2023届高考数学三轮冲刺卷：空间几何量
一、选择题（共20小题；）
1. 用一平面去截体积为 4√3π 的球，所得截面的面积为 π，则球心到截面的距离为 ()
A. 2 B. √3 C. √2 D. 1
2. 如图，正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 1，E 是 A B 的中点，则点 E 到平面
1 1 1 1 1 1
ABC D 的距离为 ()
1 1
√3 √2 1 √3
A. B. C. D.
2 2 2 3
3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A B C D 中，E，F 分别为棱 A A ，BB 的中点，G 为
1 1 1 1 1 1
棱 A B 上的一点，且 A G=λ(0≤λ≤1)．则点 G 到平面 D EF 的距离为 ()
1 1 1 1
√2 √2λ √5
A. √3 B. C. D.
2 3 5
4. 在正三棱柱 ABC−A B C 中，若 AB=2，A A =1，则点 A 到平面 A BC 的距离为 ()
1 1 1 1 1
√3 √3 3√3
A. B. C. D. √3
4 2 4
5. 用与球心距离为 2 的平面去截球，所得的截面面积为 π，则球的体积为 ()
20π 20√5π 100π
A. B. C. 20√5π D.
3 3 3
6. 已知正四棱柱 ABCD−A B C D 中，AB=2，CC =2√2，E 为 CC 的中点，则直线
1 1 1 1 1 1
AC 到平面 BDE 的距离为 ()
1
A. 2 B. √3 C. √2 D. 1
7. 如图，在长方体 ABCD−A B C D 中，AD=A A =1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，
1 1 1 1 1
则点 E 到平面 ACD 的距离为 ()
11 √2 1 1
A. B. C. D.
2 2 3 6
8. 设正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 2，则点 D 到平面 A BD 的距离是 ()
1 1 1 1 1 1
√3 √2 √3 2√3
A. B. C. D.
2 2 3 3
9. 如图，在三棱柱 ABC−A B C 中，∠ACB=90∘，∠ACC =60∘，∠BCC =45∘，侧棱
1 1 1 1 1
CC 的长为 1，则该三棱柱的高等于 ()
1
1 √2 √3 √3
A. B. C. D.
2 2 2 3
π
10. 已知球 O 的半径为 1 ， A,B,C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球
2
心 O 到平面 ABC 的距离为 ()
1 √3 2 √6
A. B. C. D.
3 3 3 3
11. 长、宽、高分别为 2，√3，√5 的长方体的外接球的表面积为 ()
A. 4π B. 12π C. 24π D. 48π
12. 已知三棱锥 S−ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，
则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是 ()
√3 3√3
A. B. 1 C. √3 D.
3 2
13. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A B C D 中，M,N 分别是棱 A B ,A D 的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1
则点 B 到平面 AMN 的距离为 ()9 4 5
A. B. √3 C. D.
5 3 4
14. 如图，在长方体 ABCD−A B C D 中，A A =AB=2，BC=1，点 P 在侧面 A ABB
1 1 1 1 1 1 1
上．满足到直线 A A 和 CD 的距离相等的点 P ()
1
A. 不存在 B. 恰有 1 个 C. 恰有 2 个 D. 有无数个
15. 在长方体 ABCD−A B C D 中，AB=AD=2，A A =1，则点 B 到平面 D AC 的距离
1 1 1 1 1 1
等于 ()
√3 √6
A. B. C. 1 D. √2
3 3
16. 如图，底面 ABCD 为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点 C 到平面 PAB 的
距离为 d ，点 B 到平面 PAC 的距离为 d ，BC 到平面 PAD 的距离为 d ，则有 ()
1 2 3
A. d <d <d B. d <d <d C. d <d <d D. d <d <d
3 1 2 1 2 3 1 3 2 2 1 3
17. 正方体 ABCD−A B C D 的棱上到异面直线 AB，CC 的距离相等的点的个数为 ()
1 1 1 1 1
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
18. 空间四点 A、B、C、D ，每两点的连线长都等于 a ，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q
在线段 CD 上，则点 P 与 Q 的最小距离为 ()
√3 √2 1
A. a B. a C. a D. a
3 2 2
19. 在正三棱柱 ABC−A B C 中，若 AB=2，A A =1，则点 A 到平面 A BC 的距离为 ()
1 1 1 1 1√3 √3 3√3
A. B. C. D. √3
4 2 4
20. 在正四面体 ABCD 的面上，到棱 AB 以及 C，D 两点的距离都相等的点共有 ()
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题（共5小题；）
21. A，B 两点到平面 α 的距离分别是 3cm，5cm，点 M 是 AB 的中点，则 M 点到平面 α
的距离是 ．
22. 已知长方体 A B C D −ABCD 中，棱 A A =5，AB=12，那么直线 B C 到平面
1 1 1 1 1 1 1
A BCD 的距离是 ．
1 1
23. 在正方形 ABCD−A B C D 中，点 P 为对角线 BD 的一个三等分点，则点 P 到各顶
1 1 1 1 1
点的距离的不同取值有 个．
24. 已知正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 a，异面直线 BD 与 A B 的距离为
1 1 1 1 1 1
．
25. 正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 2，O 是底面 A B C D 的中心，则 O 到平面
1 1 1 1 1 1 1 1
ABC D 的距离为 ．
1 1
三、解答题（共5小题；）
26. （1）如图所示，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，DC=2AB，画出平面 PBC 与平面
PAD 的交线．
（2）在图中，点 E 是 CC 的中点，画出平面 BDE 与平面 A B C D 的交线．
1 1 1 1 11
27. 如图所示，已知圆 O 的直径长度为 4，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD= DB，点 C
3
为圆 O 上一点，且 BC=√3AC．点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D，PD=BD．
（1）求证：CD⊥平面PAB；
（2）求点 D 到平面 PBC 的距离．
28. 如图，正方体 ABCD−A B C D 的边长为 2，M 是 A B 的中点，经过点 M，C，D
1 1 1 1 1 1 1
的平面交 BB 于点 N．
1
（1）证明：N 是 BB 的中点．
1
（2）求直线 A
1
B 到平面 MNCD
1
的距离 ℎ．
29. 在 Rt△ABC 中，两直角边 AC，BC 的长分别为 9，12，PC 垂直于平面 ABC，PC=6，
求点 P 到斜边 AB 的距离．
30. 如图，正三棱柱 ABC−A B C 的所有棱长均为 2，D，E 分别是 BB 和 AB 的中点．
1 1 1 1
（1）证明：AD⊥平面A EC；
1
（2）求点 B 到平面 A EC 的距离．
1 1答案
1. C 【解析】设球半径为 R，截面圆半径为 r，则 R=√3，r=1，∴ d=√R2−r2=√2．
2. B 【解析】提示：因为在正方体 ABCD−A B C D 中，A B ∥ 平面 ABC D ．所以点
1 1 1 1 1 1 1 1
1 √2
E 到平面 ABC D 距离转化为点 B 到平面 ABC D 距离，即 B C= ．
1 1 1 1 1 2 1 2
3. D 【解析】因为 A B ∥EF，G 在 A B 上，所以 G 到平面 D EF 的距离即是 A 到面
1 1 1 1 1 1
1
1×
√5 2 √5
D EF 的距离，即是 A 到 D E 的距离，D E= ，由三角形面积可得所求距离为 = ．
1 1 1 1 2 √5 5
2
4. B 【解析】利用等体积代换法：由 V =V ，可求点 A 到平面 A BC 的距离．
A −ABC A−A BC 1
1 1
5. B
【解析】用平面去截球所得截面的面积为 π，
所以截面圆的半径为 1，
已知球心到该截面的距离为 2，
所以球的半径为 r=√12+22=√5，
4 20√5π
所以球的体积为 V = π×(√5) 3= ．
3 3
6. D 【解析】以 D 为原点，DA，DC，DD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角
1
坐标系（如图），
则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C (0,2,2√2)，E(0,2,√2)，易知
1
AC ∥平面BDE．
1
设 ⃗n=(x,y,z) 是平面 BDE 的法向量，
{⃗n⋅⃗DB=2x+2y=0,
则
⃗n⋅⃗DE=2y+√2z=0.
取 y=1，则 ⃗n=(−1,1,−√2) 为平面 BDE 的一个法向量，
又 ⃗DA=(2,0,0)，∣⃗n⋅⃗DA∣ ∣−1×2+0+0∣
所以点 A 到平面 BDE 的距离是
d= = =1
．
∣⃗n∣ √ (−1) 2+12+(−√2) 2
故直线 AC 到平面 BDE 的距离为 1．
1
7. C 【解析】如图，以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z
1
轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 D (0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．连接 D E，所以 ⃗D E=(1,1,−1)，⃗AC=(−1,2,0)，
1 1 1
{⃗n⋅⃗AC=0, {−a+2b=0,
⃗AD =(−1,0,1)．设平面 ACD 的法向量为 ⃗n=(a,b,c)，则 即 所
1 1 ⃗n⋅⃗AD =0, −a+c=0,
1
{a=2b,
以 令 a=2，则 ⃗n=(2,1,2)．所以点 E 到平面 ACD 的距离为
a=c, 1
∣⃗D E⋅⃗n∣ 2+1−2 1
ℎ = 1 = = ．
∣⃗n∣ 3 3
8. D 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 D(0,0,0)，D (0,0,2)，A (2,0,2)，B(2,2,0)，
1 1
所以 ⃗D A =(2,0,0)，⃗DA =(2,0,2)，⃗DB=(2,2,0)．
1 1 1
设平面 A BD 的法向量为 ⃗n=(x,y,z)，
1
{⃗n⋅⃗DA =2x+2z=0,
则 1
⃗n⋅⃗DB=2x+2y=0.
令 x=1，则 ⃗n=(1,−1,−1)．
∣⃗D A ⋅⃗n∣ 2 2√3
所以点 D 到平面 A BD 的距离 d= 1 1 = = ．
1 1
∣⃗n∣ √3 39. A 【解析】过点 C 作 C O⊥面ABC 于点 O，在过点 O 在面 ABC 内作 OE⊥BC 于
1 1
点 E，OF⊥AC 于点 F，
1
由题可知，在 △C CF 中，∠C FC=90∘，∠C CF=60∘，C C=1，则 CF= ；
1 1 1 1 2
√2
在 △C CE 中，∠C EC=90∘，∠C CE=45∘，则 CE= ；
1 1 1 2
√3 1
由题可知，四边形 CEOF 为矩形，则 CO= ，因此，在 △C OC 中，C O= ．
2 1 1 2
10. B
11. B 【解析】长方体的体对角线即为外接球的直径 2R，
因为长方体的长、宽、高分别为 2，√3，√5，
所以 (2R) 2=22+(√3) 2+(√5) 2=12，R2=3，
所以外接球的表面积为 4πR2=12π．
12. A 【解析】由题意 S 在平面 ABC 内的射影为 AB 的中点 H，
所以 SH⊥平面ABC，
因为 SH=√3，CH=1，
在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO，则 O 为 S−ABC 的外接球球心．
因为 SC=2，
所以 SM=1，∠OSM=30∘，
2√3 √3
所以 SO= ，OH= ，即为 O 到平面 ABC 的距离．
3 3
13. C
14. D
15. B
16. D
17. C 【解析】如图所示，D、E、F、B 四个点满足题意．
118. C
19. B
20. B
【解析】
取 CD 的中点 K，连接 AK 、 BK，因为 AK⊥CD，BK⊥CD，所以 C 、 D 两点关于平面
ABK 对称，
则平面 ABK 上的任意一点到 C 、 D 两点的距离都相等．
分别取棱 AD 、 AC 、 BC 、 BD 的中点 E 、 H 、 G 、 F，连接 EF 、 FG 、 GH 、
HE，则四边形 EFGH 是矩形，此矩形满足到棱 AB 、 CD 的距离相等．设 EH∩AK=N，
FG∩BK=M．由于 AN=NK，BM=MK，则点 M 、 N 满足到棱 AB 以及 C 、 D 两点的
距离都相等．
只有 M 、 N 两点满足条件．
21. 4cm 或 1cm
60
22.
13
【解析】直线 B C 到平面 A BCD 的距离即点 B 到平面 A BCD 的距离，也即点 B 到直
1 1 1 1 1 1 1 1
线 A B 的距离．
1
23. 4
24. a
【解析】因为 BB ⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
1
所以 BB ⊥BD，
1
又 BB ⊥A B ，
1 1 1
所以异面直线 BD 与 A B 之间距离为 BB =a．
1 1 1√2
25.
2
26. （1） 如图延长 CB，DA 交于点 Q，连接 PQ，PQ 即是平面 PBC 与平面 PAD 的交线．
（2） 如图所示，延长 DE，D C 交于点 M，延长 BE，B C 交于点 N，连接
1 1 1 1
MN，MN 即是平面 BDE 与平面 A B C D 的交线．
1 1 1 1
27. （1） 连接 CO，由 3AD=DB 知，点 D 为 AO 的中点．又因为 AB 为圆 O 的直径，
所以 AC⊥CB，
由 BC=√3AC 知，∠CAB=60∘，
所以 △ACO 为等边三角形，从而 CD⊥AO．
因为点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D，
所以 PD⊥平面ABC，
又 CD⊂平面ABC，
所以 PD⊥CD，
又 PD∩AO=D，
所以 CD⊥平面PAB．
（2） 由（1）可知 CD=√3，PD=DB=3．
过点 D 作 DE⊥CB，垂足为 E，连接 PE，
再过点 D 作 DF⊥PE，垂足为 F．
因为 PD⊥平面ABC，
又 CB⊂平面ABC，
所以 PD⊥CB，
又 PD∩DE=D，
所以 CB⊥平面PDE，
又 DF⊂平面PDE，
所以 CB⊥DF．又 CB∩PE=E，
所以 DF⊥平面PBC，
则 DF 为点 D 到平面 PBC 的距离．
3 3√5
在 Rt△DEB 中，DE=DB⋅sin30∘= ，PE=√PD2+DE2= ，
2 2
3
3×
PD⋅DE 2 3√5
在 Rt△PDE 中，DF= = = ，
PE 3√5 5
2
3√5
即点 D 到平面 PBC 的距离为 ．
5
28. （1） 连接 D M 交 C B 延长线于 F，
1 1 1
1
在 △FC D 中，点 M 是 A B 的中点，则 MB ∥D C ，MB = D C ，易知：B 是
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
FC 的中点，
1
所以 FB =B C ，
1 1 1
连接 FC，易知点 F，C，D 共面，
1
即此时点 F，M，N，C，D 共面，
1
则 FC 与 BB 的交点为 N 点，
1
1
又因为：B 是 FC 的中点，FB = FC ，
1 1 1 2 1
1
所以 B N∥C C，B N= C C，则点 N 是 BB 的中点，
1 1 1 2 1 1
得证．
（2） 以 D 为原点 DD ，DA，DC 为坐标轴建系，
1
D (0,0,2)，C(0,2,0)，M(2,1,2)，A(2,0,2)，
1
⃗A D=(−2,0,0)，⃗CD=(0,−2,2)，⃗D M=(2,1,0)，
1 1设面 MNCD 一个法向量 ⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1 1
{ ⃗n ⋅⃗CD=0, {−2y +2z =0,
1 1 1
⃗n ⋅⃗D M=0, 2x + y =0,
1 1 1 1
令 x =1，y =−2，z =−2，
1 1 1
所以 ⃗n =(1,−2,−2)，
1
∣⃗A D⋅⃗n ∣ 2
ℎ = 1 1 = ．
∣⃗n ∣ 3
1
6√61
29. ．
5
30. （1） 以 E 为原点，EB 为 x 轴，EC 为 y 轴，过 E 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空
间直角坐标系，
则 A(−1,0,0)，D(1,0,1)，A (−1,0,2)，E(0,0,0)，C(0,√3,0)，⃗AD=(2,0,1)，⃗E A =(−1,0,2)，
1 1
⃗EC=(0,√3,0)，
因为 ⃗AD⋅⃗EA =−2+2=0，⃗AD⋅⃗EC=0，
1
所以 AD⊥EA ，AD⊥EC，
1
因为 EA ∩EC=E，
1
所以 AD⊥平面A EC．
1
（2） B (1,0,2)，⃗EB =(1,0,2)，
1 1
因为 AD⊥平面A EC，
1
所以平面 A EC 的法向量 ⃗AD=(2,0,1)，
1
∣⃗EB ⋅⃗AD∣
4 4√5
所以点 B 到平面 A EC 的距离 d= 1 = = ．
1 1 ∣⃗AD∣ √5 5
