文档内容
顺义区 2023-2024 学年度第一学期期末八年级教学质量检测数学试卷
1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
考 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号．
生
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
须
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作
知 答．
5．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 16的平方根是（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平方根的定义化简即可得到结果．
【详解】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根为±4．
故选：C．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、 是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
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学科网（北京）股份有限公司3. 下列各根式中，与 不是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是先化简二次根式，再看被开方数是否相同，被开
方数相同的是同类二次根式．
【详解】解：A、 ， 与 同类二次根式，故此选项不符合题意；
是
B、 ， 与 是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项符合题意；
D、 与 是同类二次根式，故此选项不符合题意，
故选：C．
4. 不透明的袋子中装有5个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则
下列说法正确的是（ ）
A. 摸到红球、绿球的可能性大小一样 B. 这个球可能是绿球
C. 摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性 D. 这个球一定是红球
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的可能性，简单的概率计算，先计算出摸到红球的概率为 ，摸到绿球的概
率为 ，则摸到绿球的可能性小于摸到红球的可能性，摸出的球可能是红球也有可能是蓝球，据此可得答
案．
【详解】解：A、摸到红球的概率为 ，摸到绿球的概率为 ，则摸到红球、绿球的可能性大小不一样，
原说法错误，不符合题意；
B、随机从袋子中摸出一个球，这个球可能是绿球，原说法正确，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、摸到绿球的可能性小于摸到红球的可能性，原说法错误，不符合题意；
D、随机从袋子中摸出一个球，这个球不一定是红球，原说法错误，不符合题意；
故选B．
5. 若 ，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据 可得 ，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
6. 如果把分式 中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A. 不变 B. 缩小到原来的
C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的3倍
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质， 依题意分别用 和 去代换原分式中的a和b，利用分式的基本
性质化简，再与原分式比较即可得到答案．
【详解】解：分别用 和 去代换原分式中的a和b得 ，
∴新分式缩小到原来的 ，
故选C．
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学科网（北京）股份有限公司7. 如图,数轴上的A、B、C、D四点中,与表示数 的点最接近的是( )
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】先估算出 ≈2.236，所以- ≈-2.236，根据点A、B、C、D表示的数分别为-3、-2、-1、2，
即可解答．
【详解】∵ ≈2.236，
∴- ≈-2.236，
∵点A、B、C、D表示的数分别为-3、-2、-1、2，
∴与数- 表示的点最接近的是点B．
故选B．
【点睛】考查的是无理数的估算，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
8. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段 是等腰三角形 的一边，
的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（ ）
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意分 腰长和底边两种情况分类讨论．
【详解】解：如下图，
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学科网（北京）股份有限公司分情况讨论，① 为等腰 底边时，符合条件的C点有6个；② 为等腰 其中的一条腰时，
符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个，
故选：D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若分式 的值为零，则x的值为_____________．
【答案】3
【解析】
【详解】由分式的值为零的条件得x-3=0且x+2≠0，
由x-3=0，解得x=3
故答案为3
10. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】
【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相
等．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，
可简说成“内错角相等，两直线平行”．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
11. 若三角形的两边长分别为4和6，则第三边的长度可以为________（写出一个即可）．
【答案】6（只要满足大于2小于10均可）
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三
边，据此求出第三边的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵三角形的两边长分别为4和6，
∴ 第三边长 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 第三边长 ，
∴第三边的长度可以为6，
故答案为：6（只要满足大于2小于10均可）．
12. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是 ， ，
，则 的长为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算，由勾股定理得出正方形的面积关系是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故答案为：1．
13. 与直线a，b的位置关系如图所示．若 ， ， ，则 ________ ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，先根据两直线平行，同位角相
等得到 ，再由对顶角相等得到 ，则由三角形外角的性质可得
．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 学校举行“爱我中华"知识竞赛，某班从5名男生和4名女生（含小云）中选6名学生参加这次竞赛．
若选择男生n名，则当 ________时，小云参加这次竞赛是必然事件．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了必然事件的定义，根据必然事件的定义，可知若女生都参加比赛时，女生小云参
加比赛是必然事件，可知男生有几名．熟知必然事件的定义是关键．
【详解】解： 女生小云参加这次竞赛是必然事件，
名女生都被抽取，
抽调6名学生参加比赛，
男生有2名．
为
故答案 ：2．
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学科网（北京）股份有限公司15. 对于任意实数a，b，规定： ．若 ，则x的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了定义新运算、分式方程，解题的关键是根据新运算得出算式，再解分式方程．
【详解】解： ，
，
，
解这个方程得： ，
经检验 是原分式方程的解，
故答案为：6．
16. 已知：如图， 是边长为4的等边三角形，点D是射线 上的动点（不与点B，C重合），
是 的外角的平分线，以点A为顶点， 为一边，作 ， 交射线 于点F，
连接 ．下列结论一定成立的是________（只填序号）．
点D在线段 上 点D在线段 的延长线上
① ； ② 是等边三角形；
③ ； ④ 的周长的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，当点D在
线段 上 时，利用 证明 ，得到 ， 即可证明 是等边
三角形，则 ，进而可证明 ，得到 ，如图所示，过点A作
于H，则 ，利用勾股定理求出 ，由于 的周长 ，
则当点D与点H重合时， 的周长最小，最小值为 ；当点D在线段 的延长线上，同理
可得 ， ，证明 ，得到 ，
，则 是等边三角形，得到 ，进而推出 ，由 的周长
，推出 的周长 ，据此可得答案．
【详解】解：当点D在线段 上 时，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角的平分线，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，故①成立；
∴ ，
∴ 是等边三角形，故②成立；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点A作 于H，则 ，
∴ ，
∵ 的周长 ，
∴ 的周长 ，
∴当 最小时， 的周长最小，
∴当点D与点H重合时， 的周长最小，最小值为 ，故④成立；
当点D在线段 的延长线上，
同理可得 ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，故③不一定成立；
∵ 的周长 ，
∴ 的周长 ，
∵ ，
∴ 的周长 ；
综上所述， ， 是等边三角形， 的周长的最小值为 ，
∴一定成立的是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算、二次根式的乘法、绝对值的性质和零指数整数幂，正确化简各数是
解题关键．直接利用二次根式的乘法、绝对值的性质和零指数整数幂分别化简，进而得出答案．
【详解】原式
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据平方差公式以及立方根、平方根的性质化简即可求解．
【详解】解：
．
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把原式变形为 ，再利用平方差公式把分子分解因
式，再分子与分母约分即可得到答案，
【详解】解；
20. 解方程： ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方
程，然后检验即可．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解．
21. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把计算括号内的分式加法，再把被除数分子，除数分子和分
母分解因式，接着把除法变成乘法化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时，原式 ．
22. 已知：如图， 是 上的两点，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得 ，进而根据 ，可得 ，结合
，根据边角边即可证明三角形全等
【详解】证明： ，
即
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
23. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次．
（1）“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？
（2）比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小．
【答案】（1）相等；理由见解析
（2）朝上的点数不小于3发生的可能性大
【解析】
【分析】此题考查可能性大小的比较；
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据题意得出落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，再根据概率公式即可得出答案；
（2）先求出朝上的点数小于3的概率和朝上的点数不小于3的概率，再进行比较即可．
熟练掌握概率公式的计算是解题的关键．
【小问1详解】
解：相等；
的
因为抛掷一枚均匀 骰子（各面上的点数分别为 点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、
4、5、6，
所以“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性都是 ；
故这两个事件发生的可能性大小相等；
【小问2详解】
因为朝上的点数小于3的数有1，2，发生可能性是 ，
朝上的点数不小于3的数有3，4，5，6，发生可能性是 ，
所以“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生可能性大小不相等，朝上的点数不小
于3发生的可能性大．
24. 列方程解应用题：
某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人
生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小
时各生产零件多少个．
【答案】A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设B型机器人每小时生产零件 个，则A型机器人每小时
生产零件 个，根据A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时
间相同，列出方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时生产零件 个，则A型机器人每小时生产零件 个，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
答：A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个．
25. 已知：如图，在 中，点D是 中点， 平分 ．求证： ．
下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程．
方法一
方法二
证明：如图，过点D作 于点
E， 于点F． 证明：如图，延长 至点E，使得
，连接 ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，全等三角形的性质与判定等
等：
方法一：先由角平分线的性质得到 ，进而分别证明 ，
得到 ， ，则可得到 ，即可利用三线合一定理证
明结论；
方法二：证明 ，得到 ，再由角平分线的定义推出
，得到 ，则 ，即可利用三线合一定理证明结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】证明：方法一：如图，过点D作 于点E， 于点F，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∵点D是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵点D是 中点，
∴ ；
方法二：如图，延长 至点E，使得 ，连接 ，
∵点D是 中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
又∵点D是 中点，
∴ ．
26. 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中， 角所对的直角
边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．
（1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知：________________________________________．
求证： ．
（2）补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段 的垂直平分线 ，交 于点D，交 于点E，连接 ．（在图中用尺规作图，
并保留作图痕迹）
∵直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ．（________________________________）（填推理依据）．
∴ ．（________________________________）（填推理依据）．
∵ ，
∴ ．
∵ 中， ， ，
∴ ．（________________________________）（填推理依据）．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
在 和 中，
，
∴ （________________________________）（填推理依据）．
∴ ，
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴ ________．
∴ ．
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可；
（2）先作出线段 的垂直平分线 ，再由线段垂直平分线的性质得到 ，进而得到
，利用直角三角形两锐角互余推出 ，进而证明 得到
，则 ，由此即可证明 ．
【小问1详解】
解：已知：在 中， ，
求证： ．
【小问2详解】
证明：作线段 的垂直平分线 ，交 于点D，交 于点E，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司∵直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴ ．（等边对等角）
∵ ，
∴ ．
∵ 中， ， ，
∴ ．（直角三角形两锐角互余）
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，
∵直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了写出命题的已知，求证，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，线
段垂直平分线的尺规作图，等边对等角，直角三角形两锐角互余等等，正确根据题意作出辅助线是解题的
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学科网（北京）股份有限公司关键．
27. 下表是a与 的几组对应值：
a … 1 1000 1000000 …
… x 1 y 100 …
（1）表格中 ________， ________；
（2）借助表格解决下列问题：
①若 ，则 ________；
②若 ， ，则 ________（用含有b的代数式表示c）；
③当 时，直接写出 与a的大小关系．
【答案】（1） ；
（2）① ；② ；③当 ， ；当 时， ；当 ，
【解析】
【分析】本题考查了立方根的定义；
（1）根据立方根定义直接计算即可；
（2）观察表格得到规律，①被开方数扩大1000倍，，立方根扩大10倍；②立方根扩大10倍，则被开方
数扩大1000倍；③根据表格规律进行分类讨论即可．
由定义推导并找到规律是解题的关键．
【小问1详解】
解： ，
， ；
【小问2详解】
① 与 比较，被开方数扩大到1000倍，
立方根扩大到10倍
故答案为： ；
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学科网（北京）股份有限公司② 立方根从 边长 ，扩大到10倍，
被开方数扩大到 倍
故答案为： ；
③由题意得：
当 ，
当 时，
当 ，
28. 已知：如图， 中， ，点D在边 上，连接 ，过点C作 于点E，过点
A作 ，交直线CE于点F．
（1）若 ，求证： ；
（2）在（1）条件下，取线段 的中点H，连接 ，用等式表示 的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）证明 得到 ，即可证明 ；
（2）如图所示，连接 ，设 交于G，先由等腰直角三角形的性质得到
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学科网（北京）股份有限公司，证明 ，得到 ，可推出
，由勾股定理得到 ，再由 ，可得
．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，证明如下：
如图所示，连接 ，设 交于G，
∵ ， ，点H为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
第23页/共24页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
