当前位置:首页>文档>2021年中考江苏省无锡中考数学试卷及答案_江苏省中考_01江苏省13市中考历年真题2008-2025新_、中考全套_江苏省中考历年真题_江苏省中考数学2008-2024

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2021年江苏省无锡市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.) 1.﹣ 的相反数是( ) A.﹣ B. C.3 D.﹣3 2.函数y= 中自变量x的取值范围是( ) A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≠2 3.已知一组数据:58,53,55,52,54,51,55,这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A.54,55 B.54,54 C.55,54 D.52,55 4.方程组 的解是( ) A. B. C. D. 5.下列运算正确的是( ) A.a2+a=a3 B.(a2)3=a5 C.a8÷a2=a4 D.a2•a3=a5 6.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 7.如图,D、E、F分别是△ABC各边中点,则以下说法错误的是( )A.△BDE和△DCF的面积相等 B.四边形AEDF是平行四边形 C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形 D.若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形 8.一次函数y=x+n的图象与x轴交于点B,与反比例函数y= (m>0)的图象交于点A (1,m),且△AOB的面积为1,则m的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点 P 是△ABC 所在平面内一点,则 PA2+PB2+PC2取得最小值时,下列结论正确的是( ) A.点P是△ABC三边垂直平分线的交点 B.点P是△ABC三条内角平分线的交点 C.点P是△ABC三条高的交点 D.点P是△ABC三条中线的交点 10.设P(x,y ),Q(x,y )分别是函数C ,C 图象上的点,当a≤x≤b时,总有﹣ 1 2 1 2 1≤y ﹣y ≤1恒成立,则称函数C ,C 在a≤x≤b上是“逼近函数”,a≤x≤b为“逼 1 2 1 2 近区间”.则下列结论: ①函数y=x﹣5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”; ②函数y=x﹣5,y=x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”; ③0≤x≤1是函数y=x2﹣1,y=2x2﹣x的“逼近区间”; ④2≤x≤3是函数y=x﹣5,y=x2﹣4x的“逼近区间”. 其中,正确的有( ) A.②③ B.①④ C.①③ D.②④ 二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需写出解答过程,请把答案直接 填写在答题卡上相应的位置.) 11.(2分)分解因式:2x3﹣8x= . 12.(2分)2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆,在火星上首次留下中国印迹,迈出我国星际探测征程的重要一步.目前探测器距离地球约 320000000 千米,320000000这个数据用科学记数法可表示为 . 13.(2分)用半径为50,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的 底面半径为 . 14.(2分)请写出一个函数表达式,使其图象在第二、四象限且关于原点对称: . 15.(2分)一条上山直道的坡度为1:7,沿这条直道上山,每前进100米所上升的高度 为 米. 16.(2分)下列命题中,正确命题的个数为 . ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 17.(2分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2 ,AC=6,点E在线段AC上, 且AE=1,D是线段BC上的一点,连接DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折,得到四 边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上时,AF= . 18.(2分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点C为y轴正半轴上的一个动点, 过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点,且CB=3AC,P为CB的中点, 设点 P 的坐标为 P(x,y)(x>0),写出 y 关于 x 的函数表达式为: .三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤等.) 19.(8分)计算: (1)|﹣ |﹣(﹣2)3+sin30°; (2) ﹣ . 20.(8分)(1)解方程:(x+1)2﹣4=0; (2)解不等式组: . 21.(8分)已知:如图,AC,DB相交于点O,AB=DC,∠ABO=∠DCO. 求证:(1)△ABO≌△DCO; (2)∠OBC=∠OCB. 22.(8分)将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同) 放在盒子中,搅匀后从中任意取出1张卡片,记录后放回、搅匀,再从中任意取出1张 卡片.求下列事件发生的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) (1)取出的2张卡片数字相同; (2)取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数字为“3”. 23.(8分)某企业为推进全民健身活动,提升员工身体素质,号召员工开展健身锻炼活 动,经过两个月的宣传发动,员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况,现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼 的次数,并将调查所得的数据整理如下: 某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表 锻炼次数x 0<x≤5 5<x≤10 10<x≤15 15<x≤20 20<x≤25 25<x≤30 (代号) (A) (B) (C) (D) (E) (F) 频数 10 a 68 c 24 6 频率 0.05 b 0.34 d 0.12 0.03 (1)表格中a= ; (2)请把扇形统计图补充完整;(只需标注相应的数据) (3)请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人? 24.(8分)如图,已知锐角△ABC中,AC=BC. (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:作∠ACB的平分线CD;作△ABC的外接 圆 O;(不写作法,保留作图痕迹) (⊙ 2 ) 在 ( 1 ) 的 条 件 下 , 若 AB = , O 的 半 径 为 5 , 则 sinB = ⊙ .(如需画草图,请使用图2) 25.(8分)如图,四边形ABCD内接于 O,AC是 O的直径,AC与BD交于点E,PB 切 O于点B. ⊙ ⊙ (⊙1)求证:∠PBA=∠OBC; (2)若∠PBA=20°,∠ACD=40°,求证:△OAB∽△CDE.26.(8分)为了提高广大职工对消防知识的学习热情,增强职工的消防意识,某单位工 会决定组织消防知识竞赛活动,本次活动拟设一、二等奖若干名,并购买相应奖品.现 有经费1275元用于购买奖品,且经费全部用完,已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单 价之比为4:3.当用600元购买一等奖奖品时,共可购买一、二等奖奖品25件. (1)求一、二等奖奖品的单价; (2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件,则共有哪几种购买方式? 27.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=﹣x+3与x轴交于点B,与y 轴交于点C,二次函数y=ax2+2x+c的图象过B、C两点,且与x轴交于另一点A,点M 为线段OB上的一个动点,过点 M作直线l平行于y轴交BC于点F,交二次函数y= ax2+2x+c的图象于点E. (1)求二次函数的表达式; (2)当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时,求线段EF的长度; (3)已知点N是y轴上的点,若点N、F关于直线EC对称,求点N的坐标. 28.(10分)已知四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是射线BC上的动点,以AE为 直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF,∠AEF=90°,设BE=m.(1)如图,若点E在线段BC上运动,EF交CD于点P,AF交CD于点Q,连结CF, ①当m= 时,求线段CF的长; ②在△PQE中,设边QE上的高为h,请用含m的代数式表示h,并求h的最大值; (2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y,请 直接写出y与m的关系式.2021年江苏省无锡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.) 1.﹣ 的相反数是( ) A.﹣ B. C.3 D.﹣3 【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号. 【解答】解:﹣ 的相反数是 . 故选:B. 2.函数y= 中自变量x的取值范围是( ) A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≠2 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式,解不等式 得到答案. 【解答】解:由题意得:x﹣2>0, 解得:x>2, 故选:A. 3.已知一组数据:58,53,55,52,54,51,55,这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A.54,55 B.54,54 C.55,54 D.52,55 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可. 【解答】解:∵55出现的次数最多, ∴众数为55, 将这组数据按照从小到大的顺序排列:51、52、53、54、55、55、58, 中位数为54, 故选:C. 4.方程组 的解是( )A. B. C. D. 【分析】将两个方程相加,可消去y,得到x的一元一次方程,从而解得x=4,再将x =4代入①解出y的值,即得答案. 【解答】解: , ①+②得:2x=8, ∴x=4, 把x=4代入①得:4+y=5, ∴y=1, ∴方程组的解为 . 故选:C. 5.下列运算正确的是( ) A.a2+a=a3 B.(a2)3=a5 C.a8÷a2=a4 D.a2•a3=a5 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算 法则计算得出答案. 【解答】解:A.a2+a,不是同类项,无法合并,故此选项不合题意; B.(a2)3=a6,故此选项不合题意; C.a8÷a2=a6,故此选项不合题意; D.a2•a3=a5,故此选项符合题意. 故选:D. 6.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念,对各选项分析判断即可得解.【解答】解:A.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意; B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意; D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意. 故选:A. 7.如图,D、E、F分别是△ABC各边中点,则以下说法错误的是( ) A.△BDE和△DCF的面积相等 B.四边形AEDF是平行四边形 C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形 D.若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形 【分析】根据矩形的判定定理,菱形的判定定理,三角形中位线定理判断即可. 【解答】解:A.连接EF, ∵D、E、F分别是△ABC各边中点, ∴EF∥BC,BD=CD, 设EF和BC间的距离为h, ∴S△BDE = BD•h,S△DCE = CD•h, ∴S△BDE =S△DCE , 故本选项不符合题意; B.∵D、E、F分别是△ABC各边中点, ∴DE∥AC,DF∥AB, ∴DE∥AF,DF∥AE, ∴四边形AEDF是平行四边形, 故本选项不符合题意; C.∵D、E、F分别是△ABC各边中点, ∴DE= AC,DF= AB, 若AB=BC,则DE=DF,∵四边形AEDF是平行四边形, ∴四边形AEDF是菱形, 故本选项符合题意; D.∵四边形AEDF是平行四边形, ∴若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形, 故本选项不符合题意; 故选:C. 8.一次函数y=x+n的图象与x轴交于点B,与反比例函数y= (m>0)的图象交于点A (1,m),且△AOB的面积为1,则m的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】由已知得B(﹣n,0),而A(1,m)在一次函数y=x+n的图象上,可得n= m﹣1,即B(1﹣m,0),根据△AOB的面积为1,可列方程 |1﹣m|•m=1,即可解得 m=2. 【解答】解:在y=x+n中,令y=0,得x=﹣n, ∴B(﹣n,0), ∵A(1,m)在一次函数y=x+n的图象上, ∴m=1+n,即n=m﹣1, ∴B(1﹣m,0), ∵△AOB的面积为1,m>0, ∴ OB•|y |=1,即 |1﹣m|•m=1, A 解得m=2或m=﹣1(舍去), ∴m=2, 故选:B. 9.在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点 P 是△ABC 所在平面内一点,则PA2+PB2+PC2取得最小值时,下列结论正确的是( ) A.点P是△ABC三边垂直平分线的交点 B.点P是△ABC三条内角平分线的交点 C.点P是△ABC三条高的交点 D.点P是△ABC三条中线的交点 【分析】过P作PD⊥AC于D,过P作PE⊥AB于E,延长CP交AB于M,延长BP交 AC于N,设AD=PE=x,AE=DP=y,则AP2+CP2+BP2=3(x﹣2)2+3(y﹣ )2+ ,当x=2,y= 时,AP2+CP2+BP2的值最大,此时AD=PE=2,AE=PD= , 由 = ,得AM=4,M是AB的中点,同理可得AN= AC,N为AC中点,即P是 △ABC三条中线的交点. 【解答】解:过P作PD⊥AC于D,过P作PE⊥AB于E,延长CP交AB于M,延长 BP交AC于N,如图: ∵∠A=90°,PD⊥AC,PE⊥AB, ∴四边形AEPD是矩形, 设AD=PE=x,AE=DP=y, Rt△AEP中,AP2=x2+y2, Rt△CDP中,CP2=(6﹣x)2+y2, Rt△BEP中,BP2=x2+(8﹣y)2, ∴AP2+CP2+BP2=x2+y2+(6﹣x)2+y2+x2+(8﹣y)2 =3x2﹣12x+3y2﹣16y+100 =3(x﹣2)2+3(y﹣ )2+ ,∴x=2,y= 时,AP2+CP2+BP2的值最大, 此时AD=PE=2,AE=PD= , ∵∠A=90°,PD⊥AC, ∴PD∥AB, ∴ = ,即 = , ∴AM=4, ∴AM= AB,即M是AB的中点, 同理可得AN= AC,N为AC中点, ∴P是△ABC三条中线的交点, 故选:D. 10.设P(x,y ),Q(x,y )分别是函数C ,C 图象上的点,当a≤x≤b时,总有﹣ 1 2 1 2 1≤y ﹣y ≤1恒成立,则称函数C ,C 在a≤x≤b上是“逼近函数”,a≤x≤b为“逼 1 2 1 2 近区间”.则下列结论: ①函数y=x﹣5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”; ②函数y=x﹣5,y=x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”; ③0≤x≤1是函数y=x2﹣1,y=2x2﹣x的“逼近区间”; ④2≤x≤3是函数y=x﹣5,y=x2﹣4x的“逼近区间”. 其中,正确的有( ) A.②③ B.①④ C.①③ D.②④ 【分析】根据当a≤x≤b时,总有﹣1≤y ﹣y ≤1恒成立,则称函数C ,C 在a≤x≤b 1 2 1 2 上是“逼近函数”,a≤x≤b为“逼近区间”,逐项进行判断即可. 【解答】解:①y ﹣y =﹣2x﹣7,在1≤x≤2上,当x=1时,y ﹣y 最大值为﹣9,当 1 2 1 2 x=2时,y ﹣y 最小值为﹣11,即﹣11≤y ﹣y ≤﹣9,故函数y=x﹣5,y=3x+2在 1 2 1 2 1≤x≤2上是“逼近函数”不正确; ②y ﹣y =﹣x2+5x﹣5,在3≤x≤4上,当x=3时,y ﹣y 最大值为1,当x=4时,y 1 2 1 2 1 ﹣y 最小值为﹣1,即﹣1≤y ﹣y ≤1,故函数y=x﹣5,y=x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼 2 1 2 近函数”正确;③y ﹣y =﹣x2+x﹣1,在0≤x≤1上,当x= 时,y ﹣y 最大值为﹣ ,当x=0或x 1 2 1 2 =1时,y ﹣y 最小值为﹣1,即﹣1≤y ﹣y ≤﹣ ,当然﹣1≤y ﹣y ≤1也成立,故 1 2 1 2 1 2 0≤x≤1是函数y=x2﹣1,y=2x2﹣x的“逼近区间”正确; ④y ﹣y =﹣x2+5x﹣5,在2≤x≤3上,当x= 时,y ﹣y 最大值为 ,当x=2或x= 1 2 1 2 3时,y ﹣y 最小值为1,即1≤y ﹣y ≤ ,故2≤x≤3是函数y=x﹣5,y=x2﹣4x的 1 2 1 2 “逼近区间”不正确; ∴正确的有②③, 故选:A. 二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需写出解答过程,请把答案直接 填写在答题卡上相应的位置.) 11.(2分)分解因式:2x3﹣8x= 2 x ( x ﹣ 2 )( x + 2 ) . 【分析】先提取公因式2x,再对余下的项利用平方差公式分解因式. 【解答】解:2x3﹣8x, =2x(x2﹣4), =2x(x+2)(x﹣2). 12.(2分)2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆,在火星上首次 留下中国印迹,迈出我国星际探测征程的重要一步.目前探测器距离地球约 320000000 千米,320000000这个数据用科学记数法可表示为 3.2×1 0 8 . 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的 值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相 同. 【解答】解:320000000=3.2×108, 故选:3.2×108. 13.(2分)用半径为50,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的 底面半径为 . 【分析】圆锥的底面圆半径为r,根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长,列方程求解.【解答】解:设圆锥的底面圆半径为r,依题意,得 2 r= , π 解得r= . 故答案为: . 14.(2分)请写出一个函数表达式,使其图象在第二、四象限且关于原点对称: y =﹣ 答案不唯一 . 【分析】根据反比例函数的性质得到k<0,然后取k=﹣1即可得到满足条件的函数解 析式. 【解答】解:若反比例函数y= (k是常数,且k≠0)的图象在第二、四象限,则k< 0, 故k可取﹣1,此时反比例函数解析式为y=﹣ . 故答案为:y=﹣ 答案不唯一. 15.(2分)一条上山直道的坡度为1:7,沿这条直道上山,每前进100米所上升的高度 为 1 0 米. 【分析】设上升的高度为x米,根据坡度的概念得到水平距离为7x米,根据勾股定理列 出方程,解方程得到答案. 【解答】解:设上升的高度为x米, ∵上山直道的坡度为1:7, ∴水平距离为7x米, 由勾股定理得:x2+(7x)2=1002, 解得:x =10 ,x =﹣10 (舍去), 1 2 故答案为:10 . 16.(2分)下列命题中,正确命题的个数为 1 . ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似 【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项. 【解答】解:①所有的正方形都相似,正确,符合题意; ②所有的菱形都相似,错误,不符合题意; ③边长相等的两个菱形都相似,错误,不符合题意; ④对角线相等的两个矩形都相似,错误,不符合题意, 正确的有1个, 故答案为:1. 17.(2分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2 ,AC=6,点E在线段AC上, 且AE=1,D是线段BC上的一点,连接DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折,得到四 边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上时,AF= . 【分析】由折叠的性质可得AB=FG=2 ,AE=EF=1,∠BAC=∠EFG=90°,在 Rt△EFG 中,由勾股定理可求 EG=3,由锐角三角函数可求 EH,HF 的长,在 Rt△AHF中,由勾股定理可求AF. 【解答】解:如图,过点F作FH⊥AC于H, ∵将四边形ABDE沿直线DE翻折,得到四边形FGDE, ∴AB=FG=2 ,AE=EF=1,∠BAC=∠EFG=90°, ∴EG= = =3,∵sin∠FEG= , ∴ , ∴HF= , ∵cos∠FEG= , ∴ , ∴EH= , ∴AH=AE+EH= , ∴AF= = = , 故答案为: . 18.(2分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点C为y轴正半轴上的一个动点, 过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点,且CB=3AC,P为CB的中点, 设点P的坐标为P(x,y)(x>0),写出y关于x的函数表达式为: y = x 2 . 【分析】过A作AD⊥y轴于D,过B作BE⊥y轴于E,又CB=3AC,得CE=3CD,BE =3AD,设 AD=m,则 BE=3m,A(﹣m,m2),B(3m,9m2),可得 C(0, 3m2),而P为CB的中点,故P( m,6m2),即可得y= x2. 【解答】解:过A作AD⊥y轴于D,过B作BE⊥y轴于E,如图:∵AD⊥y轴,BE⊥y轴, ∴AD∥BE, ∴ = = , ∵CB=3AC, ∴CE=3CD,BE=3AD, 设AD=m,则BE=3m, ∵A、B两点在二次函数y=x2的图象上, ∴A(﹣m,m2),B(3m,9m2), ∴OD=m2,OE=9m2, ∴ED=8m2, 而CE=3CD, ∴CD=2m2,OC=3m2, ∴C(0,3m2), ∵P为CB的中点, ∴P( m,6m2), 又已知P(x,y), ∴ , ∴y= x2; 故答案为:y= x2. 三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.) 19.(8分)计算: (1)|﹣ |﹣(﹣2)3+sin30°; (2) ﹣ . 【分析】(1)根据绝对值的意义,乘方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求 出答案. (2)根据分式的加减运算法则即可求出答案. 【解答】解:(1)原式= +8+ =1+8 =9. (2)原式= ﹣ = = . 20.(8分)(1)解方程:(x+1)2﹣4=0; (2)解不等式组: . 【分析】(1)利用直接开平方求解即可. (2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 【解答】解:(1)∵(x+1)2﹣4=0, ∴(x+1)2=4, ∴x+1=±2, 解得:x =1,x =﹣3. 1 2 (2) , 由①得,x≥1, 由②得,x<3,故不等式组的解集为:1≤x<3. 21.(8分)已知:如图,AC,DB相交于点O,AB=DC,∠ABO=∠DCO. 求证:(1)△ABO≌△DCO; (2)∠OBC=∠OCB. 【分析】(1)由已知条件,结合对顶角相的可以利用AAS判定△ABO≌△DCO; (2)由等边对等角得结论. 【解答】证明:(1)∵∠AOB=∠COD, ∠ABO=∠DCO, AB=DC, 在△ABO和△DCO中, , ∴△ABO≌△DCO(AAS); (2)由(1)知,△ABO≌△DCO, ∴OB=OC ∴∠OBC=∠OCB. 22.(8分)将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同) 放在盒子中,搅匀后从中任意取出1张卡片,记录后放回、搅匀,再从中任意取出1张 卡片.求下列事件发生的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) (1)取出的2张卡片数字相同; (2)取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数字为“3”. 【分析】(1)画树状图,共有16种等可能的结果,取出的2张卡片数字相同的结果有 4种,再由概率公式求解即可; (2)由(1)可知,共有16种等可能的结果,取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数 字为“3”的结果有7种,再由概率公式求解即可. 【解答】解:(1)画树状图如图:共有16种等可能的结果,取出的2张卡片数字相同的结果有4种, ∴取出的2张卡片数字相同的概率为 = ; (2)由(1)可知,共有16种等可能的结果,取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数 字为“3”的结果有7种, ∴取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数字为“3”的概率为 . 23.(8分)某企业为推进全民健身活动,提升员工身体素质,号召员工开展健身锻炼活 动,经过两个月的宣传发动,员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查本企业员工 上月参加健身锻炼的情况,现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼 的次数,并将调查所得的数据整理如下: 某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表 锻炼次数x 0<x≤5 5<x≤10 10<x≤15 15<x≤20 20<x≤25 25<x≤30 (代号) (A) (B) (C) (D) (E) (F) 频数 10 a 68 c 24 6 频率 0.05 b 0.34 d 0.12 0.03 (1)表格中a= 4 2 ; (2)请把扇形统计图补充完整;(只需标注相应的数据) (3)请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人? 【分析】(1)根据B组所占的百分比是21%,即可求得a的值; (2)根据其他各组的频率求出D组的频率得出C组、D组所占的百分比,补全扇形统 计图即可.(3)利用总人数1500乘以对应的频率即可求得. 【解答】解:(1)a=200×21%=42(人), 故答案为:42; (2)b=21%=0.21, C组所占的百分比c=0.34=34%, D组所占的百分比是:d=1﹣0.05﹣0.21﹣0.34﹣0.12﹣0.03=0.25=25%, 扇形统计图补充完整如图: ; (3)估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1500×(0.34+0.25+0.12+0.03) =1110(人). 答:估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人. 24.(8分)如图,已知锐角△ABC中,AC=BC. (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:作∠ACB的平分线CD;作△ABC的外接 圆 O;(不写作法,保留作图痕迹) ⊙ (2)在(1)的条件下,若AB= , O的半径为5,则sinB= .(如需画草 ⊙ 图,请使用图2) 【分析】(1)利用尺规作出∠ACB的角平分线CD,作线段AC的垂直平分线交CD于 点O,以O为圆心,OC为半径作 O即可. (2)连接OA,设射线CD交AB于⊙E.利用勾股定理求出OE,EC,再利用勾股定理求 出BC,可得结论.【解答】解:(1)如图,射线CD, O即为所求. ⊙ (2)连接OA,设射线CD交AB于E. ∵CA=CB,CD平分∠ACB, ∴CD⊥AB,AE=EB= , ∴OE= = = , ∴CE=OC+OE=5+ = , ∴AC=BC= = =8, ∴sinB= = = . 故答案为: . 25.(8分)如图,四边形ABCD内接于 O,AC是 O的直径,AC与BD交于点E,PB 切 O于点B. ⊙ ⊙ (⊙1)求证:∠PBA=∠OBC; (2)若∠PBA=20°,∠ACD=40°,求证:△OAB∽△CDE.【分析】(1)根据圆周角定理和切线的性质证得∠ACB+∠BAC=∠PBC+∠ABO= 90°,结合等腰三角形的性质即可证得结论; (2)由三角形外角的性质求出∠AOB=∠ACB+∠OBC=40°,得到AOB=∠ACD,由 圆周角的性质得到∠CDE=∠BAO,根据相似三角形的判定即可证得△OAB∽△CDE. 【解答】证明:(1)∵AC是 O的直径, ∴∠ABC=90°, ⊙ ∴∠ACB+∠BAC=90°, ∵PB切 O于点B, ∴∠PBA⊙+∠ABO=90°, ∵OA=OB=OC, ∴∠BAO=∠ABO,∠OBC=∠ACB, ∴∠OBC+∠ABO=∠PBC+∠ABO=90°, ∴∠PBA=∠OBC; (2)由(1)知,∠PBA=∠OBC=∠ACB, ∵∠PBA=20°, ∴∠OBC=∠ACB=20°, ∴∠AOB=∠ACB+∠OBC=20°+20°=40°, ∵∠ACD=40°, ∴∠AOB=∠ACD, ∵ = , ∴∠CDE=∠CDB=∠BAC=∠BAO, ∴△OAB∽△CDE. 26.(8分)为了提高广大职工对消防知识的学习热情,增强职工的消防意识,某单位工 会决定组织消防知识竞赛活动,本次活动拟设一、二等奖若干名,并购买相应奖品.现 有经费1275元用于购买奖品,且经费全部用完,已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4:3.当用600元购买一等奖奖品时,共可购买一、二等奖奖品25件. (1)求一、二等奖奖品的单价; (2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件,则共有哪几种购买方式? 【分析】(1)设一等奖奖品单价为4x元,则二等奖奖品单价为3x元,根据数量=总价 ÷单价,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出x的值,再将其代入4x, 3x中即可求出结论; (2)设购买一等奖奖品m件,二等奖奖品n件,利用总价=单价×数量,即可得出关于 m,n的二元一次方程,结合m,n均为正整数且4≤m≤10,即可得出各购买方案. 【解答】解:(1)设一等奖奖品单价为4x元,则二等奖奖品单价为3x元, 依题意得: + =25, 解得:x=15, 经检验,x=15是原方程的解,且符合题意, ∴4x=60,3x=45. 答:一等奖奖品单价为60元,二等奖奖品单价为45元. (2)设购买一等奖奖品m件,二等奖奖品n件, 依题意得:60m+45n=1275, ∴n= . ∵m,n均为正整数,且4≤m≤10, ∴ 或 或 , ∴共有3种购买方案, 方案1:购买4件一等奖奖品,23件二等奖奖品; 方案2:购买7件一等奖奖品,19件二等奖奖品; 方案3:购买10件一等奖奖品,15件二等奖奖品. 27.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=﹣x+3与x轴交于点B,与y 轴交于点C,二次函数y=ax2+2x+c的图象过B、C两点,且与x轴交于另一点A,点M 为线段OB上的一个动点,过点 M作直线l平行于y轴交BC于点F,交二次函数y= ax2+2x+c的图象于点E. (1)求二次函数的表达式; (2)当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时,求线段EF的长度;(3)已知点N是y轴上的点,若点N、F关于直线EC对称,求点N的坐标. 【分析】(1)由y=﹣x+3得B(3,0),C(0,3),代入y=ax2+2x+c即得二次函数 的表达式为y=﹣x2+2x+3; (2)由y=﹣x2+2x+3得A(﹣1,0),OB=OC,AB=4,BC=3 ,故∠ABC= ∠MFB=∠CFE=45°,以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,B和F为对应点, 设 E(m,﹣m2+2m+3),则 F(m,﹣m+3),EF=﹣m2+3m,CF= m, ①△ABC∽△CFE时, = ,可得EF= ,②△ABC∽△EFC时, = ,可 得EF= ; (3)连接NE,由点N、F关于直线EC对称,可得CF=EF=CN,故﹣m2+3m= m,解得m=0(舍去)或m=3﹣ ,即得CN=CF= m=3 ﹣2,N(0,3 +1). 【解答】解:(1)在y=﹣x+3中,令x=0得y=3,令y=0得x=3, ∴B(3,0),C(0,3), 把B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c得: ,解得 , ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3; (2)如图:在y=﹣x2+2x+3中,令y=0得x=3或x=﹣1, ∴A(﹣1,0), ∵B(3,0),C(0,3), ∴OB=OC,AB=4,BC=3 , ∴∠ABC=∠MFB=∠CFE=45°, ∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,B和F为对应点, 设E(m,﹣m2+2m+3),则F(m,﹣m+3), ∴EF=(﹣m2+2m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m,CF= = m, ①△ABC∽△CFE时, = , ∴ = , 解得m= 或m=0(舍去), ∴EF= , ②△ABC∽△EFC时, = , ∴ = , 解得m=0(舍去)或m= , ∴EF= , 综上所述,EF= 或 . (3)连接NE,如图:∵点N、F关于直线EC对称, ∴∠NCE=∠FCE,CF=CN, ∵EF∥y轴, ∴∠NCE=∠CEF, ∴∠FCE=∠CEF, ∴CF=EF=CN, 由(2)知: 设E(m,﹣m2+2m+3),则F(m,﹣m+3),EF=(﹣m2+2m+3)﹣(﹣m+3)=﹣ m2+3m,CF= = m, ∴﹣m2+3m= m,解得m=0(舍去)或m=3﹣ , ∴CN=CF= m=3 ﹣2, ∴N(0,3 +1). 28.(10分)已知四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是射线BC上的动点,以AE为 直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF,∠AEF=90°,设BE=m. (1)如图,若点E在线段BC上运动,EF交CD于点P,AF交CD于点Q,连结CF, ①当m= 时,求线段CF的长;②在△PQE中,设边QE上的高为h,请用含m的代数式表示h,并求h的最大值; (2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y,请 直接写出y与m的关系式. 【分析】(1)①过F作FG⊥BC于G,连接CF,先证明△ABE≌△EGF,可得FG= BE= ,EG=AB=BC,则EG﹣EC=BC﹣EC,即CG=BE= ,再在Rt△CGF中, 即可求CF= ; ②△ABE绕A逆时针旋转90°,得△ADE',过P作PH⊥EQ于H,由△ABE≌△ADE', ∠B=∠ADE'=90°,∠BAE=∠DAE',∠AEB=∠E',AE=AE',BE=DE',可得C、 D、E'共线,由△EAQ≌△E'AQ,可得∠E'=∠AEQ,故∠AEB=∠AEQ,从而∠QEP= 90°﹣∠AEQ=90°﹣∠AEB=∠CEP,即 EF 是∠QEC 的平分线,有 PH=PC,用 △ABE∽△ECP,可求CP=m(1﹣m),即可得h=﹣m2+m; (2)分两种情况:①当m< 时,由△ABE∽△ECP,可求HG=﹣m2+ m,根据 MG∥CD,G为BC中点,可得MN= DQ,设DQ=x,则EQ=x+m,CQ=1﹣x, Rt△EQC中,EC2+CQ2=EQ2,可得MN= ,故y=NH=MG﹣HG﹣MN=1﹣ m﹣ +m2, ②当m> 时,由MG∥AB,可得HG= ,同①可得MN= DQ= ,即 可得y= , 【解答】解:(1)①过F作FG⊥BC于G,连接CF,如图:∵四边形ABCD是正方形,∠AEF=90°, ∴∠BAE=90°﹣∠AEB=∠EFG,∠B=∠G=90°, ∵等腰直角三角形AEF, ∴AE=EF, 在△ABE和△EGF中, , ∴△ABE≌△EGF(AAS), ∴FG=BE= ,EG=AB=BC, ∴EG﹣EC=BC﹣EC,即CG=BE= , 在Rt△CGF中,CF= = ; ②△ABE绕A逆时针旋转90°,得△ADE',过P作PH⊥EQ于H,如图: ∵△ABE绕A逆时针旋转90°,得△ADE', ∴△ABE≌△ADE',∠B=∠ADE'=90°,∠BAE=∠DAE',∠AEB=∠E',AE=AE', BE=DE', ∴∠ADC+∠ADE'=180°, ∴C、D、E'共线,∵∠BAE+∠EAD=90°, ∴∠DAE'+∠EAD=90°, ∵∠EAF=45°, ∴∠EAF=∠E'AF=45, 在△EAQ和△E'AQ中, , ∴△EAQ≌△E'AQ(SAS), ∴∠E'=∠AEQ,EQ=E'Q, ∴∠AEB=∠AEQ,EQ=DQ+DE'=DQ+BE, ∴∠QEP=90°﹣∠AEQ=90°﹣∠AEB=∠CEP,即EF是∠QEC的平分线, 又∠C=90°,PH⊥EQ, ∴PH=PC, ∵∠BAE=∠CEP,∠B=∠C=90°, ∴△ABE∽△ECP, ∴ = ,即 = , ∴CP=m(1﹣m), ∴PH=h=﹣m2+m=﹣(m﹣ )2+ , ∴m= 时,h最大值是 ; (2)①当m< 时,如图: ∵∠BAE=90°﹣∠AEB=∠HEG,∠B=∠HGE=90°, ∴△ABE∽△ECP,∴ = ,即 = , ∴HG=﹣m2+ m, ∵MG∥CD,G为BC中点, ∴MN为△ADQ的中位线, ∴MN= DQ, 由(1)知:EQ=DQ+BE, 设DQ=x,则EQ=x+m,CQ=1﹣x, Rt△EQC中,EC2+CQ2=EQ2, ∴(1﹣m)2+(1﹣x)2=(x+m)2, 解得x= , ∴MN= , ∴y=NH=MG﹣HG﹣MN =1﹣(﹣m2+ m)﹣ =1﹣ m﹣ +m2, ②当m> 时,如图: ∵MG∥AB, ∴ = ,即 = ,∴HG= , 同①可得MN= DQ= , ∴HN=MG﹣HG﹣MN =1﹣ ﹣ = , ∴y= , 综上所述,y=1﹣ m﹣ +m2或y= .
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