文档内容
北京景山学校远洋分校 2022－2023 学年第一学期
期末数学
考生须知：
1．本试卷共4页，共有四道大题，29道小题．满分100分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名、准考证号．
3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题
用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共20分，每题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 计算 结果正确的是（ ）
A. 2022 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 的偶数次方等于1可直接得出答案．
【详解】解： ，
故选C．
【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是掌握 的偶数次方等于1，奇数次方等于 ．
2. 科学家发现，距离银河系2500000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近．其中2500000用科学记数法
表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义进行解答.
【详解】2500000用科学记数法表示为2.5×106.故选B.
【点睛】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10且n为整数）.
3. 有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，这三个数中，绝对值最大的是（ ）A. a B. b C. c D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】观察哪个数对应的点到原点的距离最大即可．
的
【详解】解：观察数轴可知a，b，c中，a表示 点到原点的距离最大，
因此绝对值最大的是a，
故选A．
【点睛】本题考查数轴、绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的几何意义：一个数在数轴上对应的点
到原点的距离，叫做这个数的绝对值．
4. 代数式 与 互为相反数，则x等于（ ）
A. 4 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据互为相反数的两个数和为0，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：由题意知： ，
即 ，
移项、合并同类项得 ，
解得 ，
故选D．
【点睛】本题考查相反数的定义、解一元一次方程，解题的关键是牢记“互为相反数的两个数和为0”．
5. 下列判断正确的是（ ）
A. ＜
B. x﹣2是有理数，它的倒数是
C. 若|a|＝|b|，则a＝b
D. 若|a|＝﹣a，则a＜0
【答案】A【解析】
【分析】根据有理数的大小比较、绝对值和倒数进行判断即可．
【详解】解：A、 ＜ ，原选项正确，符合题意；
B、当x﹣2＝0时没有倒数，原选项错误，不符合题意；
C、若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，原选项错误，不符合题意；
D、若|a|＝﹣a，则a≤0，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的比较大小、绝对值和倒数，解题关键是明确相关性质和法则，准确进行判断．
6. 同一平面内A，B，C三点，经过任意两点画直线，共可画（ ）
A. 1条 B. 3条 C. 1条或3条 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】分A，B，C三点在一条直线上和不在一条直线上两种情况，分别讨论即可．
【详解】解：当A，B，C三点在一条直线上时，经过任意两点画直线，共可画1条；
当A，B，C三点不在一条直线上时，根据两点确定一条直线，可知经过任意两点画直线，共可画3条；
因此共可画1条或3条直线．
故选C．
【点睛】本题考查直线的概念，解题的关键是掌握两点确定一条直线，注意分类讨论．
7. 如图所示，延长线段 至点C，使得 ，若D为 中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，求出相关线段的值，逐项分析即可．
【详解】解：如图，
设 ，
∴ ，∵D为 的中点，
∴ ．
A．∵ ， ，∴ ，故不正确；
B．∵ ， ，∴ ，故不正确；
C．∵ ， ，∴ ，故不正确；
D．∵ ， ，∴ ，正确；
故选D．
【点睛】本题考查线段 的和差倍分问题和线段的中点性质，数形结合是解答本题的关键．
8. 若代数式 与 是同类项，则常数n的值（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据相同字母的指数相同求解即可．
【详解】解：∵ 与 是同类项，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．所含字母
相同，并且相同字母的指数相同的项，叫做同类项．
9. 关于x的方程2x+5a＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a的值是（ ）
A. 1 B. 4 C. D. ﹣1
【答案】A
【解析】
【详解】根据方程的解相同，可得关于a的方程，解方程即可得答案．解：解方程 ，得
把 代入 得，
，
解得
故选A.
10. 用8个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看它得到的平面图形如图所示，那么从左面看它得到
的平面图形一定不是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】A、加号的水平线上每个小正方体上面都有一个小正方体，故A正确；
B、加号的竖直的线上最上边小正方体上有两个小正方体，故B正确；
C、加号的水平线上中间位置的小正方体上有两个小正方体，故C错误；
D、加号的竖直的线上最上边小正方体上有两个小正方体，最下边的小正方体上有一个小正方体，故D正
确；
故选C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
二、填空（共20分，每题2分）
11. 若 是关于x的方程 的解，则m的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】把 代入 ，然后解关于m的方程即可．【详解】解：把 代入 ，得
，
解得 ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未
知数的值叫做一元一次方程的解．
12. 若 ， ，则 ______．
【答案】 ##110度
【解析】
【分析】将 和 直接代入 即可求解．
【详解】解：若 ， ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查角度的运算，属于基础题，正确计算是解题的关键．
13. 如图，∠AOB= ，射线OC在∠AOB内，∠BOC=30°，则∠AOC=_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据图形进行角的计算即可；
【详解】∠AOC＝∠AOB−∠BOC＝72°30′−30°＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是角的计算，掌握度、分的转化是解本题的关键．14. 用四舍五入法将3.886精确到0.01，所得到的近似数为_______．
【答案】3.89
【解析】
【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
【详解】解：3.886≈3.89（精确到0.01）．
故答案为3.89．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确
到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字
都是这个数的有效数字．
15. 用含a的式子表示：
（1）比a的6倍小5的数：_________；
（2）如果北京某天的最低气温为a℃，中午12点的气温比最低气温上升了10℃，那么中午12点的气温为
_________℃．
【答案】 ①. 6a-5 ②. a+10
【解析】
【详解】(1)a的6倍为6a，小5即为6a−5；
(2)中午12点的气温=最低气温+升高的气温=(a+10)℃．
故答案为(1)6a−5 ；(2)(a+10)
点睛：此题考查了列代数式.（1）题关键是找好题中的关键词，如“倍”；（2）注意气温上升为加.
16. 一件商品按成本价提高20%标价，然后打9折出售，此时仍可获利16元，则商品的成本价为_____元．
【答案】200
【解析】
【分析】设这种商品的成本价是x元，则商品的标价为x（1+20%），等量关系为：标价×90%=成本+利润，
把相关数值代入求解即可．
【详解】解：设这种商品的成本价是x元，则商品的标价为x（1+20%），
由题意可得：x×（1+20%）×90%=x+16，
解得x=200，
即这种商品的成本价是200元．
故答案为：200．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，得到售价的等量关系是解决本题的关键，难度一般．
17. 若一个角的补角比它的余角的2倍多15°，则这个角的度数是________．【答案】 ##15度
【解析】
【分析】根据补角和余角的概念解题即可.
【详解】设这个角的度数为 ，则补角为 ，余角为 ，根据题意可列方程为
解得
的
【点睛】本题考查余角和补角 概念．根据题意正确列出方程是解题的关键.
18. 若 ，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据非负数的性质求出a，b，代入求解即可．
【详解】解：由题意知 ， ，
因此 ， ，
解得 ， ，
故 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查代数式求值、非负数的性质等，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性．
19. 在0， ， ， ， ， （每相邻两个2之间依次多一个1）这六个数中
有理数有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】整数和分数统称为有理数，由此可解．
【详解】解：0， ， ， 是有理数， ， 不是有理数，
因此有理数有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查有理数的概念，整数和分数（含无限循环小数）统称为有理数，掌握定义是解题的关键．20. 已知线段AB=6cm，点C在直线AB上，到点A的距离为3cm，则线段BC的长度为________cm．
【答案】3或9．
【解析】
【分析】点C在线段AB上，也可能在线段BA的延长线上，分两种情况解题即可.
【详解】当点C在线段AB上时，则
当点C在线段BA的延长线上时，则
【点睛】本题考查线段的和与差．分两种情况解题是关键.
三、计算题（共30分，每题3分）
21. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）23 （2）
（3）
（4）1
【解析】
【分析】（1）先化简绝对值，乘法，把加法转化为加法，再算加减即可；
（2）先算乘方，再算乘法，后算加减即可；
（3）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，被减数分不够减的则向度借1变为60分，从而得出答案
（4）利用乘法的分配律计算即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解： ；
【小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及角度的的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22. 化简：
（1）
（2）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】（1）
（2） ，【解析】
【分析】（1）先去括号，再合并同类项；
（2）先去括号、合并同类项，再将 ， 代入求值．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
将 ， 代入，得：
原式
．
【点睛】本题考查整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
23. 解方程：
（1）
（2）（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化1即可；
（2）去括号、移项、合并同类项、系数化1即可；
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可；
（4）分母化为整数、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可．
【小问1详解】
解： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ，
即该方程的解为 ；
【小问2详解】
解： ，去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ，
即该方程的解为 ；
【小问3详解】
解： ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ，
即该方程的解为 ；
【小问4详解】
解： ，
分母化为整数，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，系数化1，得： ，
即该方程的解为 ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，属于基础题，掌握解一元一次方程的基本步骤并正确计算是解题的关
键．
四、解答题（共30分，第24题6分，第25题3分，第26题4分，第27题5分，第28－29
题，每题6分）
24. 某商场计划购进甲，乙两种空气净化机共500台，这两种空气净化机的进价、售价如下表：
进价 售价
（元/台） （元/台）
甲种空气净化
3000 3500
机
乙种空气净化
8500 10000
机
解答下列问题：
（1）按售价售出一台甲种空气净化机的利润是 元．
（2）若两种空气净化机都能按售价卖出，问如何进货能使利润恰好为450 000元？
【答案】（1）500；（2）商场购进甲种空气净化机300台，购进乙种空气净化机200台．
【解析】
【
分析】（1）运用“利润=售价-进价”即可求出；
（2）设商场购进乙种空气净化机x台，进而得出购进甲种空气净化机（500-x）台，根据“利润恰好为
450000”列出方程即可求解.
【详解】解：（1）由表格中的数据得到：3500﹣3000=500（元）；
故答案是：500；
（2）设商场购进乙种空气净化机x台，则购进甲种空气净化机（500﹣x）台，
由题意，得
（3500﹣3000）（500﹣x）+（10000﹣8500）x=450000，
解得：x=200．
故购进甲种空气净化机500﹣200=300．
答：商场购进甲种空气净化机300台，购进乙种空气净化机200台．
【点睛】本题主要是一元一次方程的应用问题，试着找出题中的等量关系；25. 已知线段AB，利用无刻度的直尺和圆规，作线段AC，使点B为线段AC的中点，要求：不写作法，保
留作图痕迹．
【答案】图形见解析．
【解析】
【分析】在射线AB上截取 ，再截取 则AC即为所求．
【详解】如图所示：AC即为所求．
【点睛】本题考查基本作图．按照作图方法正确作图即可.
26. 如图，点A在线段CB上， ，点D是线段BC的中点．若 ，求线段AD的长．
【答案】1
【解析】
【分析】根据点A在线段CB上，AC＝ AB，点D是线段BC的中点，CD＝3，可以求得BC的长，从而
可以求得CA的长，从而得到AD的长．
【详解】∵点D是线段BC的中点，CD＝3，
∴BC＝2CD＝6，
∵AC＝ AB，AC+AB＝CB，
∴AC＝2，AB＝4，
∴AD＝CD﹣AC＝3﹣2＝1，
【点睛】本题考查线段的和差计算，解题的关键是准确识图求出各线段的长．
27. 已知关于x的方程中， 的解比 的解大1，求a的值．
【答案】【解析】
【分析】分别求出两个一元一次方程的解，再根据 的解比 的解大1，建立关于
a的方程，解方程即可．
【详解】解；
移项得： ，
系数化为1得： ；
移项点； ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
∵ 的解比 的解大1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确求出对应方程的解是解题的关键．
28. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线．
(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；
(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；
(3)当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．(用含α的代数式表示)【答案】 (1) 30°；(2) 120°或60°；(3)90°＋ 或90°－ .
【解析】
【详解】试题分析：（1）直接由角平分线的意义得出答案即可；
（2）分两种情况：OE在OC的上面，OE在OC的下面，利用角的和与差求得答案即可；
（3）类比（2）中的答案得出结论即可．
试题解析：解：（1）∵OC是∠AOB的平分线（已知），∴∠AOC= ∠AOB，∵∠AOB=60°，∴∠AOC=30°．
（2）∵OE⊥OC，∴∠EOC=90°，如图1，∠AOE=∠COE+∠COA=90°+30°=120°．
如图2，∠AOE=∠COE﹣∠COA=90°﹣30°=60°．
（3）∠AOE=90°+ α或∠AOE=90°﹣ α．
点睛：此题考查了角的计算，以及角平分线定义，分类考虑，类比推理是解决问题的关键．
29. 如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度
沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间
为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：
BP＝_______，AQ＝_______；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝ AB时，求t的值．
【答案】(1) 5－t ，10－2t；（2）8；(3) t=12.5或7.5．
【解析】【分析】（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根据
两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；
（2）先求出当t=2时，P点对应的有理数为10+2=12，Q点对应的有理数为2×2=4，再根据两点间的距离
公式即可求出PQ的长；
（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ=|2t
﹣（10+t）|=|t﹣10|，根据PQ= AB列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，∴BP=15
﹣（10+t）=5﹣t，AQ=10﹣2t．
故答案为5﹣t，10﹣2t；
（2）当t=2时，P点对应的有理数为10+2=12，Q点对应的有理数为2×2=4，
所以PQ=12﹣4=8；
（3）∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，
∴PQ=|2t﹣（10+t）|=|t﹣10|，
∵PQ= AB，
∴|t﹣10|=2.5，
解得t=12.5或7.5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，
（3）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
