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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题25 解直角三角形（含勾股定理）及其应用
一、选择题
1. （2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦
图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这
四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
2. （2024甘肃临夏）如图，在 中， ， ，则 的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
3.（ 2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，
，其中点 ， ， 都在格点上，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
4.（ 2024四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 的高度，在建筑物旁边有一高度为
10米的小楼房 ，小李同学在小楼房楼底 处测得 处的仰角为 ，在小楼房楼顶 处测得 处
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的仰角为 ．（ 在同一平面内， 在同一水平面上），则建筑物 的高为（ ）米
A. 20 B. 15 C. 12 D.
5.（ 2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角为 ，小军
在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（ ）（参考数
据： ， ， ）
A. B. C. D.
6. （2024安徽省）如图，在 中， ，点 在 的延长线上，且 ，则
的长是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
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1.（ 2024深圳）如图，在 中， ， ，D 为上一点，且满足 ，过D
作 交 延长线于点E，则 ________．
2.（ 2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树 的高度．如图，点C处与古树底
部A处在同一水平面上，且 米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为
，古树底部A的俯角为 ，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：
， ， ）．
3. （2024江西省）将图 所示的七巧板，拼成图 所示的四边形 ，连接 ，则
______．
4.（ 2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面 的点P处，
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测得教学楼底端点A的俯角为 ，再将无人机沿教学楼方向水平飞行 至点Q处，测得教学楼
顶端点 B 的俯角为 ，则教学楼 的高度约为________m．（精确到 ，参考数据：
， ， ）
5. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点 测得该楼顶部点
的仰角为 ，测得底部点 的俯角为 ，点 与楼 的水平距离 ，则这栋楼的高
度为______m（结果保留根号）．
6.（ 2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践
活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水
平地面 的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为 ，底端B的俯角为 ，则测得黄鹤楼的高度是
__________m．（参考数据： ）
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7. （2024四川达州）如图，在 中， ．点 在线段 上， ．若
， ，则 的面积是______．
8.（ 2024四川眉山）如图，斜坡 的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 ，当太阳
光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子 长为10米，则大树 的高为______米．
三、解答题
1.（ 2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独
特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在
学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度 的实践活动． 为乾元塔的顶端，
，点 ， 在点 的正东方向，在 点用高度为1.6米的测角仪（即 米）测得 点
仰角为 ，向西平移14.5米至点 ，测得 点仰角为 ，请根据测量数据，求乾元塔的高度 ．
（结果保留整数，参考数据： ， ， ）
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2.（ 2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳
中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，
“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高
度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒 垂直于地面，测角仪 ， 在 两侧，
，点C与点E相距 （ 点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的
仰角为 ，在F处测得筒尖顶点A的仰角为 ．求风电塔筒 的高度．（参考数据： ，
， ．）
3.（ 2024河北省）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰
好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 ，仰角为 ；淇淇向前走了 后到达点D，
透过点P恰好看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离
，点P到 的距离 ， 的延长线交 于点E．（注：图中所有点均
在同一平面）
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（1）求 的大小及 的值；
（2）求 的长及 的值．
4. （ 2024河南省）如图1，塑像 在底座 上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线
时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，
B两点的圆与水平视线 相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视
角．
（1）请仅就图2的情形证明 ．
（2）经测量，最大视角 为 ，在点P处看塑像顶部点A的仰角 为 ，点P到塑像的
水平距离 为 ．求塑像 的高（结果精确到 ．参考数据： ）．
5. （2024江苏苏州） 图①是某种可调节支撑架， 为水平固定杆，竖直固定杆 ，活动杆
可绕点A旋转， 为液压可伸缩支撑杆，已知 ， ， ．
（1）如图②，当活动杆 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）；
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（2）如图③，当活动杆 绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度 ，且 （ 为锐角），求
此时可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）．
6. （2024山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是
测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测 量
竹竿，米尺
工具
说明： 是一根笔直的竹竿．点
测 量
是竹竿上一点．线段 的长度是
示 意
点 到地面的距离． 是要测量
图
的倾斜角．
测 量
数据
…… ……
（1）设 ， ， ， ， ， ， ， ，请根据表中的
测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”
一栏．
（2）根据（ ）中选择的数据，写出求 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设 ， ， ，根据（ ）中的推导结果，利用计算器求出 的
度数，你选择的按键顺序为________．
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7.（ 2024天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②，点 依次在同一条水平直线上， ，
垂足为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ，测得桥塔底部 的俯角（ ）为 ，
又在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ．
（1）求线段 的长（结果取整数）；
（2）求桥塔 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
8.（ 2024重庆市B）如图， ， ， ， 分别是某公园四个景点， 在 的正东方向， 在 的正北方
向，且在 的北偏西 方向， 在 的北偏东 方向，且在 的北偏西 方向， 千米．
（参考数据： ， ， ）
（1）求 的长度（结果精确到 千米）；
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（2）甲、乙两人从景点 出发去景点 ，甲选择的路线为： ，乙选择的路线为： ．
请计算说明谁选择的路线较近？
9.（ 2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千
有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10
尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的
地方 ，两次位置的高度差 ．根据上述条件能否求出秋千绳索 的长度？如果能，请用含
α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
10.（ 2024四川凉山）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展． 年 月 日位于西昌主城区东
部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结
构阁楼式塔楼，建筑面积为 平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（ ）堵坡造型．某校为
了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（ ）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站
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在如图所示的怀远塔前的平地上 点处，测得塔顶 的仰角为 ，眼睛 距离地面 ，向塔前行
，到达点 处，测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ．（参考数据： ，结
果精确到 ）
11.（ 2024四川泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔
船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西 方向上，再沿北偏东 方向继续
航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西 方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D
间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
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