文档内容
2023 届高三第一次大质量监测
数 学
2022.09
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码
横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|()x≤3}，则M∩N＝
A．[－4，－1] B．[－4，3) C．[－1，3) D．[－1，3]
2．已知b＞0，则“a＞b＋1”是“＞＋1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数f(x)＝的部分图象大致为4．在△ABC中，内角A，B，c所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解
的是
A．a＝5，b＝4，A＝ B．a＝4，b＝5，A＝
C．a＝5，b＝4，A＝ D．a＝4，b＝5，A＝
5．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄
金分割率的值也可以用2sin18°表示，即＝2sin18°．记m＝2sin18°，则＝
A．－ B．－2 C． D．
6．已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝
A．－3 B．3 C．－3或1 D．3或1
7．设a＝，b＝ln，c＝sin，则
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l(l＜r)．为了方便观光，
欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x－，扇形OAB的面
积记为S，则的值约为
A．－ B．－
C．－ D．－
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 在 每 小
题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错
的得0分。
9．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，则下列不等式中一定成立的是
A．ab≤ B．＋≥
C．2a＋2b≥2 D．≥8
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则
A．ω＝2
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)＝2cos(2x－)
D．f(x)在[－，－]上的值域为[－2，1]11．对于定义域为[0，＋∞)的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①∀x∈[0，＋∞)，
f(x)≥0；②∀x≥0，y≥0，f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，则称函数f(x)为“H函数”．下列结论正确
的是
A．若f(x)为“H函数”，则其图象恒过定点(0，0)
B．函数在[0，＋∞)上是“H函数”
C．函数f(x)＝[x]在[0，＋∞)上是“H函数”([x]表示不大于x的最大整数)
D．若f(x)为“H函数”，则f(x)一定是[0，＋∞)上的增函数
12．已知x，x 分别是函数f(x)＝ex＋x－2和g(x)＝lnx＋x－2的零点，则
1 2
A．x＋x＝2 B．e＋lnx＝2
1 2 2
C．xx＞ D．x2＋x2＜3
1 2 1 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若sin(α＋)＝，则tanα＋＝ ．
14．已知△ABC 的面积为 2，AB＝2，AC＝4，则△ABC 的中线 AD 长的一个值为
．
15．某容量为V万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质
变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗．假设每天流进和流出的水均为
r万立方米，下雨和蒸发正好平衡．用函数 g(t)表示经过t天后的湖水污染质量分数，
已知g(t)＝g(0)e，其中g(0)表示初始湖水污染质量分数．如果V＝200，r＝4，要使湖
水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，至少需要经过 天．
(参考数据：ln10≈2.303)
16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′(－x)＞2f(x)，且f(3)＝0，则不等
式f(x)＞0的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知数列{a}满足a＝，a＝1，2a －a＝a ．
n 1 2 n＋2 n n＋1
(1)证明：数列{a －a}是等比数列；
n＋1 n
(2)求数列{a}的通项公式．
n18．(12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若C＝2A，a＝2，b＝3，求c；
(2)若a2＋b2＝c2，求证：3tanA＝2tanC．
19．(12分)
如图，在三棱柱ABC－ABC 中，侧面AAC C⊥底面ABC，侧面AAC C是菱形，∠AAC
1 1 1 1 1 1 1 1
＝60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．
(1)若D为AC的中点，求证：AD⊥AB；
1 1
(2)求二面角A－AC－B 的正弦值．
1 120．(12分)
某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制(一方先胜三局即获胜，比赛结束)，比
赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方
积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人
比赛，甲每局获胜的概率为．
(1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；
(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率．
21．(12分)
已知A′，A分别是椭圆C：(a＞b＞0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．
点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－．
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k ，
1
k，求证：kk 为定值．
2 1 222．(12分)
设函数f(x)＝xlnx，g(x)＝．
(1)若直线y＝x＋b是曲线f(x)的一条切线，求b的值；
(2)证明：①当0＜x＜1时，g(x)f(x)＞x(x－1)；
②∀x＞0，g(x)－f(x)＜．(e是自然对数的底数，e≈2.718)草稿纸下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君
