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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 北京一七一中初一（下）期中
数学
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，4，5 B. 6，8，11 C. 5，12，12 D. 1，1，
【答案】D
【解析】
【详解】解：因为 ，所以选项A错误；
因为 ，所以选项B错误；
因为 ，所以选项C错误；
因为 ，所以选项D正确；
故选D
2. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重
合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重
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合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3. 下列不等式一定成立的是( )．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A、因为5＞4，不等式两边同乘以a，而a≤0时，不等号方向改变，即5a≤4a，故错误；
B、因为2＜3，不等式两边同时加上x，不等号方向不变，即x+2＜x+3正确；
C、因为﹣1＞﹣2，不等式两边同乘以a，当a≤0时，不等号方向改变，即﹣a≤﹣2a，故错误；
D、因为4＞2，不等式两边同除以a，当a≤0时，不等号方向改变，即 ，故错误．
故选B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切
关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数
（或式子），不等号的方向不变，（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ）
A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或22
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用；
分两种情况，结合三角形的三边关系定理进行求解即可．
【详解】解：当等腰三角形的边长为4，4，9时，
∵ ，
∴此情况不符合题意；
当等腰三角形的边长为4，9，9时，能构成三角形，
此时周长为 ，
故选：B．
5. 如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），即可得出答案．
【详解】解：由题意，得-1＜x≤1，
所以这个不等式组的解集为-1＜x≤1.
故选A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．理解不等式在数轴上的表示方法是解题的关键．
6. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【详解】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．
7. 下列从左到右的变形，是分解因式的为( )
A. x2－x=x(x－1) B. a(a－b)=a2－ab
C. (a+3)(a－3)=a2－9 D. x2－2x+1=x(x－2)+1
【答案】A
【解析】
【详解】解：A. x2－x=x(x－1)，是因式分解，符合题意；
B. a(a－b)=a2－ab，是单项式乘多项式，不符合题意；
C. (a+3)(a－3)=a2－9，是乘法公式，不符合题意
D. x2－2x+1=x(x－2)+1，没有变成整式的积，不符合题意；
故选：A．
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8. 不等式组 的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A. m≤4 B. m＜4 C. m≥4 D. m＞4
【答案】A
【解析】
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，
结合不等式组的解集即可得答案．
【详解】解不等式 （x+2）﹣3＞0，得：x＞4，
∵不等式组的解集为x＞4，x>m，
∴m≤4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
9. 如图，将 绕直角顶点C顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，若 ，则
的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解
题的关键．根据旋转的性质可得 ，则 是等腰直角三角形，得出 ，再由旋
转性质和三角形的外角性质可知 ．
【详解】解：∵ 绕直角顶点 顺时针旋转 ，
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∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由旋转性质可知： ，
故选：B．
10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1， ），M为坐标轴上一点，且使得△MOA
为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图，作出图形，分三种情况讨论：
若OA=OM，有4点M，M，M，M；
1 2 3 4
若OA=AM，有2点M，M；
5 1
若OM=AM，有1点M，M．
6 1
∴满足条件的点M的个数为6．
故选：C．
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二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11. A．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设______．
B．若关于x的不等式 的解集为 ，则a的取值范围是______．
【答案】 ①. 一个三角形中有两个角是直角 ②.
【解析】
【分析】此题主要考查了反证法以及解一元一次不等式，正确掌握不等式的性质是解题关键．
A．根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可；
B．直接利用不等式的性质得出 的取值范围，进而确定a的取值范围即可．
【详解】解：A、用反证法证明命题“一个三角形中不能由两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有
两个角是直角．
因此，本题正确答案是：一个三角形中有两个角是直角．
根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
B．∵不等式 的解集为 ，
，解得 ．
故答案为： ．
12. 某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为_____．
【答案】200m
【解析】
【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案．
【详解】解：∵荷塘中小桥的总长为100米，
∴荷塘周长为：2×100=200(m).
故答案为200m.
【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键．
13. 一次函数 和 的图象如图所示，其交点为 ，则不等式 的解
集是__________．
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【答案】
【解析】
【分析】由于不等式（3+k）x≥b-1就是不等式kx+1≥-3x+b，观察图象，直线y=kx+1落在直线y=-3x+b上
方的部分对应的x的取值范围即为所求．
【详解】解：∵一次函数y=-3x+b和y=kx+1的图象交点为P（3，4），
∴当x≥3时，kx+1≥-3x+b，即（3+k）x≥b-1，
∴不等式（3+k）x≥b-1的解集为x≥3．
故答案为：x≥3．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或
下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OAB 是边长为2的等边三角形，作△BAB 与△OAB 关于点B
1 1 2 2 1 1 1 1
成中心对称，再作△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，如此作下去，则△B A B （n是正整
2 3 3 2 2 1 2 2n 2n＋1 2n＋1
数）的顶点A 的坐标是____．
2n＋1
【答案】
【解析】
【分析】首先根据 OAB 是边长为2的等边三角形，可得A 的坐标为（1， ），B 的坐标为（2，
1 1 1 1
△
0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A、A、A 的坐标各是多少；最后总结出A 的坐标的规律，
2 3 4 n
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求出A 的坐标是多少即可解决问题．
2n+1
【详解】∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴A 的坐标为（1， ），B 的坐标为（2，0），
1 1
∵△BAB 与 OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A
2
与点A△1 关于点B
1
成中心对称，
∵2×2-1=3，2×0- =- ，
∴点A 的坐标是（3，- ），
2
∵△BAB 与 BAB 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A
3
与点A△2 关于点B
2
成中心对称，
∵2×4-3=5，2×0-（- ）= ，
∴点A 的坐标是（5， ），
3
∵△BAB 与 BAB 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A
4
与点A△3 关于点B
3
成中心对称，
∵2×6-5=7，2×0- =- ，
的
∴点A 坐标是（7，- ），…，
4
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，…，
∴A 的横坐标是2n-1，A 的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1，
n 2n+1
∵当n为奇数时，A 的纵坐标是 ，当n为偶数时，A 的纵坐标是- ，
n n
∴顶点A 的坐标是（4n+1， ），
2n+1
故答案 ：为
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出A 纵坐
n
标．
三、解答题（共10小题，计78分，应写出相应的解答过程）
15. 解不等式（组）并将解集在数轴上表示出来
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（1） ． （2）
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）通过移项、合并得 ，然后把 的系数化为1即可得到不等式的解集，再用数轴表示
出解集；
（2）分别解两个不等式得 和 ，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再利用数轴表
示解集；
【详解】解：（1）
移项得 ，
合并得 ，
系数化为1得 ，
用数轴表示为：
（2） ，
解①得 ，
解②得 ，
所以不等式组的解集为 ，
用数轴表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部
分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到．
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16. 分解因式
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法成为解题的关键．
（1）先提取公因式 即可解答；
（2）直接提取公因数 即可解答．
【小问1详解】
解： ．
【小问2详解】
解： ．
17. 如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得
到△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点C′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，请你画出△A′B′C′和△A″B″C″（不要求
写画法）．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平移的定义将三角形的每个顶点都向下平移4个单位，即可求解；
（2）根据旋转的定义找出旋转之后的对应点，即可求解．
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【详解】解：如图，△A′B′C′和△A″B″C″为所作：
【点睛】本题考查图形的平移和旋转，掌握平移和旋转的定义是解题的关键．
18. 已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m得取值范围．
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式 的解为 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一元一次不等式组的整数解，根据不等式的解集求参数：
（1）先利用加减消元法求出方程组的解为 ，进而得到 ，解不等式组即可得到
答案；
（2）先把原不等式变形为 ，根据解集为 得到 ，进而求出
，据此可得答案．
【小问1详解】
解：
得： ，解得 ，
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把 代入①得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ，
∵x为非正数，y为负数，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴m的取值范围是 ．
【小问2详解】
解：将不等式 整理，得 ，
∵其解集为 ，
∴ ，
解得
∴ ．
结合m取整数，可得 ，
即当 时，不等式 的解集为 ．
19. 作图题：请尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．已知 ，在 边上求作一点P，使 最短．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了基本作图−作垂线，过点A作 的垂线段 即可，熟练掌握五种基本作图是解
决此题的关键．
【详解】如图，过点A作 的垂线段 ，由垂线段最短知，此时 最短，
∴点 即为所求．
20. 把 经过平移后得到 ，已知 ， ， ， ．
（1）求 与 的坐标；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形平移变换，平移的性质，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据
平移性质进行计算是解题的关键．
（1）根据平移性质得出 点向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到 ，根据规律求出 ， 的坐
标即可；
（2）过 作 于 ，根据点的坐标求出 ， 的长，根据三角形面积公式求出即可．
【小问1详解】
解：∵把 经过平移后得到 ， 的对应点是 ，
∴点 点向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到点 ，
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∴ 向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到 ，
∴ 的对应点 的坐标是 ，即 ，
的对应点 的坐标是 ，即 ，
答： ， 的坐标分别是 ， ；
【小问2详解】
如图，过 作 于 ，
∵ ， ，
∴ 轴，
∴ ， ，
∴ ，
答： 的面积是 ．
21. 如图，在 中， ， 于D．
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（1）求证： ；
（2）若 平分 分别交 、 于E、F，求证： ．
【答案】（1）过程见详解；
（2）过程见详解．
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
（1）由于 与 都是 的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出 ，再根据角平分线
的定义得出 ，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明 ．
【小问1详解】
证明： ， 于D，
， ，
；
【小问2详解】
证明：在 中， ，
同理在 中， ．
又 平分 ，
，
，
又 ，
．
22. 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买 千克以上（含 千
克）的有两种销售方案．甲方案：每千克 元，由基地送货上门．乙方案：每千克 元，由顾客自己租车
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运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
（1）分别写出该公司的两种购买方案的付款 （元）与所购买的水果量 （千克）之间的函数关系式．
在
（2）当购买量 什么范围内时，选择哪种方案付款较少？说明理由．
【答案】（1）甲： ；乙：
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据甲，乙两种销售方案，分别得出两种购买方案的付款 （元）与所购买的水果质量
（千克）之间的函数关系式，即单价 质量，列出即可；
（2）根据分析 与 的大小关系，得出不等式的解集可以得出购买方案付款的多少问题．
【小问1详解】
解：甲方案：每千克9元，由基地送货上门，
根据题意得： ；
的
乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司 运输费为5000元，
根据题意得： ．
【小问2详解】
根据题意可得：当 时，
，
当购买5000千克时两种购买方案付款相同，
当大于5000千克时， ，
甲方案付款多，乙付款少，
当小于5000千克时， ，
甲方案付款少，乙付款多．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，得出两函数的解析式利用不等式即可得出付费的多少．
23. 如图， 中， ， ， ， 逆时针旋转一定角度后与
重合，且点C恰好为 的中 点．
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的
（1）指出旋转中心，并求出旋转 度数．
（2）求出 的度数和 的长．
【答案】（1）旋转中心是点A，旋转角度是
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
（1）根据旋转的定义即可解答；
（2）根据旋转的性质可得 即可求出 ，再由 ，C是中点即
可求解．
【小问1详解】
解：∵ 逆时针旋转一定角度后与 重合，A为顶点，
旋转中心是点A；
根据旋转的性质可以知道： ，
旋转角度是150°；
【小问2详解】
解：∵ 逆时针旋转一定角度后与 重合，
∴ ，
∴ ，
又∵C为 中点，
．
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24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O
重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ．
(1)求点B的坐标．
(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．
【答案】(1) 点B的坐标为( ，1)；(2)∠ABQ的大小始终不变，∠ABQ＝90°；(3) P的坐标为(- ，0)
【解析】
【分析】（1）过点B作BC⊥x轴于点C，根据等边三角形的性质可得∠AOB＝60°，BO＝OA＝2，从而
求出∠BOC＝30°，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出BC和OC，从而求出点
B的坐标；
（2）根据等边三角形的性质可得AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°，从而证出∠PAO＝
∠QAB，然后利用SAS证出△APO≌△AQB，从而得出∠ABQ＝∠AOP＝90°；
（3）根据题意，画出图形，然后根据平行线的性质可得∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°，从而求出
∠OBQ=30°，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OQ和BQ，再根据（2）中
全等可得OP=BQ，从而求出点P的坐标．
【详解】解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C．
∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，
∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2．
∴∠BOC＝30°．
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又∵∠OCB＝90°，
∴BC＝ OB＝1，OC＝ ．
∴点B的坐标为( ，1)．
(2)∠ABQ的大小始终不变．
∵△APQ，△AOB均为等边三角形，
∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°．
∴∠PAO＝∠QAB．
在△APO与△AQB中，
∴△APO≌△AQB(SAS)．
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°．
(3)如图②，当OQ∥AB时，点P在x轴的负半轴上，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，
∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．
∴∠OBQ＝30°．
又OB＝OA＝2，
∴OQ＝ OB＝1，BQ＝ ，
由(2)可知，△APO≌△AQB，
∴OP＝BQ＝ ．
∴此时点P的坐标为(- ，0)．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和求点的坐标，
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掌握等边三角形的性质、30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理和全等三角形的判定及性质是解决此
题的关键．
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