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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024－2025 学年第一学期期中考试试卷
初三数学
2024年11月
考生须知
1.本试卷共6页，共3道大题，28个小题，满分100分，考生务必将答案答在答题纸上．考
试时间100分钟．
2.在试卷和答题纸上准备填写班级、姓名、学号．
3.答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4.考试结束，将试卷和答题纸一并交回．
第一部分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一
判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图
形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中
心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解： ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2. 若 是关于x的方程 的一个根，则m的值是（）
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A. B. C. 3 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
直接把 代入一元二次方程得到关于 的方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把 代入方程 ，
得
解得 ．
故选：C．
3. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，有最小值为2 B. 当 时，有最大值为2
C. 当 时，有最小值为2 D. 当 时，有最大值为2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，
明确二次函数的性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴该函数图像开口向上，对称轴为 ，
当 时，取得最小值2，
故选：A．
4. 如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是（ ）
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A. 40° B. 80° C. 100° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形，对角互补，即可得到答案.
【详解】∵四边形 内接于 ，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵ ，
∴∠ABC=180°-80°=100°.
故选C.
【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形，对角互补”是解题的关键.
5. 圆心角是 ，半径为20的扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算：弧长公式： (弧长为 ，圆心角度数为 ，圆的半径为 )．
直接利用弧长计算．
【详解】解：圆心角是 ，半径为20的扇形的弧长 ．
故选：B．
6. 已知点 ， ， 在函数 的图象上，则 、 、 的大小
关系为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的性质：图象开口向下，在对称轴左侧
随 的增大而增大，在对称轴右侧 随 的增大而减小，据此可以判断 、 、 的大小关系．
【详解】解： ，即
所以函数图象对称轴为直线 ，且开口向下，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
点 关于对称轴 的对称点为 ，
、 、 三点都在对称轴的右侧，且 ，
．
故选：B．
7. 如图，在小正方形网格中，将 绕某一点旋转变换得到 ，则旋转中心为（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转图形的性质，旋转中心在旋转前后对应顶点连线的垂直平分线上，由此即可求解．
【详解】解：连接 ，CF，利用格点作线段 ，CF的垂直平分线，如图，
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交点N即为旋转中心，
故选C．
8. 如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、
B，则四边形OAPB周长的最大值为( )
A. 10 B. 8 C. 7.5 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】写出周长的解析式，用配方法表示顶点式，即可得出周长的最大值.
【详解】解：设P(x，x2﹣x﹣4)，
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2(x2﹣x﹣4)+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2(x﹣1)2+10，
为
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值 10.
故选A．
【点睛】考核知识点：二次函数的最值运用.用配方法表示出顶点式，得出周长的最大值是解题的关键.
9. 如图，点 ， ， 均在 上，若 ，则 的度数是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，由 ，根据圆
周角定理可求得 的度数，又由等边对等角，即可求得答案．
【详解】解： ，
．
，
，
故选：B．
10. 二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③m为任
意实数，则 ；④ ；⑤若 ，且 ，则 ．
其中正确的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
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【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行
判断，是解题的关键．
①根据开口方向，对称轴，与 轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；
④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则 ，
∵对称轴为直线 ，则 ，
∴ ，故②正确
抛物线与 轴交于负半轴，则 ，
∴ ，故①错误；
∵当 时，取得小值，
∴ ，
当m为任意实数，则 ，故③正确，
④∵抛物线关于 对称，
∴ 和 的函数值相同，
即： ，
由图象知，当 时，函数值大于0，
∴ ，故④正确；
⑤当 关于 对称时：即： 时，
对应的函数值相同，
即： ，
∴
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∴若 ，且 ，则 ；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故选：C．
第二部分
二、填空题（每小题2分，共16分）．
11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反
数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是( ，
故答案为： ．
12. 用配方法将一元二次方程 变形为 的形式是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是配方法，根据完全平方公式配方即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
13. 关于 的一元二次方程 有实数根， 的取值范围是______．
【答案】 且
【解析】
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【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到 ，即可求出答案．
【详解】解：由于关于 的一元二次方程 有实数根，
且原方程是一个一元二次方程，则 的系数 不为0；
，
即 ，
解得 ．
故答案为： 且 ．
14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的
一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水
面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m．
【答案】2
【解析】
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，
然后即可计算出DE的长．
【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
1 1
∴AE＝BE＝ AB＝ ×8＝4，
2 2
在Rt△AEO中，OE＝ ＝ ＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故答案为：2．
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【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理
是解题的关键．
15. 已知二次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，关键是数形结合思想的应用．
由二次函数的图象直接得出结论．
【详解】解：∵由函数图象可知，当 时，函数图象在x轴的上方，即 ，
∴不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
16. 如图，在 中， ，将 在平面内绕点 旋转到 的位置，使
，则旋转角的度数为________．
【答案】 ## 度
【解析】
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【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、等腰三角形的性质．先根据平行线的性质得
，再根据旋转的性质得 等于旋转角， ，则利用等腰三角形的性
质得 ，然后根据三角形内角和定理可计算出 的度数，从而得到旋转角的
度数．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ 在平面内绕点 旋转到 的位置，
等于旋转角， ，
∴ ，
，
旋转角为 ．
故答案为： ．
17. 如图， 是⊙ 的直径， 、 、 、 是 上的点，过点 作为 切线交 延长线于点
，若 ， ，则 半径是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，连接 ，设 的半径为 ，证明 和 都是等边三角形，
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得 ，继而得到 ，根据切线的性质得 ，
，根据 角所对的直角边等于斜边的一半得 ，即可得解．解
题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
【详解】解：连接 ，设 的半径为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ 半径是是 ．
故答案为： ．
18. 如图，等边三角形 中， 为 边上一动点， ，垂足分别为
则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 ，取 的中点 O，连接 ， ，过点 O 作 于 H，首先证明
是顶角为 的等腰三角形，当 的值最小时， 的值最小，即可求出 的最小值．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点O，连接 ， ，过点O作 于H，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C、D、P、E四点共圆，
∴ ，
∴当 的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可得，当 时， ，此时 最小， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值最小为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、等腰直角三角
形的判定与性质等知识；正确判断当 时 最小是解题的关键．
三、解答题
19. 用适当的方法解下列方程：
（1） ；
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（2） ．
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查了公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握求根公式和因式分解法是解题的关键．
（1）运用公式法解方程即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：
， ， ，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
解得： ， ；
【小问2详解】
解：
解得： ， ．
20. 在平面直角坐标系 中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．将
绕原点 顺时针旋转90°得到 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， ．
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（1）画出旋转后的 ；
（2）直接写出点 的坐标；
（3）记线段 与线段 的交点为 ，直接写出 的大小．
【答案】（1）作图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与
性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键．
（1）根据旋转的性质作出 三个顶点绕点 顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到 ；
（2）由（1）中作出的 即可得到答案；
（3）过 作 轴于 、过 作 轴于 ，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到
，进而 ，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可
得到答案．
【小问1详解】
解：作图如下：
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即为所求；
【小问2详解】
解：由（1）中图形，如图所示：
；
【小问3详解】
解：在（1）的图形中，过 作 轴于 、过 作 轴于 ，如图所示：
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，
，
，
，
在 中， ，则 ，
在
中，由三角形内角和定理可知 ，
．
21. 已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）当 时，结合图象，直接写出函数值 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；
（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可；
（3）根据函数图像确定当 时对应的y的取值范围即可．
【小问1详解】
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．
【小问2详解】
列表如下：
x 0 1 2 3
y 0 0
图象如图所示；：
【小问3详解】
由图象可得，当 时， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次
函数的图象成为解答本题的关键．
22. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点E．
（1）求证： ；
（2）连接 并延长，交 于点G，连接 ．若 的半径为5， ，求 和 的长．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理．
（1）根据垂径定理得到 ，再根据圆周角定理证明结论；
（2）根据垂径定理得到点E为 的中点，再根据三角形中位线定理可得 ，然后根据圆周
角定理得到 ，再根据勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图，
∵ 是 的直径， ，
∴点E为 的中点，
∵点O是 的中点，
∴ ．
∵ 是 的直径，
∴ ．
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∵ 的半径为5，
∴ ，
∴ ．
23. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程 的根，求m的值．
【答案】（1） 且 ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得；
（2）先根据（1）的结果求出k的值，再根据一元二次方程的根的定义可得一个关于m的一元一次方程，
解方程即可得．
【详解】（1） 方程 是关于x的一元二次方程，
，解得 ，
又 一元二次方程 有两个不相等的实数根，
其根的判别式 ，
解得 ，
综上，k的取值范围是 且 ；
（2）由（1）得： ，
是一元二次方程 的根，
，
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解得 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解
题关键．
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分 ， ，垂足为E
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2， ，求线段EF的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2） .
【解析】
【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明 即可；
（2）过O作 于G，得到 ，根据直角三角形的性质得到 ，得到
，推出四边形AODF是菱形，得到 ， ，于是得到结论．
【
详解】（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作 于G，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形AODF是菱形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
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【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
属于中考常考题型．
25. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形
状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离
为 米的地点，水柱距离湖面高度为 米．
（米） 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求 关于 的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，
从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人
想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，调整高度至少______米．
【答案】（1）图见解析；
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（2）4米 （3）
（4）向上调整2
【解析】
【分析】本题考查二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于熟练掌
握二次函数的图象建立二次函数模型．
（1）建立坐标系，描点，用平滑的曲线连线即可；
（2）结合图象，得出最高点坐标为 ，进而得出结论；
（3）利用顶点式 和点 即可求出h关于d的函数表达式；
（4）设平移后的解析式为 ，根据题意求解即可.
【小问1详解】
解：如图所示：
；
【小问2详解】
解：由图象得，
最高点坐标为 ，
∴水柱最高点距离湖面的高度为4米；
【小问3详解】
解：由题意，得
设顶点式为 ，
又图象过点 ，
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∴ ，
解得 ，
∴函数解析式 ；
【小问4详解】
解：设水枪高度向上调整m米时，游船恰好能从喷泉拱门下穿过，
则平移后的解析式为 ，
当横坐标为 时，纵坐标的值大于等于 ，
∴ ，
解得 ，
∴水枪高度至少向上调整2米，
故答案为：向上调整2.
26. 在平面直角坐标系xOy中，点A（x，y），B（x，y）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其
1 1 2 2
中x＜x．
1 2
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当x＝a时，求y的值；
②若y＝y＝0，求x 的值（用含a的式子表示）．
1 2 1
（3）若对于x+x＜﹣4，都有y＜y，求a的取值范围．
1 2 1 2
【答案】（1）对称轴为直线x＝a﹣1
（2）①y=0；②x＝a﹣2
1
（3）a≥﹣1
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣ 求解即可；
（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y＝y＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝
1 2
0，解方程并根据x＜x，求出x 的值．
1 2 1
（3）由题意得出x＜﹣2，则只需讨论x＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x
1 1 1
＜x＜a﹣1，x＜a﹣1＜x，分别结合二次函数的性质及x+x＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x＝a﹣
2 1 2 1 2 1
1，x＝﹣2，此时x+x＜﹣4，但y＞y，不符合题意．
2 1 2 1 2
【小问1详解】
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解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝a﹣1；
【小问2详解】
解：①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a
＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a
＝0；
②当y＝y＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，
1 2
∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，
∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，
∵x＜x，
1 2
∴x＝a﹣2；
1
【小问3详解】
解：①当a≥﹣1时，
∵x＜x，x+x＜﹣4，
1 2 1 2
的
∴x＜﹣2，只需讨论x＜a﹣1 情况．
1 1
若x＜x＜a﹣1，
1 2
∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y＜y，符合题意；
1 2
若x＜a﹣1＜x，
1 2
∵a﹣1≥﹣2，
∴2（a﹣1）≥﹣4，
∵x+x＜﹣4，
1 2
∴x+x＜2（a﹣1）．
1 2
∴x＜2（a﹣1）﹣x．
1 2
∵x＝2（a﹣1）﹣x 时，y＝y，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
2 1 2
∴y＜y，符合题意．
1 2
②当a＜﹣1时，令x＝a﹣1，x＝﹣2，此时x+x＜﹣4，但y＞y，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，
灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
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27. 已知正方形 和一动点E，连接 ，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，
．
（1）如图1，当点E在正方形 内部时，
①依题意补全图1；
②求证： ；
（2）如图2，当点E在正方形 外部时，连接 ，取 中点M，连接 ， ，用等式表示
线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ；理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②证明 ，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；
（2）连接 、 ，延长 ，使 ，连接 ，延长 交 于点 G，证明
，得出 ， ，证明 ，得出
， ，证明 ，得出 ，即可证明结论．
【小问1详解】
解：①依题意补全图1，如图所示：
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②∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
根据旋转可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ；理由如下：
连接 、 ，延长 ，使 ，连接 ，延长 交 于点G，如图所示：
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
根据旋转可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，
解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
28. 在平面直角坐标系xOy中，旋转角 满足 ，对图形M与图形N给出如下定义：将图形
M绕原点逆时针旋转 得到图形 ．P为图形 上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的
最小值为图形M与图形N的“转后距”．已知点 ，点 ，点 ．
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（1）当 时，记线段OA为图形M．
①画出图形 ；
②若点C为图形N，则“转后距”为______；
③若线段AC为图形N，求“转后距”；
（2）已知点 ，点 ，记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角 ，
“转后距”大于1，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）①OA′，图形见详解；②2；③ “转后距”为 ；（2）t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或
．
【解析】
【分析】（1）①当 时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形 即
OA′．
②∵点C为图形N，求出OC=2最短距离；
③过点O作OF⊥AC于F，先证△OAC为等边三角形，OF⊥AC，根据勾股定理求出OF=
即可；
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（2）点 ，点 ，可求tan∠OPQ= ，得出当点P在x轴负半轴时，
∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，得出∠CAB=∠ABC=30°，分三种情况，当 °，
当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，列不等式 ，解得 ，当点P在点B左边B′
右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，PB=2PE＞2×1即4-t＞2解得t＜2，当t=0时，OA′=2，A′Q=2-1=1，t＞0，当
点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，t＜-5即可．
【详解】解：（1）①当 时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形 即
OA′；
②∵点C为图形N，OC=2为图形M与图形N的“转后距”，
∴“转后距”为2，
故答案为2；
为
③线段AC 图形N，
过点O作OF⊥AC于F，
根据勾股定理OA= ，AC= ，
∴OA=AC=OC=2，
∴△OAC为等边三角形，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF=1，
∴OF= ，
∴“转后距”为 ；
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（2）∵点 ，点 ，
∴tan∠OPQ= ，
∴当点P在x轴负半轴时，∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，
∵CB=4-2=2=AC，∠ACO=60°，
∴∠CAB=∠ABC=30°，
分三种情况，
当 °，当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，
∴BPsin60＞1，
∴ ，
解得 ；
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当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，
∴∠OEB=180°-∠EPB-∠ABC=180°-60°-30°=90°，
∵PB=4-t，
∴PB=2PE＞2×1即4-t＞2，
解得t＜2，
当t=0时，点P与原点O重合，OA′=2，A′Q=2-1=1，
∴t＞0，
∴0＜t＜2；
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当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，
∴t＜-5；
综合t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或 ．
【点睛】本题考查图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，
锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理，掌握图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要
点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定
理是解题关键．
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