，点E的横坐标，表示出DE的长度，根据
DE=OC=3，建立起绝对值等式，化简计算即可．
【小问1详解】
解：∵点 在直线 上，
∴ ，
解得 ．
设直线 的解析式为：
∵ 过 ， ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ．
【小问2详解】
∵P（0，n）， ， ： ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴DE=| |．
∵点C（0，3），
∴CO=3，
∴DE=OC=3，
∴| |=3，∴ 或 ，
解得n=2或n=6，
故答案为：2或6．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，绝对值的应用，熟练掌握待定系数法，正确理解距离的表示法
是解题的关键．
25. 如图， 中， ，过A点作BC的平行线与 的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，CE，点P是线段BD上的动点，若 ，
，请直接写出 的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 ，有 ，结合BD平分 ，可得 ，即
有 ，则有 ，可证明四边形ABCD是平行四边形，则问题随之得解；
（2）连接AE，AP，PC，PE，过A点作AF⊥BE于点F，根据菱形的性质可得BD是AC的垂直平分线，
即有PA=PC，PC+PE=PA+PE，即当A、P、E三点中线时，PA+PE最小，此时最小长度为线段AE的长，
在Rt△BOC中， ，再证明四边形ADEC是平行四边形，即有 ，
接着证明△BDE是直角三角形，则 ，根据 ，可得，进而求出AF=4，在Rt△ABF中， ，则EF=BE-BF=7，在
Rt△AEF中， ，则问题得解．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵BD平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵ ；
∴四边形ABCD是菱形；
【小问2详解】
连接AE，AP，PC，PE，过A点作AF⊥BE于点F，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD、AC互相平分且垂直，即BD是AC的垂直平分线，
∴PA=PC，AC⊥BD，
∴PC+PE=PA+PE，
显然，当A、P、E三点中线时，PA+PE最小，此时最小长度为线段AE的长，∴PC+PE的最小值为AE的长．
∵ ， ，
∴AB=BC=DC=5， ，
∴在Rt△BOC中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴ ，CE=AD=5，即BE=BC+CE=10，
∵ ，
∴△BDE是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AF⊥BE，
∴ ，
∴ ，即AF=4，
在Rt△ABF中， ，
∴EF=BE-BF=10-3=7，
∴在Rt△AEF中， ．
∵PC+PE的最小值为AE的长，∴PC+PE的最小值为 ，
即PC+PE的最小值为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，利用
，求出AF=4，是解答本题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中， 与 轴交于点 ．
（1）求点 的坐标以及抛物线的对称轴；
（2）抛物线与直线 交于点 ， ，其中
①当 时，求抛物线的表达式；
②当 时，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是
（2）① ，② 或
【解析】
【分析】（1）根据函数与 轴相交，横坐标为 ，代入函数解析式即可求出答案；函数的坐标轴为
，把二次函数的二次项系数、一次项系数代入即可求出二次函数的对称轴．
（2）①抛物线与直线 相交，可求出交点坐标的纵坐标是 ，从而求出交点横坐标 、 的关系，结合 ，即可求出抛物线的表达式；②根据求根公式得出 、 关于系数 的表达式，
的关系，即可求出 的取值范围．
【小问1详解】
解：根据题意得，点 的横坐标为 ，
∴ ，
故点 的坐标是 ，
抛物线 的对称轴为：直线 .
【小问2详解】
①解：根据题意得，坐标点 ， ， ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
解方程组得， ，即 ， ，
将点 ， 代入抛物线得， ，
故抛物线得解析式是 ．
②解：∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 或 ．
故当 时， 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，根据函数与坐标轴的关系找出交点的坐标，根据一元二次方
程根与系数的关系列方程组，利用求根公式即可表示出根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
27. 如图1，点E为正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个动点（不与点E，C
重合），直线DF交直线BC于点G．
（1）如图1，当 时，用等式表示BE，GC之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当 时，
①补全图形；
②用等式表示BE，EC，CG之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①补图见解析；② ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）求出∠BCE＝∠CDG，利用ASA证明 CBE≌△DCG即可得出结论；
（2）①根据题意作出图形即可； △
②如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则 CBE≌△DCT，可得CE＝DT，BE＝CT，然后求出∠G
＝∠TDG，证明TG＝TD＝CE，即可得出结论． △
【小问1详解】
BE＝GC；证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠CBE＝∠DCG＝90°，
∵DG⊥CE，
∴∠ECB＋∠CGD＝90°，∠CGD＋∠CDG＝90°，
∴∠BCE＝∠CDG，
在 CBE和 DCG中， ，
△ △
∴△CBE≌△DCG（ASA），
∴BE＝GC；
【小问2详解】
解：①补全图形如图2所示：
②BE＋EC＝CG；
证明：如图2，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则 CBE≌△DCT，
∴CE＝DT，BE＝CT， △
∵CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∴∠G＋∠FCG＝∠CDT＋∠FDT，
∵∠FCG＝∠CDT，
∴∠G＝∠TDG，
∴GT＝DT＝EC，
∴CG＝GT＋CT＝CE＋BE，
即BE＋EC＝CG．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，对于点 给出如下定义：将点 向右（ ）或向左（ ）平移 个单位长度，再向上（ ）或向下（ ）平移 个单位长度，得到点 ，点
与点 的中点为 ，称点 为点 的关于点 的“平移中点”．已知 ， ，点 为点
的关于点 的“平移中点”．
（1）①若 ， ，则点 的坐标为______；
②若 ，点 的横坐标为 ，则 的值为_____（用含 的代数式表示）．
（2）已知 ，点 在直线 上．
①当点 在 轴上时，点 的坐标为______；
②当点 在第一象限时， 的取值范围是______．
（3）已知正方形 的边长为 ，各边与 轴平行或者垂直，其中心为 ，点 为正方形
上的动点．
①当 时，在点 运动过程中，点 形成的图形的面积是_______；
②当点 在直线 上，在点 运动过程中，若存在点 在正方形 的边上或者内部，
则 的取值范围是_______．【答案】（1）① ；②
（2）① ；②
（3）① ；②
【解析】
【分析】（1）①由定义可求 ，再由中点坐标公式求出点 的坐标即可；
②根据 的横坐标可建立方程 ，从而可求 ；
（2）①求出 ， ，由题意可得 ，求出 即可求解；
②由①可得 ， ，即可求出 的范围；
（3）①求出 ， ，由此可知 点形成的正方形边长为 ，则可求出点 形成的图形的面
积；
②由题意可知 ，则 ， ，再由 ， ，当
时，可得 ，则 时，存在点 在正方形 的边上或者内部；当
时，可得 ，则 时，存在点 在正方形 的边上或者内部，即可
求 的范围．
【小问1详解】
解：①∵ ， ，∴ 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到 ，
∴ 与 的中点 的坐标是 ，即 ．
故答案为： ．
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 的横坐标为 ，
∵点 的横坐标为 ，
∴ ．
故答案为： ．
【小问2详解】
①∵ ，点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在 轴上，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案 为： ．
②∵点 在第一象限，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【小问3详解】
①∵当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为正方形 上的动点，
∴点 运动形成的图形也是正方形，
∵正方形 的边长为 ，
∴点 运动形成的正方形的边长为 ，
∴点 运动形成的图形的面积是 ．
故答案为： ．
②∵点 在直线 上，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵正方形 的边长为 ，各边与 轴平行或者垂直，中心为 ，
又∵点 为正方形 上的动点，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ 时，存在点 在正方形 的边上或者内部，
当 时， ，
∴ 时，存在点 在正方形 的边上或者内部．
综上所述，当 时，存在点 在正方形 的边上或者内部．
故答案为： ．【点睛】本题考查新定义“平移中点”， 点平移的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，中点坐标
公式，象限内点坐标的特点，一元一次不等式组．熟练掌握―次函数图像上点的坐标特征，理解定义，灵
活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键．
