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北京育才学校综合模拟 03
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）．
A. 2 B. C. D. 不存在
的
2. 不透明 袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，
放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
.
A 当x＞-2时，y随x增大而减小 B. 当x＞-2时，y随x增大而增大
C. 当x＞2时，y随x增大而减小 D. 当x＞2时，y随x增大而增大
4. 如图，四边形ABCD内接于 ，若四边形ABCO是菱形，则 的度数为（ ）
.
A 45° B. 60° C. 90° D. 120°
5. 如图， 是 的直径， 是圆上两点，连接 ．若 ，则
的度数为（ ）．A. B. C. D.
6. 如图， 是 的一条弦， 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的半径
为（ ）AB ⊙O OD⊥AB C ⊙O D OA AB=4 CD=1 ⊙O
A. B. C. D.
5 3
7. 抛物线y=（x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是（ ）
A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4
8. 抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，其部分图象如图所示.对于此抛物线有
如下四个结论：① ；② ；③ ；④若此抛物线经过点 ，则 一定
是方程 的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9. 二次函数 的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为__________．
10. 如图， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，连接 ， ， ， ．若 ，
，则 的周长为_____________．11. 如图， 分别切 于点A，B，Q是优弧 上一点，若 ，则 的度数是
________．
12. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道
（如图2）需用此材料 mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．
13. 如图，圆锥的底面半径 ，高 ，则圆锥的侧面积等于_______．
14. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，连接 ．若
△，则 ______ ．
15. 考古学家发现了一块古代圆形陶器残片如图所示，为了修复这块陶器残片，需要找出圆心．
（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）写出作图的主要依据：_______________________________________________．
16. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同
的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复
上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析
可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．
三、解答题（共68分，17题6分，18-23题，每题5分，24-26题，每题6分，27，28题，每
题7分）
17. 解方程：
（1）
（2）
18. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．
19. 已知：如图所示， 绕点A，顺时针旋转50°，得到 ，当E在BC边上时：
（1）求证： ；
（2）连接BD，当 时，求 的度数．
20. 已知二次函数 ．
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
（2）根据图象回答， 时，x的取值范围是____________；
（3）根据图象回答：当 时，y的取值范围____________．
的
21. 一张长为30cm，宽20cm 矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正
方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为
264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22. 如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标分别为 ， ， ，将
绕点 顺时针旋转 得到 ，点 旋转后的对应点为 ．
（1）画出旋转后的图形 ，并写出点 的坐标；
（2）求点 经过的路径 的长（结果保留π）．
23. 2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，
需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿
者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中
随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是______ 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
24. 如图， ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点
N，连接AM△．
（1）求证：AM＝BM；的
（2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC 长．
25. “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个
问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸
片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知：⊙O（纸片），其半径为 ．
求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．
作法：①如图1，取⊙O的直径 ，作射线 ，过点 作 的垂线 ；
②如图2，以点 为圆心， 为半径画弧交直线 于点 ；
③将纸片⊙O沿着直线 向右无滑动地滚动半周，使点 ， 分别落在对应的 ， 处；
④取 的中点 ，以点 为圆心， 为半径画半圆，交射线 于点 ；
⑤以 为边作正方形 ．
正方形 即为所求．
根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线 为⊙O的切线，其依据是________________________________．
（2）由②③可知， ， ，则 _____________， ____________（用含 的代数式
表示）．
（3）连接 ，在Rt 中，根据 ，可计算得 _________（用含 的代数式
表示）．由此可得 ．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若 OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m=△4时，抛物线上有两点M（x
1
，y
1
）和N（x
2
，y
2
），若x
1
＜2，x
2
＞2，x
1
+x
2
＞4，试判断y
1
与y
2
的大小，并说明理由．
27. 在 中， ， 于点D， 于点E，连接 ．
（1）如图1，当 为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想 与 之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明．
（2）如图2，当 为钝角时，直接写出线段 ， ， 的数量关系．
28. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：
对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直
线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l
关于⊙C的“视角”．
（1）如图，⊙O的半径为1，
①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y = 2，直接写出直线y = 2关于⊙O的
“视角”；
②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；
（2）⊙C的半径为1，
①C的坐标为（1，2），直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（ ，0），若直线l关于⊙C的“视
角”为60°，求k的值；
②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y = x + 关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐
标x 的取值范围．
C
