文档内容
2025 届高中毕业班五校联考模拟检测
高三数学
2024.11
本试卷共19题 满分150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，
超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选
择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知函数 ，则 的大小关系是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可比较大小.
【详解】由 得函数 为偶函数，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
即 .
故选：B．
2. 已知函数 有唯一零点，则 （ ）A. B. -2 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得 ，所以 图象关于 对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.
【详解】因为函数 ，
所以 ，
所以 的图象直线关于 对称，函数 有唯一零点，则必有 ，
即 ，解得 .
故选：B
【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于难题.
3. 正项等比数列 中， 是方程 的两根，则 的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由韦达定理、等比数列性质以及对数运算即可得解.
【详解】由题意得 ，
所以 .
故选：A.
4. 设全集是 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
化简集合 ，按补集和交集定义，即可求解.
【详解】 ， ，
， .
故选:B.
【点睛】本题考查函数的定义域、集合间的运算，属于基础题.
5. 下列关系中，正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合与集合的基本关系判断.
【详解】A.空集是任何非空集合的真子集，故正确；
B. 的元素为 ， 的元素为 ，故错误；
为
C. 因 ，故错误；
D. 因为 ，故错误
故选：A
6. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由 得到 或 ，再利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】由 可得 ，所以 ，或 ，
所以“ ”等价于“ ，或 ”，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：C.
7. 若函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义解出函数 的解析式，进而求出 即可.
【详解】由题意知，函数 图象过点 ，
所以 ，即 ，则 ，得 ，
所以 ，有 .
故选：B
8. 设 是奇函数，且当 时， ， 则当 时，
等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：当 时 ，由函数为奇函数可得
故选：C
考点：奇偶性求函数解析式
二、多选题
9. 已知 ， ，且 ，则（ ）A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用已知 ，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如
， ，当然也可以用均值不等式求最值，如
， .
【详解】选项A：因为 ， ， ，所以 ，所以 ，故A正确．
选项B： ，当且仅当 时取等号，（利
用基本不等式时注意取等号的条件）,故B正确．
选项C： ，所以 ，当且仅当 时
取等号，故C错误．
选项D： ，
当且仅当 时取等号，（另解： ，当且仅当 时取等号）,故D
正确．
故选:ABD.
的
10. 如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成 直角梯形，AD＝1，，现将 沿斜边AC翻折成 （ 不在平面ABC内），若P为BC的中点，则
在 翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A. 与BC可能垂直
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 若A，C，E， 都在同一球面上，则该球的表面积是
D. 直线 与EP所成角的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A选项：根据线面垂直的判断定理，由 ，当 时， 平面 ，
则 ；
对于B选项：取 的中点 ，连接 ，根据 ，则平面 平面 时，
三棱锥 体积的最大值，从而可判断；
对于C，根据 ，可得 都在同一球面上，且球的半径为 ，从而可判断；
对于D选项：由 可以看成以 为轴线，以 为平面角的圆锥的母线，即可求得 与 所成角
的取值范围.
【详解】对于A选项：由 ，则 ，当 时，且 ，此时满足平面 ，因此 ，故A正确；
对于B，取 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ，
因为 ，
当平面 平面 时，三棱锥 体积的最大值，
在 中， ，则 ，
此时 ，
所以三棱锥 体积的最大值为 ，故B错误；
对于C，因为 ，
所以 都在同一球面上，且球的半径为 ，
所以该球的表面积是 ，故C正确；
对于D，作 ，
因为 为 的中点，所有 ，
，所以 ，所以 ，所以 ，
可以看成以 为轴线，以 为平面角的圆锥的母线，
所以 与 夹角为 ， 与 夹角为 ，又 不在平面 内，
， ，
所以 与 所成角的取值范围 ，所以D正确，
故选：ACD.
的
11. 已知离散型随机变量X 分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则（ ）
X －1 0 1 2
P a b c
A. a＝ B. b＝ C. c＝ D. P(X＜1)＝
【答案】ABCD
【解析】
【分析】利用分布列的性质、方差与期望关系求参数a、b、c，即可判断各选项的正误.
【详解】由 ，而E(X)＝0，则 ，
由题设有 ，可得 ，故A、B、C正确；
而 ，D正确.
故选：ABCD
三、填空题12. 已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据 是 的充分不必要条件，可得 ，从而可得出答案.
【详解】解：因为 是 的充分不必要条件，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
13. 某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （恒温，单位： ）满足函数关系
，且该食品在 的保鲜时间是16小时.
①食品在 的保鲜时间是 小时；
②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那
么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间__________.（填“是”或“否”）
【答案】① ②是
【解析】
【详解】试题分析：①∵食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位： ）满足函数关系
且该食品在 的保鲜时间是 小时.∴ ，即 ，解得 ，∴，当 时， ，故①该食品在 的保鲜时间是 小时；②到了此日 时，温度
超过 度，此时保鲜时间不超过 小时，故到 时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故答案为是.
考点：1、函数模型的选择与应用；2、分段函数的解析式.
14. 已知方程 表示一个圆，则实数 的取值范围是______．半径 的最
大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先对方程配方形成圆的标准式，进而求出实数 的取值范围即可；再由
，进而求出半径 的最大值即可.
【详解】由题意知： ，所以 ，
所以 的取值范围为 ；
由因为 ，当且仅当 时，
.
故答案为： ； .
四、解答题
15. 化简，求值：
（1） ；
（2）已知 ，求 的值；（3） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】（1）逆用两角和的正弦公式即可求解；
（2）利用两角和的正切公式即可求解；
（3）逆用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）
（2） ，
（3）
16. （1）已知 ， 在第二象限，求 ， 的值；
（2）已知 ，求 的值；
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的基本关系式即得；
（2）弦化切即可.
【详解】（1）∵ ， 在第二象限，∴ ， ；
（2）由 ，
所以 .
17. 已知
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接通过诱导公式化简即可；
（2）通过二次齐次式的化简即可得结果.
【小问1详解】
【小问2详解】
由（1）易得 ，
所以18. （1）设 化简 ；
（2）求值： ；
（3）设 求 的最大值与最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）1；（3）最大值 ，最小值6.
【解析】
【分析】（1）先求 ，对m，n讨论，求出A；
（2）利用 ，分别对 化简、求值；
（3）把 化简为 ，换元后利用 在 上的单调性
求出最大值和最小值.
【详解】（1）因为 ，
所以
故，当 时， ，
当 时，
(2） ，
同理
∴
即 =1(3)
由 解得
令 ，
∴ 在 上单增，
∴当t=0时， 当 时，
∴ 的最大值 ，最小值6.
【点睛】指对数混合运算技巧：
(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质；
(2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质.
19. 已知圆 ，圆 ，动圆P与圆 内切，与圆 外切，动圆圆心
P的运动轨迹记为C；
（1）求C方程；
（2）若 ，直线 过圆 的圆心且与曲线C交于A，B两点，求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由圆与圆的位置关系得出 点轨迹是椭圆，求出 后可得轨迹方程；
（2）设A(x ,y )，B(x ,y )，设直线 方程为 ，代入椭圆方程应用韦达定理得 ，
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由 求出面积化为 的函数，用换元法求得最大值．
【小问1详解】
设动圆P的半径为 ，∵动圆P与圆内切，与圆 外切，
∴ ，且 .
于是 ，
所以动圆圆心 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆.
圆 与 内切于点 ，因此 点与点 不重合， ，
从而 ，所以 .故动圆圆心 的轨迹 的方程为 ．
【小问2详解】
设A(x ,y )，B(x ,y )，设直线 方程为 ，
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联立方程组 整理得 ，
则 ， ， ．
因为 过点 ，所以
．令 ， ， ，
设 ，则 ，即 ，所以 在
上单调递增，
则当 时， ，则 的最大值为3．
故 面积的最大值为3．【点睛】方法点睛：椭圆中最值问题，一般设交点坐标为 ，设出直线方程为
（或 ），代入椭圆方程应用韦达定理得 （或 ）然后用两交点坐标表示
出要求最值的量，如本题中三角形面积，转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关
系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得最值．
