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房山区 2024-2025 学年度第一学期学业水平调研（二）九年级数学
本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，
在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有
一个是符合题意的．
1. 如图，在 中， ， . 若 ，则 的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
，
，
故选：C ．
2. 将二次函数 化成 的形式，下列结论中正确的是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键，①一般式：
(a，b，c为常数， )；②顶点式： (a，b，c为常数， )；
③交点式： ．
把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的
值不变，把一般式转化为顶点式．
【详解】解： ，
所以， ；
故选B．
3. 如图，在 中， ． 若 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、求角的正弦值，先根据勾股定理计算 ，再根据正弦是
对边与斜边的比，得出答案即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
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∴ ，
∴ ，
故选：A．
4. 如图，点A，B，C在 上，若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．直接根据圆周角定理求解．
【详解】解： ，
．
故选：B．
5. 在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，则下列关系式中正确
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用
反比例函数的性质或反比例函数图像上点的坐标特征解决问题．
结合题意，根据反比例函数的性质，可得反比例函数的图像经过一，三象限，且在每一象限内y随着x的
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增大而减小，再结合点 和 的坐标即可解答．
【详解】解： 反比例函数 ，
反比例函数的图象经过第一、三象限，在第一象限中函数值 随 的增大而减小，
在点 和 中， ，
，即 ，
故答案为：A．
6. 如图，AB是 的直径， 是圆心，弦 于 ， ， ，则 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
利用直径 ，则 ，再由 ，根据垂径定理得 ，然后利
用勾股定理计算出 ，再利用 进行计算即可．
【详解】解：连接 ，如图，
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∵AB是 的直径， ，
∴ ．
∵ ，
∴ CD ．
∵在 中， ， ，
∴ ，
故选B．
7. 已知圆的半径为9，那么 的圆心角所对的弧长是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是正确解决问题的关键．
根据弧长公式计算即可．
【详解】解∶ ，
故选∶D．
8. 如图，抛物线 与x轴交于点 ，(2,0)，且 ，给出下面四个结论：
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① ；② ；③ ；④不等式 的解集为 ．
上述结论中，所有正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题
是解题的关键．
根据函数图象可得出 的符号即可判断①，当 时， 即可判断②；根据对称轴为
可判断③； 数形结合即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在 轴右边，与 轴交于正半轴，
，
∴ ，故①正确．
∵当 时， ，
∴ ，故②错误．
∵抛物线 与 轴交于两点 ，其中 ，
，
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，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
，
∴ ，故③正确；
设 ，如图：
当x=2时， ，
故两个函数交点为 ，
由图得， 时，即 时， ，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
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9. 抛物线 的顶点坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式．根据形如 的抛物线的顶点坐标是 解
答即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ．
故答案为： ．
10. 如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 的度数为______．
【答案】 ##70度
【解析】
【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内
接四边形的性质求出 即可．
【详解】解：∵四边形 是 的内接四边形， ，
∴ ，
故答案为： ．
11. 如图， ， ， 是 的切线， ， ， 为切点，若 ， ，则 的长为
______．
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【答案】3
【解析】
【分析】此题考查切线长定理，由 与 相切于点 、 与 相切于点 ，可得 ，同
理得 ，再由 求得结果．熟练运用切线长定理解决问题是解题的关键．
【详解】解： 与 相切于点 、 与 相切于点 ，
，
，
，
与 相切于点 、 与 相切于点 ，
，
的长为3，
故答案为：3．
12. 如图，AD， 交于点E， ， ， ，则 ______．
【答案】5
【解析】
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明 是解题的关键．
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由 ，证明 ，则 ，而 ，则
，即 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵ ，
，
，
，
，
∴ ，
故答案为：5．
13. 如图，A、B 两点在函数 的图象上， 轴于点 C， 轴于点 D． 若
， 面积分别记为 ， ，则 _______ （填“<”“=”或“＞”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．
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过曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的三角形的面积为常数 的一半．
【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义得，
， ，
．
∴
故答案为： ．
14. 如图，甲、乙两座建筑物间的距离 为 ，甲建筑物的高 为 ，在甲建筑物的顶端 处测
得乙建筑物的顶端 的仰角 为 ，则乙建筑物的高 为_______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用：仰角问题，正确作出辅助线是解题关
键．判断四边形 是矩形，由矩形的性质得 ， ，
，由 的正切函数可求出 的长，进而根据 得出答案即可．
【详解】解：如图延长点 处的水平视线交 于点 ，
∴ ，
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∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知： 和 外一点 ．
求作：过点 的 的切线．
作法：如图，
（1）连接 ；
（2）作线段 的中点 ，以 为圆心，以 为半径作 ，与 交于两点 和 ；
（3）作直线 ， ．
直线 和直线 是 的两条切线．
证明：连接 ， ．
∵ 是 直径，点 在 上，
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∴ ________ ，
又∵点 在 上，
∴直线 是 的切线（ ）（填推理的依据）．
同理可证直线 是 的切线．
【答案】 ①. ②. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定、直径所对圆周角是直角，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
根据作图，直径所对圆周角是直角，得出 ，根据经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
是圆的切线，即可得证直线 是 的切线，据此得出答案即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵ 是 直径，点 在 上，
∴ ，
又∵点 在 上，
∴直线 是 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为： ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
16. 如图， 为 的弦， ， 为圆上的两个动点，记弦 所对的圆心角度数为 ，弦 所对的
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圆心角度数为 ． 若 ，给出如下四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 为弧 的中点，则 ；
④ ．
上述结论中一定正确的有______（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的性质、弧的度数、垂径定理、含 角的直角三角形的性质、勾股定理、等
边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握知识点推理是解题的关键．
根据圆的性质、等边对等角、三角形的内角和定理，表示出 ， ，结合
，即可证明①正确；将 旋转到和 拼合，使得 和 重合，由 ，
得出 ，旋转后点 、 、 在同一直线上， ，求出 ，根据勾股定理
即可证明④正确；根据等边三角形的判定与性质，推出 ，得出 ，根据“
角所对的直角边是斜边的一半”，得出 ，结合勾股定理即可证明②正确；根据弧的中点，
得出 ，则 ，结合垂径定理，推出 时，
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，得出只有当 时，③成立，综合得出答案即可．
【详解】解：∵ ，弦 所对的圆心角度数为 ，弦 所对的圆心角度数为 ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故①正确，
如图，将 旋转到和 拼合，使得 和 重合，
∵ ，若 ，
∴ ，旋转后点 、 、 在同一直线上， ，
解得： ，
∴ ， ，
故④正确，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确，
∵若 为弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴只有当 时，③成立，
故③不正确，
综上所述，一定正确的有①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题
每题7分，共68分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据特殊角三角函数值，计算即可，熟记特殊角三角
函数值是解题的关键．
【详解】解：
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．
18. 如图，在 中， ， 分别为 ， 边上的点， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据公共角 ，已知 ，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，证明
，根据“相似三角形的对应边成比例”，即可得证
【详解】证明：∵ ， 分别为 ， 边上的点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
19. 如图，在 中， ， ， 于点 ，若 ，求 的长．
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【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
先根据正切的定义得出BD的长，再利用 的正切值得出CD的长，再计算 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
20. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称．如图，
已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的 ，折扇张开的角度为 ，求折扇的扇面面积．
（用含a的代数式表示）
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查列代数式，扇形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据图形可知：折扇的扇面面积 大扇形的面积 小扇形的面积，然后代入数据计算即可．
【详解】解：由图可得，折扇的扇面面积为：
．
21. 在平面直角坐标系 中，点 是函数 的图象与函数 的图象的交点．
（1）求 的值和函数 的表达式；
（2）若函数 的值大于函数 的值，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，函数 的表达式为
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质
是解题的关键．
（1）根据交点 ，代入代入函数 ，求出 的值，得出点 的坐标为 ，再把 代入
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，求出 的值，即可得出函数 的表达式；
（2）由（1）得函数 的表达式为 ，联立函数表达式 ，整理得出方程
，求解得出函数 的图象与函数 的图象的交点，画出两函数的图象，根据图象，
函数 的值大于函数 的值，即函数 的图象在函数 的图象上方时，得出 的取值
范围即可．
【小问1详解】
解：∵点 是函数 的图象与函数 的图象的交点，
∴把点 代入函数 得： ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
把 代入 得： ，
∴ ，
∴函数 的表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵由（1）得函数 的表达式为 ，
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∴联立函数表达式得： ，
整理得方程： ，
解得： ， ，
∴ ， ； ， ，
∴函数 的图象与函数 的图象的交点是 和 ，
如图，画出两函数的图象，
∵函数 的值大于函数 的值，
∴ 或 ．
22. 如图， 是 直径， 是 的一条弦，且 于点 ，连接 ， 和 ．
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（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2） 的半径为
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质、等边对等角、垂径定理、同弧所对圆周角相等、解直角三角形、勾股定理，
熟练掌握知识点、数形结合是解题的关键．
（1）根据等边对等角，得出 ，根据同弧所对圆周角相等，得出 ，即可证
明 ；
（2）根据垂径定理、解直角三角形，得出 ， ， ，
设 的 半 径 ， 则 ， ， 根 据 勾 股 定 理 ， 得 出 方 程
，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ 于点 ， ， ，
∴ ， ， ，
设 的半径，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
23. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪 为正方形， ，
顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点 D，A与树顶E在一条直线上，铅垂
线 交 于点H．经测量，点A距地面 ，到树 的距离 ， ．求树
的高度（结果精确到 ）．
【答案】树 的高度为
【解析】
【分析】由题意可知， ， ，易知 ，可得
，进而求得 ，利用 即可求解．
【详解】解：由题意可知， ， ，
则 ，
∴ ，
∵ ， ，
则 ，
∴ ，
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∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
答：树 的高度为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到 是解决问题的关键．
24. 已知二次函数 图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y m 3 4 3 0 …
根据以上信息回答下列问题：
（1）二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ；
（2）求二次函数的表达式；
（3）当 时，二次函数 的最小值是1，则k的值为 ．
【答案】（1） ；0；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的
关键．
（1）由表格数据知，顶点坐标为 ，根据函数的对称性 和 关于抛物线的对称轴对称，故
，即可求解；
（2）由待定系数法即可求解；
（3）当 即 时，则当 时， ，即可求解；当 或
时，同理可解．
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【小问1详解】
解∶由表格数据知，顶点坐标为∶ ，
根据函数的对称性 和 关于抛物线的对称轴对称，故 ，
故答案 ∶为 ，0；
【小问2详解】
解∶设抛物线的表达式为∶ ，
将 代入上式得∶ ，
则 ．
故抛物线的表达式为∶ ；
【小问3详解】
解∶抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，
当 时，同理可得∶ ；
当 时， ，
当 即 时，
则当 时， ，
解得∶ (舍去)；
当 时，
同理可得∶
解得∶ (舍去)；
当 时，
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当 即 ，
则 ．
解得∶ ；
当 时，
同理可得∶ (不合题意的值已舎去)，
综上， 或 ．
故答案为∶ 或 ．
25. 如图， 是 的直径，点 在 上，点 在 的延长线上， ，AD平分
交 于点 ，连结DE．
（1）求证∶CA是 的切线；
（2）当 ， 时，求DE的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】 连结 ，根据圆周角定理可知 ，根据 可知 ，利用
等量代换可得 ，从而可证 ，所以可得CA是 的切线；
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根据相似三角形对应边成比例可得 ，所以可知 ，根据 AD平分 可证
，根据直径所对的圆周角是直角可知 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可
以求出DE的长度．
【小问1详解】
证明∶如下图所示，连结 ，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
【小问2详解】
解∶ ， ，
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，
，
，
，
，
如下图所示，连结BD，
平分 ，
，
，
，
是 的直径，
，
．
【点睛】本题考查了切线 的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质，
解决本题的关键是利用圆的性质找角之间的关系．
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 （ ）上任意两点，
设抛物线的对称轴为 ．
（1）若 ， ，求t的值；
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（2）若对于 ， ，都有 ，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数 的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所
学知识解决问题．
（1）依据题意，将 ， ，代入解析式得 ，从而 ，进而可以得解；
（2）依据题意， 对于 ， ，都有 ，可得点 到对称轴的距离小于点 到
对称轴的距离；分 两种情况，利用二次函数的性质判断即可．
【小问1详解】
解： ， ，
，
，
；
【小问2详解】
解： ，B(x ,y )是抛物线 （ ）上任意两点，
2 2
对于 ， ，都有 ，
点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离；
，
，
，
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，
①当 时，
，
，
， ，
，
；
②当 时，
，
，
，
， ，
，
，
，
综上所述， 或 ．
27. 如图，在等边 中，点 是 边上一点（点 不与 ， 重合） ，连接 ，点
关于直线 的对称点为点 ，连接 交 于点 ，在 上取一点 ，使 ，
延长 交 于点 ．
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（1）若 ，求 的度数（用含 的代数式表示）；
（2）用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出 ， ，由
，推出 ，结合三角形的内角和定理，
，代入得出答案即可；
（2）连接 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，得出 ，根据等边
三角形的性质，得出 ， ，推出 ，利用 证明
， 得 出 ， 根 据 轴 对 称 的 性 质 ， 得 出 ， ，
， ，解直角三角形， ，得
出 ，证明四边形 是平行四边形，得出 ，推出 ，即可得
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出 ．
【小问1详解】
解：∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，理由如下，
如图，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ， ，
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∴ ，
在
和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵点 关于直线 的对称点为点 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、平行四边
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形的判定与性质、轴对称的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
28. 记二次函数 和 的图像分别为抛物线G和 ．给出如下定
义：若抛物线 的顶点 在抛物线G上，则称 是G的伴随抛物线．
（1）若抛物线 和抛物线 都是抛物线 的伴随抛物线，
则 ， ；
（2）设函数 的图像为抛物线 ．若函数 的图像为抛物线 ，且
始终是 的伴随抛物线，
①求p，q的值；
②若抛物线 与x轴有两个不同的交点 ， ，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；② 或
【解析】
【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题
关键．
（1）根据题意确定点 在 的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为： ，然后代入解析式得出 ，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标 在 图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【小问1详解】
解：二次函数 和 都是抛物线 的伴随抛物线，
∴点 在 的伴随抛物线上，
代入得： ，
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解得： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：① ，
∴顶点坐标为： ，
∵函数 的图像为抛物线 ，且 始终是 的伴随抛物线，
，
整理得： ，
．
②∵ 与 轴有两个不同的交点 ，
由①得：函数 的图像为抛物线 ，且 始终是 的伴随抛物线，
∴顶点坐标 在 图像上滑动，顶点为 ，
当 时，
解得： ，
抛物线与x轴交 两个点，
∵ 顶点坐标为： ，
故当 时， 的顶点在 轴上方，则与 轴没有交点，
当 时，抛物线 与 轴有两个交点， ，
当 时，∵ 的顶点 也在 上，
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∴ ．
综上所述， 或 ．
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