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2023届高考数学三轮冲刺卷：空间向量的坐标运算
一、选择题（共20小题；）
8
1. 若向量 ⃗a=(1,λ,2)，⃗b=(2,−1,2)，且 ⃗a 与 ⃗b 的夹角余弦为 ，则 λ 等于 ()
9
2 2
A. 2 B. −2 C. −2或 D. 2或−
55 55
2. 设点 M 是 z 轴上一点，且点 M 到 A(1,0,2) 与点 B(1,−3,1) 的距离相等，则点 M 的坐
标是 ()
A. (−3,−3,0) B. (0,0,−3)
C. (0,−3,−3) D. (0,0,3)
3. 已知平面 α 内有一个点 M(1,−1,2)，平面 α 的一个法向量是 ⃗n=(6,−3,6)，则下列点 P 中
在平面 α 内的是 ()
A. P(2,3,3) B. P(−2,0,1) C. P(−4,4,0) D. P(3,−3,4)
4. 已知向量 ⃗a=(1,0,−1)， 则下列向量中与 ⃗a 成 60∘ 夹角的是 ()
A. (−1,1,0) B. (1,−1,0) C. (0,−1,1) D. (−1,0,1)
5. 正方形 ABCD 的边长为 1，PA⊥ 平面 ABCD，PA=1，M 、 N 分别是 PD 、 PB 的
中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 ()
√3 √3 √3 2√3
A. B. − C. D.
6 6 3 3
6. 已知 ⃗a=(2,0,3)，⃗b=(4,−2,1)，⃗c=(−2,x,2)，若 (⃗a−⃗b)⊥⃗c，则 x= ()
A. 4 B. −4 C. 2 D. −2
7. 已知向量 ⃗a=(2,4,x)，⃗b=(2,y,2)，若 ∣⃗a∣=6，⃗a⊥⃗b，则 x+ y 的值是 ()
A. −3 或 1 B. 3 或 −1 C. −3 D. 1
8. 设平面 α 的法向量为 (1,2,−2)，平面 β 的法向量为 (−2,−4,k)，若 α∥β，则 k= ()
A. 2 B. −4 C. 4 D. −2
9. 已知向量 ⃗a=(1,1,0)，⃗b=(−1,0,2) 且 k⃗a+⃗b 与 2⃗a−⃗b 互相垂直，则 k= ()
1 3 7
A. 1 B. C. D.
5 5 5
10. 已知 ⃗a=(1−t,1−t,t),⃗b=(2,t,t)，则 ∣⃗b−⃗a∣ 的最小值是 ()
√5 √55 3√5 11
A. B. C. D.
5 5 5 5
11. 棱长为 1 的正方体 ABCD−A B C D 中，⃗AB ⋅⃗BC 的值为 ()
1 1 1 1 1 1
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
12. 已知 ⃗a=(0,−1,1)，⃗b=(1,2,−1)，则 ⃗a 与 ⃗b 的夹角等于 ()
A. 90∘ B. 30∘ C. 60∘ D. 150∘13. 平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n≥3) 维向量，n 维向量
可用 x ，x ，x ，⋯，x 表示，设 ⃗a=(a ,a ,a ,⋯,a )，⃗b=(b ,b ,b ,⋯,b ) 规定向量
1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n
n
∑a b
i i
⃗a 与 ⃗b 夹角 θ 的余弦
cosθ= i=1
．⃗a=(1,1,1,1)，⃗b=(−1,1,1,1) 时，cosθ=
√ n n
( )( )
∑a2 ∑b2
i i
i=1 i=1
()
1 1
A. − B. 1 C. 2 D.
2 2
14. 已知三点 A(−1,0,1) ， B(2,4,3) ， C(5,8,5) ，则 ()
A. 三点构成等腰三角形 B. 三点构成直角三角形
C. 三点构成等腰直角三角形 D. 三点构不成三角形
15. 已知 ⃗a=(2,−1,3)，⃗b=(−1,4,−2)，⃗c=(7,5,λ)，若 ⃗a，⃗b，⃗c 三向量共面，则实数 λ 等于
()
62 63 64 65
A. B. C. D.
7 7 7 7
16. 已知 ⃗a=(1,2,−y)，⃗b=(x,1,2)，且 (⃗a+2⃗b)∥(2⃗a−⃗b)，则 ()
1 1 1
A. x= ，y=1 B. x= ，y=−4 C. x=2，y=− D. x=1，y=−1
3 2 4
17. 设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，若平面 α，β 的法向量分别为 ⃗n 和 ⃗n ，则 cosθ= ()
1 2
⃗n ⋅⃗n ∣⃗n ⋅⃗n ∣
1 2 1 2
A. B.
∣⃗n ∣∣⃗n ∣ ∣⃗n ∣∣⃗n ∣
1 2 1 2
∣⃗n ∣∣⃗n ∣ ∣⃗n ∣∣⃗n ∣
1 2 1 2
C. D.
⃗n ⋅⃗n ∣⃗n ⋅⃗n ∣
1 2 1 2
1
18. 如果 sinα+cosα=− ，且 0<α<π，那么 tanα 的值为 ()
5
4 4 3 3 3
A. − B. − 或 − C. − D.
3 3 4 4 4
19. 已知 ⃗a=(1−t,1−t,t)，⃗b=(2,t,t)，则 ∣⃗b−⃗a∣ 的最小值是 ()
√5 √55 3√5 11
A. B. C. D.
5 5 5 5
20. 已知 ⃗AB=(1,5,−2)，⃗BC=(3,1,z)．若 ⃗AB⊥⃗BC，⃗BP=(x−1,y,−3)，且 BP⊥ 平面
ABC，则 ⃗BP= ()
(40 15 ) (40 15 )
A. ,− ,−4 B. ,− ,−3
7 7 7 7(33 15 ) (33 15 )
C. ,− ,4 D. ,− ,−3
7 7 7 7
二、填空题（共5小题；）
21. 已知向量 ⃗a=(2,−3,0) ， ⃗b=(k,0,3) ，若 ⃗a 与 ⃗b 成 120∘ 角，则 k= ．
22. 已 知 向 量 ⃗a=(0,−1,1)， ⃗b=(4,1,0)， ∣λ⃗a+⃗b∣=√29， 且 λ>0， 则 λ=
．
23. 已知向量 ⃗a=(1,1,0) ， ⃗b=(−1,0,2) ，且 k⃗a+⃗b 与 2⃗a−⃗b 互相垂直，则 k 的值是
．
24. 已知点 A(1,−2,11)，B(4,2,3)，C(6,−1,4)，则 △ABC 的形状是 ．
25. 设空间向量 ⃗OA=(m,n,0)，⃗OB=(0,n,p) 均为单位向量，且与向量 ⃗OC=(1,1,1) 的夹角都
π
等于 ，则 cos∠AOB= ．
4
三、解答题（共5小题；）
26. 已知 ⃗a=(2,−1,3)，⃗b=(−4,2,x) ，且 ⃗a⊥⃗b ，求 x 的值.
27. 已知 A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， C(0,0,2) ，求满足 DB∥AC ， DC∥AB 的点 D
的坐标．
28. 已知空间三点 A(1,0,0)，B(3,1,1) 和 C(2,0,1)．求 △ABC 中 ∠ABC 的内角平分线所在
直线的方向向量．
29. 若向量 ⃗a=(3,2,−4)，⃗b=(1,−3,2)，⃗c=(−2,−1,3)．求 ∣⃗a+⃗b+⃗c∣，(2⃗a−3⃗b)⋅(⃗a+2⃗b)，
cos⟨⃗a+⃗b,⃗c⟩．
30. 已知四边形 ABCD 为平行四边形，点 A 的坐标为 (−1,2)，点 C 在第二象限，⃗AB=(2,2)，
π
且 ⃗AB 与 ⃗AC 的夹角为 ，⃗AB⋅⃗AC=2．
4
（1）求点 D 的坐标；
（2）当 m 为何值时，⃗AC+m⃗AB 与 ⃗BC 垂直．答案
1. C 【解析】因为
⃗a⋅⃗b 6−λ 8
cos⟨⃗a,⃗b⟩= = = ,
∣⃗a∣∣⃗b∣ 3√λ2+5 9
2
所以 λ=−2或 ．
55
2. B
3. A
4. B
5. A
6. B
7. A
8. C 【解析】设平面 α 的法向量 ⃗a=(1,2,−2)，平面 β 的法向量 ⃗b=(−2,−4,k)，∵α∥β，
∴⃗a∥⃗b，∴k=4．
9. D
10. C
【解析】提示：∣⃗b−⃗a∣= √ 5 ( t− 1) 2 + 9 ．
5 5
11. A 【解析】如图所示：⃗AB ⋅⃗BC =⃗AB ⋅⃗AD =1．
1 1 1 1
⃗a⋅⃗b −3 √3
12. D 【解析】cosθ= = =− ，故 θ=150∘．
∣⃗a∣⋅∣⃗b∣ √2⋅√6 2
13. D
14. D
15. D
33
{
2m−n=7, {m= ,
7
【解析】因为 ⃗c，⃗b，⃗c 三向量共面，所以有 ⃗c=m⃗a+n⃗b，即 −m+4n=5, 解得 所以
17
3m−2n=λ, n= ,
7
65
λ= ．
7
16. B17. B
1 24
18. C 【解析】因为 sinα+cosα=− ，所以 2sinαcosα=− <0．
5 25
(π )
又因为 0<α<π，所以 sinα>0，cosα<0，即 α∈ ,π ，
2
√ 24 7
所以 sinα−cosα=√1−2sinαcosα= 1+ = ．
25 5
1
{sinα+cosα=− ,
5
由
7
sinα−cosα= ,
5
3
{ sinα= ,
5
解得
4
cosα=− ,
5
sinα 3
所以 tanα= =− ．
cosα 4
19. C 【解析】⃗b−⃗a=(1+t,2t−1,0)．
所以 ∣⃗b−⃗a∣=√(1+t) 2+(2t−1) 2+02= √ 5 ( t− 1) 2 + 9 ．
5 5
1 3√5
所以当 t= 时，∣⃗b−⃗a∣ = ．
5 min 5
20. D
【解析】由 ⃗AB⊥⃗BC 得 z=4，因为 BP⊥ 平面 ABC，所以 ⃗BP⋅⃗AB=0，⃗BP⋅⃗BC=0，解得
15 40 (33 15 )
y=− ，x= ，所以向量 ⃗BP= ,− ,−3 ．
7 7 7 7
21. −√39
22. 3
7
23.
5
24. 直角三角形
【解析】因为 A(1,−2,11)，B(4,2,3)，C(6,−1,4)．
所以 ⃗AC=(5,1,−7)，⃗BC=(2,−3,1)．
因为 ⃗AC⋅⃗BC=0．
所以 ⃗AC⊥⃗BC．
所以 △ABC 为直角三角形．2±√3
25.
4
26. 由 ⃗a⊥⃗b 得，即 ⃗a⋅⃗b=0，−8−2+3x=0 ，
10
所以 x= .
3
27. 设 D(x,y,z) ，则
⃗DB=(−x,1−y,−z),⃗AC=(−1,0,2),
⃗DC=(−x,−y,2−z),⃗AB=(−1,1,0),
因为 ⃗DB∥⃗AC ，所以
{z=−2x,
y=1.
又因为 ⃗DC∥⃗AB ，故
{x=−y,
z=2.
综上可解得
{x=−1,
y=1,
z=2.
因此点 D 的坐标为 (−1,1,2) ．
28. ⃗d=(√3+1,√3−1,2)．
29. ⃗a+⃗b+⃗c=(2,−2,1)，∣⃗a+⃗b+⃗c∣=3，
2⃗a−3⃗b=(3,13,−14)，⃗a+2⃗b=(5,−4,0)，(2⃗a−3⃗b)⋅(⃗a+2⃗b)=−37．
−13 13√6
⃗a+⃗b=(4,−1,−2)，⃗c=(−2,−1,3)，cos⟨⃗a+⃗b,⃗c⟩= =− ．
√21×√14 42
30. （1） 设 C(x,y)，D(a,b)，则 ⃗AC=(x+1,y−2)．
π
因为 ⃗AB 与 ⃗AC 的夹角为 ，⃗AB⋅⃗AC=2，
4
⃗AB⋅⃗AC 2 √2
= =
所以 ，
∣⃗AB∣∣⃗AC∣ √22+22√(x+1) 2+(y−2) 2 2
即 (x+1) 2+(y−2) 2=1.⋯⋯①
又 ⃗AB⋅⃗AC=2(x+1)+2(y−2)=2，即 x+ y=2.⋯⋯②
{x=−1, {x=0,
联立①②解得 或
y=3 y=2.
又点 C 在第二象限，所以 C(−1,3)．
又 ⃗CD=⃗BA，所以 (a+1,b−3)=(−2,−2)，
解得 a=−3，b=1．所以 D(−3,1)．（2） 由（1）可知 ⃗AC=(0,1)，
所以 ⃗AC+m⃗AB=(2m,2m+1)，⃗BC=⃗AC−⃗AB=(−2,−1)．
因为 ⃗AC+m⃗AB 与 ⃗BC 垂直，
所以 (⃗AC+m⃗AB)⋅⃗BC=−4m−(2m+1)=0，
1
解得 m=− ．
6
