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北京十一学校 2022－2023 学年度第 3 学段常规
初一年级数学课程教与学诊断
考试时间：90分钟 满分：100分
注意事项：
1.本试卷共3页，共三道大题，27道小题．
2.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 5的算术平方根是（ ）
A. B. C. D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意知，5的算术平方根是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根．理解算术平方根的定义是解题的关键．
2. 下列数值中是不等式 的解的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据x的范围，然后再逐一判断即可．
【详解】解：∵不等式 ，
∴ 不是不等式的解， 是不等式的解．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的解，解题的关键是掌握不等式的解的相关知识．
3. 下列多边形中，内角和最大的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
4. 平面直角坐标系中，点 所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据点在第二象限 的坐标特点即可解答．
【详解】解：∵点的横坐标-2＜0，纵坐标5＞0，
∴点 在第二象限．
故选B．
【点睛】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限（+，+）；第二象限
（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5. 有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是
A. 3, 4, 8 B. 5, 6, 11 C. 3, 1, 1 D. 3, 4, 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，
A选项中，3+4=7＜8，不能组成三角形；
第2页/共30页
学科网（北京）股份有限公司B选项中，5+6=11，不能组成三角形；
C选项中，1+1=2＜3，不能够组成三角形；
D选项中，3+4＞6，能组成三角形．
故选D．
【点睛】本题考查能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够
组成三角形．
6. 下列各数中，一定有平方根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根可得这个数不论m取何值，都是非
负数，逐一判断各选项即可得答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 一定有平方根，故A选项符合题意，
当 时， ，
∴ 不一定平方根，故B选项不符合题意，
当 时， ，
∴ 不一定有平方根，故C选项不符合题意，
∵ ，
∴ ，
∴ 一定没有平方根，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查对平方根的理解，熟练掌握正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根是解
题关键．
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学科网（北京）股份有限公司7. 如图， 相交于点O，连接 ．下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质进行求解即可．
【详解】解：由三角形外角的性质可知， ，
，
∴ ，
∴四个选项中只有C选项结论正确，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度
数之和是解题的关键．
8. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点 A，则点
A表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理的公式算出正方形的对角线的长即可解答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：数轴上正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为： ，
则点A表示的数为 ．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查勾股定理、在数轴上表示实数等知识点，熟记勾股定理的公式是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 在实数 、 、0、 中，无理数 ______
是
【答案】 和 ## 和
【解析】
【分析】根据有理数与无理数的定义求解即可．
【详解】解：在实数 、 、0、 中，无理数是 和 ．
故答案为 和 ．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
如π、 、0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
10. 写出五边形的外角和_____．
【答案】360°##360度
【解析】
【分析】根据多边形外角和定理可得．
【详解】解：五边形的外角和是360°．
故答案为：360°．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，解题的关键是熟记多边形的外角和是360°．
11. 若 ，则x的值为______
【答案】2或 ## 或2
【解析】
【分析】根据求平方根的方法解方程即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为：2或 ．
【点睛】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键．
12. 若 是方程 的一个解，则代数式 的值为______
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出 ，然后整体代入计算即可．
【详解】把 代入方程 ，
得 ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做
二元一次方程的解，注意运用整体代入的思想．
13. 在平面直角坐标系 中，点 到y轴的距离为2，则a的值为______
【答案】 或 ##1或5
【解析】
【分析】根据点 到y轴的距离为2得到 ，解得a的值即可．
【详解】解：∵点 到y轴的距离为2，
∴ ，
则 或 ，
解得 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： 或
【点睛】此题考查了点的坐标、一元一次方程等知识，根据题意得到 是解题的关键．
14. 为参加学校的社团巡礼活动，公益社团准备用105元购买水彩笔和签字笔．已知水彩笔和签字笔的单
价分别为5元/盒、7元/盒，则社团购买这两种笔，最多可以买盒______．
【答案】21
【解析】
【分析】设购买水彩笔和签字笔的单价分别为x盒、y盒时购买盒数最多，则 ，再列举x、y
的可能取值，然后求和比较即可解答．
【详解】解：设购买水彩笔和签字笔的单价分别为x盒、y盒时购买盒数最多
则
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
则最多可以买21盒．
故答案为21．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解二元一次方程的解是解答本题的关键．
15. 学校红窗汇是同学们学习成果的展示、交流、分享的平台，去年的红窗汇分为线上和线下两种方式，
同学们申报的摊位分别是 个、 个．其中线下摊位的交易总额比线上的 倍还多 万元，而线上平
均每个摊位的交易额比线下少 万元．设线上、线下摊位的交易总额分别为 、 万元，根据题意可列
方程组为______
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】设线上、线下摊位的交易总额分别为 、 万元，根据题意列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设线上、线下摊位的交易总额分别为 、 万元，
则
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找到等量关系列出方程组是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系 中，直线方程 的图象如图所示，当 时，x的取值范围是
______
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据函数图象只需要找到当函数值小于2时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当 时，x的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了根据一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题
的关键．
三、解答题（本题共68分，第17题5分，第18题10分，第19－22题，每小题5分，第23
题7分，第24、25题，每小题6分，第26、27题，每小题7分）
17. 计算： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先根据立方根、绝对值、算术平方根、乘方的知识化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，掌握立方根、绝对值、算术平方根、乘方等知识点是解答本题的
关键．
18. 解关于x、y的二元一次方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）加减消元法解方程组即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解： ，
得， ，
去括号得， ，
移项合并得， ，
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学科网（北京）股份有限公司系数化为1得， ，
把 代入①得， ，解得， ，
∴二元一次方程组的解为 ．
【小问2详解】
解： ，
得 ，
合并得， ，
系数化为1得， ，
把 代入①得， ，解得， ，
∴二元一次方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于熟练掌握加减消元法并正确的运算．
19. 解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】x≥-3，数轴见解析．
【解析】
【分析】去分母得：3x-6≤4x-3，移项合并得x≥-3，正确在数轴上表示即可．
【详解】解：3x-6≤4x-3
∴x≥-3
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查解一元一次不等式．
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
故所给不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．
21. 已知 ，按要求解答下列问题．
（1）如图1.
①作 边上的高线；
②通过测量、计算得 的面积约为______ ；（结果保留一位小数）
（2）如图2，在正方形网格中，点 、 、 是网格线交点，建立平面直角坐标系 ，使得 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司①补全平面直角坐标系；
②点 在直线 上，若 ，则点 的坐标为______
【答案】（1）①见解析；②
（2）①见解析；② 或
【解析】
【分析】（1）①根据三角形高的定义，画出作 边上的高线；
②通过测量 ，根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（2）①根据已知点的坐标确定原点位置，进而补全坐标系即可求解；
②根据三角形面积公式求得 ，设 ，根据题意列出方程，即可求解．
【小问1详解】
解：①如图所示，线段 即为所求；
②解：通过测量可得
计算得 的面积约为
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
①补全平面直角坐标系如图所示，
②设 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 或
【点睛】本题考查了三角形的高，坐标与图形，熟练掌握三角形高的定义，直角坐标系是解题的关键．
22. 若关于x、y的方程组 ，的解满足不等式 ，求m的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】 得， ，即 ，代入 ，即
，计算求解即可．
【详解】解： ，
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学科网（北京）股份有限公司得， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴m的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式．解题的关键在于整体代入并正确运算．
23. 如图，在 中，点D在 边上，连接 ， ． 是 中 边上的高
线，延长 交 于点F．设 ， ．
（1）当 时， 的度数为______
（2）求 的度数（用含 的式子表示）
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）先根据题意得到 ，再由三角形内角和定理求出 ，则
；
（2）同理求出 ，则由三角形外角的性质得到 ；
（3）先得到 ，再由三角形内角和定理得到 ，即可求出
．
【小问1详解】
解： ， ，
∴ ，
∵ 是 中 边上的高线，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 中 边上的高线，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不
相邻的两个内角的度数之和，三角形内角和为 是解题的关键．
24. 观察下列不等式及其解集的特征：
① 的解集是
② 的解集是
③ 的解集是 ，
……
根据观察得到的规律，解决下列问题．
（1）第5个不等式为______
（2）第n个不等式为______，其解集为______
（3）根据上述规律，解关于x的不等式 （a为正整数）．
【答案】（1）
（2） ，
（3）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据所给不等式，类比出第五个不等式即可解答；
（2）根据所给不等式，归纳出第n个不等式及其解集即可解答；
（3）根据规律运用（2）中的结论求出x的取值范围即可．
【小问1详解】
解：① 的解集是
② 的解集是
③ 的解集是 ，
④ 的解集是 ，
⑤ 的解集是 ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：解：① 的解集是
② 的解集是
③ 的解集是 ，
……
n. 的解集是 ．
故答案为 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
解：
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式、找规律等知识点，根据题意找出不等式的解集规律是解答本
题的规律．
25. 如图，在 中，点 D在 边上，连接 ．设 ．过点 A作 于点 H，
． ． 所 以 ， ． 特 别 地 ， 当 时 ，
根据上述知识解决问题．
在 中，E为 的中点，点F在 上， 与 交于点P．设 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，若 ，则m与n的大小关系为：m______n（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）如图2，若 ，则m、n之间满足的等量关系为______
（3）如图3，若 ， ，求n的值．
【答案】（1）= （2）
（3）9
【解析】
【分析】（1）由题意可得 、 ，进而得到 , ，即
即可解答；
（2）如图：过 E 作 ，再结合中点的定义可得 ，进而得到 ，即
；然后再说明 ，进而说明 ，最后根据
即可解答；
（3）如图：过 E 作 ，结合已知条件可得 ，进而说明
， 然 后 可 得 ， 进 而 根 据 图 形 面 积 可 得
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学科网（北京）股份有限公司，最后根据 代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ,
∴
∴
∴ ，即 ．
故答案为：=．
【小问2详解】
解：如图：过E作
∵E为 的中点，
∴ ,
∵
∴
∴
∵
∴
∴ ，即
∴ ，即
∵ ，即
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴ ，即 ．
故答案为 ．
【小问3详解】
解：如图：过E作
∵E为 的中点，
∴
∵
∴
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵ ．
∴ ，解得： ．
【点睛】本题主要考查了三角形的等分线、平行等分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确
作出辅助线是解答本题的关键．
26. 关于x、y的二元一次方程 的部分解如下表：
－
x … －2 0 1 2 …
1
y … －1 0 1 2 3 …
（1）这个二元一次方程为______
（2）若关于x、y的方程组 的解为正数，求m的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（3）当 时，对于x的每一个值，方程 中的y值记为 ， 中的y值记为 ．
若 ，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 都是方程 ，求得 ，则 ，
由 是一元二次方程即可得到 ，即可得到这个二元一次方程；
（2）解方程组 得 ，由解为正数得到 ，解之即可得到答案；
（3）由题意得到 ， ，则当 时， ，得到 ，则 ，
求得 ，即可得到m的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意可得 都是方程 的解，
∴ ，
即 ，
∴ ，
是
∵ 一元二次方程，
∴ ，
∴这个二元一次方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【小问2详解】
由（1）可知方程组 为 ，
解方程组得 ，
∵解为正数，
∴ ，
解得 ，
即m的取值范围为 ；
【小问3详解】
∵方程 中的y值记为 ，
∴ ，即 ，
∵ 中的y值记为 ．
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
即m的取值范围为 ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法等知识，读懂题意准确计算是解题
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学科网（北京）股份有限公司的关键．
27. 在平面直角坐标系 中，对于点 给出如下定义：将点 向右平移 个单位长度，再向上
平移 个单位长度，得到点 ，称点 为点 的关联点， 为关联距离．
例如，点 与 ，可以看作是将点N向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到
点 ，则点 为点 的关联点，关联距离为5．已知点 ．
（1）在点 ， ， 中，是点 的关联点有______，此时，关联距离为______
（2）点 在线段 上，其中，点 ， ．若点 是点 的关联点，则点 的坐标为
______
（3）在 中，点 ， ， ，若 上有且只有一个点是点 的关联
点，求 的取值范围．
【答案】（1） ，3
（2）
（3） 的取值范围为 或
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据题干中给出的定义判断即可；
（2）先求得直线 的解析式，设点 的坐标为 ，再根据“关联点”的定义列出关于 的
方程，解方程即可；
（3）根据题意可得 是腰长为4，且直角边 在 轴上的等腰直角三角形，在 轴上取一点
，连接 ，画出 与 只有一个交点时的图象，即可得到 的取值范围．
【小问1详解】
解：点 ， ， ， 在平面直角坐标系如图所示，
将点 向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到 ，
点 是点 的关联点，关联距离为3，
故答案为： ，3；
【小问2详解】
解：设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入，
得： ，
解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，
点 是点 的关联点， ，
，
解得： ，
点 的坐标为 ；
【小问3详解】
解： 在 中，点 ， ， ，
， ，
是腰长为4，且直角边 在 轴上的等腰直角三角形，
在 轴上取一点 ，连接 ，
上有且只有一个点是点 的关联点，
与 有且只有一个交点，这个交点不与点 重合，
第27页/共30页
学科网（北京）股份有限公司①如图，当 时，点 与点 重合， 与 有且只有一个交点，
②如图，当 时， 与 有两个交点，
当 时，两个交点中，有一个交点是点 ，则 符合题意；
③如图，当 时， 与 的交点与点 重合，不符合题意，
，
第28页/共30页
学科网（北京）股份有限公司当 或 时， 与 没有交点，
综上所述， 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，新定义，一次函数与一元一次方程，解题的关键是读懂题意，求出特殊
位置时 的值．
第29页/共30页
学科网（北京）股份有限公司第30页/共30页
学科网（北京）股份有限公司
