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专题三 变量与函数——2025届中考数学突破热点训练营
1.由化学知识可知，用 表示溶液酸碱性的强弱程度，当 时溶液呈碱性，当 时
溶液呈酸性.若将给定的 溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映 溶液的
与所加水的体积V之间对应关系的是( )
A. B.
C. D.
2.如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图.示意图中曲线 可近似看作一条抛物线，四边
形 为矩形且支架 ， ， ， 均垂直于地面 .已知 米， 米，
以 所在的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 （规定一
个单位长度代表1米），若点M的坐标为 ，则抛物线的表达式为( )
A. B.
C. D.
3.在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流 与电阻 之间的函数关系，通过实验得到
如下表所示的数据：
I/A 3 1 …
R/Ω 3 9 12 15 …
根据表中数据，下列描述正确的是( )
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A.在一定范围内，I随R的增大而增大 B.I与R之间的函数关系式为
C.当 时， D.当 时，
4.如图，在某次跑步练习中，甲、乙两人同时起跑，从同一起点跑向同一终点，其路程
与时间 之间的函数图像分别为折线 和线段 ，下列说法中，正确的是( )
A.乙比甲先到终点 B.乙的速度随时间增加而增大
C.全程甲的速度始终比乙的速度快 D.进行到 时，两人出发后第一次相遇
5.一颗跳跳糖从 开始按图中箭头所示方向作连续运动，第一次跳动至 ，第二次
跳动至 ，第三次跳动至 ，第四次跳动至 ，第五次跳动至 ，
…，依照此规律跳动下去，跳跳糖第77次跳动至 的坐标是( )
A. B. C. D.
6.如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地
面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱 米，若茶几摆放在灯罩的正下
方，则茶几到灯柱的距离 ( )
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A.3.2 B.0.32 C.2.5 D.1.6
7.伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬
动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值.“杠杆原理”在实际生产和生活中，
有着广泛的运用.比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”.已知阻力
和阻力臂 的函数图象如图，若小明想使动力 不超过 ，则动力臂 （单位：
m）需满足( )
A. B. C. D.
8.如图，平面直角坐标系中，线段 的两端点坐标为 ， ，某同学设计了一
个动画：在函数 中，分别输入m和n的值，便得到射线 ，其中
；当 时，会从C处弹出一个光点P，并沿 飞行；当有光点P弹出，并击中线
段 上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 就会发光，则此时整数m的个数为( )
个
A.5 B.6 C.8 D.9
9.我们把1，1，2，3，5，8，13，21 这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以
⋯
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这列数为半径作 圆弧 ， ， ，⋯，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接 ，
， ，⋯，得到螺旋折线（如图），已知点 ， ， ，则该折线
上的点 的坐标为( )
A. B. C. D.
10.东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东
东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家.东东和爸爸在整个运动过程中离家的
路程 （米）， （米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的
是( )
A.两人前行过程中的速度为180米/分 B.m的值是15，n的值是2700
C.爸爸返回时的速度为90米/分 D.运动18分钟或31分钟时，两人相距810米
11.如图，某物理兴趣小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观的显示光的反射规律，于是
A1,4
把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点 出发，经x轴上的点
B3,0
反射，沿射线BC方向反射出去，则反射光线BC所在的直线的函数表达式是(
)
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A. B. C. D.
12.为了让甲、乙两名运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，需要研究他们从起跳
至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点 为原点，水平方向为 轴建立平面直角坐
标系.我们研究发现甲运动员跳跃时，空中飞行的高度 （米）与水平距离 （米）具有二次
函数关系，记点 为该二次函数图象与 轴的交点，点 为该运动员的落地点， 轴于
点 .测得相关数据如下： 米， 米，抛物线最高点到 轴距离为4米.若乙运动
员跳跃时高度 （米）与水平距离 （米）满足 ，则他们跳跃时起跳点与落地
点的水平距离( )
A.甲>乙 B.甲<乙 C.甲=乙 D.无法确定
13.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值
点”.已知二次函数 的图象上有两个“等值点”，则 的取值范围为_____.
14.中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律.
十二律的音高由低到高排列依次是：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、中吕、蕤宾、林钟、
夷则、南吕、无射、应钟.律管越长，音高越低，古人采用“隔八相生法”、“三分损益法”
确定每根律管长度：黄钟律管长九寸，减去三分之一，得到隔八音的林钟律管长六寸；林钟
律管长减去三分之一，得到隔八音的清太簇律管长四寸，将长度翻倍，得到降八度对应的太
簇律管长八寸，其余以此类推，可以得出每根律管长.这也对应了五音“宫生微、微生商、商
生羽、羽生角”的相生关系.律管频率与律管长成反比关系，若黄钟律管频率为 ，则姑
洗律管频率为______ .
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15.如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地 ，该基地一边靠墙（墙长a
米），另三边用总长40米的栅栏围成.
（1）当a 25时，劳动教育基地的最大面积为_______m2；
（2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，a的值为_______.
16.有若干张如图①所示的拼图卡，用3张这样的拼图卡按图②的方式无缝隙拼接在一起，拼
成的图案总长为 ；如图③，用8张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为
；若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为 ，则y与x之间
的函数关系式为_________（x为正整数）.
17.如图①，在正方形 中，点 以每秒 的速度从点 出发，沿 的路径运
动，到点 停止.过点 作 ， 与边 （或边 ）交于点 ， 的长度 与
点 的运动时间 （秒）的函数图象如图②所示，当点 运动 秒时， 的长是______ .
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18.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 的点叫做这个函数图象的“n阶方
点”.例如，点 是函数 图象的“ 阶方点”；点 是函数 图象的“2阶方
点”.
（1）在① ；② ；③ 三点中，是反比例函数 图象的“1阶方点”的
有_________（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一个，则
_________；
（3）若y关于x的二次函数 图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范
围为_________.
19.为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：
）与浸泡时长（单位：h）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，
进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下：
衣物类别P含量
甲类 乙类
浸泡时长
0 80 79
2 37 32
4 31 25
6 29 21
8 28 18
10 27 17
12 27 16
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（1）设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为 ， ，在平面角坐标系 中，描
出表中各组数值所对应的.点 ， ，并画出函数 ， 的图象；
（2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为 时，甲、乙两类衣物
中P的含量的差约为______ （精确到 ）；
（3）根据衣物中P的含量（单位： ）将衣物分为A级（含量20）、B级（20含量
75）和C类（75含量 ）.若浸泡时长不超过 ，则经过浸泡处理后可能达到A级
标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____h
（精确到 ）.
20.阳高县是山西省的“杏果之乡”，杏树种植历史悠久，当地的阳高大接杏畅销全国.某水果
商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯进行销售.鲜果以5元/千克的成本价购进，并以7元/千克的
价格出售.果脯以30元/千克的成本价购进，并以36元/千克的价格出售.请结合题意解答下列
问题.
（1）该水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯共100千克，花费2000元，则购进鲜果和果
脯各多少千克?
（2）该水果商店两天售完所有阳高大接杏的鲜果和果脯后，决定再购进共200千克的鲜果和
果脯(所购进果脯不高于40千克)，则当该水果商店购进多少千克大接杏鲜果时，才能使利润
w最大?最大利润是多少?
21.春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m
的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其
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余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是
10m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.
（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____ ，
花卉B的种植面积是______ ，花卉C的种植面积是_______ .
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最
大值.
22.科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据.无
人机上升到距离地面20m处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一
个小钢球（忽略空气阻力）.记无人机和小钢球距离地面的高度分别为 ， （单位：m），
科研人员收集了 ， 随时间x（单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，
如图所示.
（1）根据 ， 随 的变化规律，从① ；② ；③
中，选择适当的函数模型，分别求出 ， 满足的函数关系式；
（2）当 时，小钢球和无人机的高度差最大是_____m.
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答案以及解析
1.答案：B
解析： 溶液呈碱性，则 ，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，
的值则接近7，
故选：B.
2.答案：A
解析： 米， 米，
米， 米，
设抛物线解析式为
将 ， 代入得
，
解得 ，
.
故选：A.
3.答案：B
解析：根据表格数据：
I与R之间的函数关系式为 ，在一定范围内，I随R的增大而减小，故A选项错误，
不符合题意；B选项正确，符合题意；
当 时， ，故C选项不正确，不符合题意；
当当 时， ，故D选项不正确，不符合题意；
故选：B.
4.答案：D
解析：由题意和图像可知，甲比乙先到终点，故A不符合要求；
乙匀速运动，故B不符合要求；
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当 ， 时，甲的速度比乙的速度快，故C不符合要求；
设直线 的函数解析式为 ，
将 代入得 ，解得 ，
，
将 代入得 ，解得 ，
故D符合要求；
故选：D.
5.答案：A
解析：由图可知： , ,
第n列的端点处的点为 ，当 为偶数时： ，当 为奇数时：
，
， ，
，即：
故选：A.
6.答案：A
解析：如图所示，以 所在直线为x轴、 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一： ，
点B与点D关于对称轴对称，
；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为 ，
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设抛物线的解析式为 ，
将点 代入得，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得 （舍）或 ，
所以茶几到灯柱的距离 为3.2米，
故选：A.
7.答案：D
解析：阻力 和阻力臂 的函数关系式为 ，
点 在该函数图象上，
，
解得 ，
阻力 和阻力臂 的函数关系式为 ，
，
，
当 时， ，
小明想使动力 不超过 ，则动力臂 （单位：m）需满足 ，
故选：D.
8.答案：B
解析：设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，得 ，
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解得 ，
直线 的解析式为 ；
由题意直线 经过点 ，
；
由题意，可设线段 上的整数点为 ，则 ，
，
，
，
t为整数，m也是整数，
或 或 或 ，即 或0或3或 或4或 或7或 ，
，
或0或3或 或 或 ，
， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ，
；
综上所述，m的值为5或 或2或 或 或 .
故选：B.
9.答案：B
解析：观察发现：
先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到 ；
先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到 ；
先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到 ；
P 2,1 P 1,4
4 先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到 5 ；
P 1,4 P 6,1
5 先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到 6 ；
P 6,1 P 2,9
6 先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到 7 ；
故选：B.
10.答案：D
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解析： 米/分，
两人同行过程中的速度为180米/分，故A选项不符合题意；
东东在爸爸返回5分钟后返回即第20分钟返回
，
，故B选项不符合题意；
爸爸返回的速度 /分，故C选项不符合题意；
当运动18分钟时，爸爸离家的距离 米，东东离家的距离
米，
运动18分钟时两人相距 米；
返程过程中东东 分钟走了3600米，
东东返程速度 米/分，
运动31分钟时东东离家的距离 米，爸爸离家的距离
米，
运动31分钟两人相距756米，故D选项符合题意；
故选D.
11.答案：A
解析：设直线 与y轴的交点为E，直线 与y轴的交点为F，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得 ，
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，
当 时， ，
直线 与y轴的交点E的坐标为
根据光的反射规律知：E和F关于x轴对称，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
故选：A.
12.答案：A
解析：由题意，设该二次函数的解析式为 ，
∵ ，抛物线最高点到x轴距离为4米，
∴ ，
解得 ，
∴该二次函数的解析式为 ，
∵ 米，
∴当 时， ，
∴ ；
对于函数 ，
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当 时， ，
解得， 或 （舍去），
∴乙起跳点与落地点的水平距离 米，
∵ ，
∴甲起跳点与落地点的水平距离大于乙起跳点与落地点的水平距离.
故选：A.
13.答案：
解析：由题意可得，横、纵坐标相等的点在函数 的图象上，
∴二次函数与 有两个交点，即 有两个不相等的根，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： .
14.答案：324
解析：∵太簇律管的长度是八寸，
∴南吕律管的长度是： （寸）.
∴清姑洗律管的长度是： （寸）.
∴姑洗律管的长度是： （寸）.
设律管频率为y，律管长为x，
∵律管频率与律管长成反比关系，
∴可设 .
∵黄钟律管频率为 ，律管长为9寸，
∴ .
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∴ .
当 时， .
故答案为：324.
15.答案：200；30或10
解析：（1）当 时，另三边总长40米，
设 ，则 ，劳动教育基地的面积为y，
根据题意得： ，
；
当 时，y有最大值，y最大值 .
（2）当y最大值 时，即 ，
，
解得： ， ，
，
或10.
故答案为：200；30或10.
16.答案：
解析：设每一个拼图卡长度为 ，重合部分长度为 ，则
，解得 ，
若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为 ，则y与x之间的函数
关系式为 ，
故答案为： .
17.答案：
解析：∵正方形 ，
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∴ 是等腰直角三角形，
由题意知，当 运动到 时， 最长， ，
由图象可知，当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
由勾股定理得， ，
故答案为： .
18.答案：（1）②③
（2）3或
（3）
解析：（1） 点 到x轴的距离为2，大于1，
不是反比例函数 图象的“1阶方点”，
点 和点 都在反比例函数 的图象上，且到两坐标轴的距离都为1，
和 是反比例函数 图象的“1阶方点”，
故答案为：②③；
（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为 ， ， ， ，
当 时，若y关于x的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一个，
则 过点 或 ，
把 代入 得： ，解得： （舍去）；
把 代入 得： ，解得： ；
当 时，若y关于x的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一个，
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则 过点 或 ，
把 代入 得： ，解得： ；
把 代入 得： ，解得： （舍去）；
综上，a的值为3或 ；
故答案为：3或 ；
（3） 二次函数 的顶点坐标为 ，
二次函数 的顶点在直线 上移动，
y关于x的二次函数 图象的“n阶方点”一定存在，
二次函数 的图象与以顶点坐标为 ， ， ， 的
正方形有交点，
如图，当 过点 时，
将 代入 得： ，
解得： ，
当 过点 时，
将 代入 得： ，
解得： 或 （舍去），
由图可知，若y关于x的二次函数 图象的“n阶方点”一定存在，n的取
值范围为： ，
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故答案为： .
19.答案：（1）见解析
（2）6.5
（3）乙；7.5
解析：（1）如图所示，即为所求
（2）由函数图象可知当浸泡时长为 时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为 ，
故答案为： ；
（3）由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过 时，甲含P的最低量大于
20，乙的最低含量可以小于20，
经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，
观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡 ，
故答案为：乙； .
20.答案：（1）购进鲜果40千克，果脯60千克
（2）当该水果商店购进160千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大，最大利润是560元.
解析：（1）设购进鲜果x千克，果脯y千克，
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解得
答：购进鲜果40千克，果脯60千克；
（2）设购进鲜果m千克，则购进果脯 千克，
则
由题意可得，
解得 ，
，
当m160时，w有最大值，最大值为41601200560，
答：当该水果商店购进160千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大，最大利润是560元.
21.答案：（1） ； ；
（2）10m
（3）168000元
解析：（1） 育苗区的边长为xm，活动区的边长为10m，
花卉A的面积为： ，
花卉B的面积为： ，
花卉C的面积为： ，
故答案为： ； ； ；
（2） A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
A，B两种花卉的总产值分别为 百元和 百元，
A，B两种花卉的总产值相等，
，
，
解方程得 （舍去）或 ，
当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3） 花卉A与B的种植面积之和为： ，
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，
，
设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
，
，
，
当 时，y随x的增加而减小，
当 时，y最大，且 （百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元.
22.答案：（1） ；
（2）25
解析：（1）设 关于x的函数关系式为 ，
将点 ， 的坐标代入 得 ，
解得 ，
关于x的函数关系式为 ，
设 关于x的函数关系式为 ，
将点 ， ，坐标代入 ，得 ，
解得 ，
关于x的函数关系式为 ；
（2）由（ ）得 ， ，
，
当 时，小钢球和无人机的高度差最大是 ，
故答案为：25.
22
