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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题24 动点问题
一、选择题
1. （2024四川乐山）如图，在菱形 中， ， ，点P是 边上一个动点，在
延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接 交于点M．当点P从B点运动
到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A. B. C. D.
2.（ 2024四川广元）如图①，在 中， ，点P从点A出发沿A→C→B以1 的速度
匀速运动至点B，图②是点P运动时， 的面积 随时间x（s）变化的函数图象，则该三角
形的斜边 的长为（ ）
A. 5 B. 7 C. D.
3.（ 2024甘肃临夏）如图1，矩形 中， 为其对角线，一动点 从 出发，沿着
的路径行进，过点 作 ，垂足为 ．设点 的运动路程为 ， 为 ， 与 的函数
图象如图2，则 的长为（ ）
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A. B. C. D.
4.（ 2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形 的点A出发，沿边 匀速运动，运动到点C
时停止．设点P的运动路程为x， 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 中点
时， 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
5.（ 2024江苏苏州）如图，矩形 中， ， ，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每
秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂
足为G，则 的最大值为（ ）
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A. B. C. 2 D. 1
6.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰 中， ， ，动点E，F同时从点
A出发，分别沿射线 和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随
之停止运动，连接 ，以 为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正方
形 和等腰 重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1.（ 2024江苏连云港）如图，在 中， ， ， ．点P在边 上，过点P
作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F．连接 ，取 的中点E．在点P从点A
到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．
2.（ 2024江西省）如图， 是 的直径， ，点C在线段 上运动，过点C的弦 ，
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将 沿 翻折交直线 于点F，当 的长为正整数时，线段 的长为______．
3.（ 2024四川凉山）如图， 的圆心为 ，半径为 ， 是直线 上的一个动点，过点
作 的切线，切点为 ，则 的最小值为______
4.（ 2024黑龙江绥化）如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射线 、点 为
射线 上的两个动点，当 的周长最小时，则 ______．
三、解答题
1.（ 2024甘肃临夏）如图1，在矩形 中，点 为 边上不与端点重合的一动点，点 是对角线
上一点，连接 ， 交于点 ，且 ．
【模型建立】
（1）求证： ；
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【模型应用】
（2）若 ， ， ，求 的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形 是正方形， ，求 的值．
2.（ 2024河北省）已知 的半径为3，弦 ， 中， ．
在平面上，先将 和 按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在 上，点C在 内），随
后移动 ，使点B在弦 上移动，点A始终在 上随之移动，设 ．
（1）当点B与点N重合时，求劣弧 的长；
（2）当 时，如图2，求点B到 的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到 的距离为d．
①当点A在劣弧 上，且过点A的切线与 垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
3. （2024江苏苏州） 如图， 中， ， ， ， ，反比例函数
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的图象与 交于点 ，与 交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数 图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过
点P作 ，交y轴于点M，过点P作 轴，交 于点N，连接 ，求 面积的
最大值，并求出此时点P的坐标．
4.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴交于
点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为点
，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线
于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
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（2）点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当 时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
，则 的最小值为______．
5.（ 2024吉林省）如图，在 中， ， ， ， 是 的角平分线．
动点P从点A出发，以 的速度沿折线 向终点B运动．过点P作 ，交
于点Q，以 为边作等边三角形 ，且点C，E在 同侧，设点P的运动时间为 ，
与 重合部分图形的面积为 ．
（1）当点P在线段 上运动时，判断 的形状（不必证明），并直接写出 的长（用含t的代
数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
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6.（ 2024山东威海）如图，在菱形 中， ， ， 为对角线 上一动点，
以 为一边作 ， 交射线 于点 ，连接 ．点 从点 出发，沿 方
向以每秒 的速度运动至点 处停止．设 的面积为 ，点 的运动时间为 秒．
（1）求证： ；
（2）求 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（3）求 为何值时，线段 的长度最短．
7. （2024天津市）将一个平行四边形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，
点 在第一象限，且 ．
（1）填空：如图①，点 的坐标为______，点 的坐标为______；
（2）若 为 轴的正半轴上一动点，过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应
点 落在 轴的正半轴上，点 的对应点为 ．设 ．
①如图②，若直线 与边 相交于点 ，当折叠后四边形 与 重叠部分为五边形时，
与 相交于点 ．试用含有 的式子表示线段 的长，并直接写出 的取值范围；
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②设折叠后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
8. （2024四川德阳）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，求 的函数值的取值范围；
（3）将拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求
的最小值．
9.（ 2024四川南充）如图，正方形 边长为 ，点E为对角线 上一点， ，点P在
边上以 的速度由点A向点B运动，同时点Q在 边上以 的速度由点C向点B运
动，设运动时间为t秒（ ）．
（1）求证： ．
（2）当 是直角三角形时，求t的值．
（3）连接 ，当 时，求 的面积．
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