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专题 26 交流电的产生及描述
[题型导航]
题型一 交变电流的产生及变化规律...................................................................................................1
题型二 交流电有效值的求解...............................................................................................................5
题型三 交变电流“四值”的比较.....................................................................................................10
[考点分析]
题型一 交变电流的产生及变化规律
1．交变电流的产生
(1)线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．
(2)两个特殊位置的特点：
①线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．
②线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e最大，i最大，电流方向不改变．
(3)电流方向的改变：线圈通过中性面时，电流方向发生改变，一个周期内线圈两次通过中性面，因
此电流的方向改变两次．
(4)交变电动势的最大值E ＝nBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关．
m
2．交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
规律
函数表达式 图象
物理量
磁通量 Φ＝Φ cos ωt＝BScos ωt
m
电动势 e＝E sin ωt＝nBSωsin ωt
m
电压 u＝U sin ωt＝sin ωt
m电流 i＝I sin ωt＝sin ωt
m
[例题1] 如图所示，一正方形线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速
转动，沿着OO′方向观察，线圈沿逆时针方向转动。已知匀强磁场的磁感应强度为 B，线圈
匝数为n，边长为l，电阻为R，转动的角速度为 。则当线圈转至图示位置时，下列说法不正
确的是（ ） ω
A．线圈中感应电流的方向为abcda
nBl2ω
B．线圈中的感应电流为
R
C．穿过线圈的磁通量为0
D．穿过某匝线圈磁通量的变化率为Bl2
【解答】解：A、图示时刻，ad速度方向ω向里，bc速度方向向外，根据右手定则判断出ad中感
应电流方向为a→d，bc中电流方向为c→b，线圈中感应电流的方向为adcba，故A错误；
nBl2ω
B、线圈中的感应电动势为E＝nBS ＝nBl2 ，线圈中的感应电流为I= ，故B正确；
R
ω ω
ΔΦ
CD、图示时刻线圈与磁场平行，穿过线圈的磁通量为0。由法拉第电磁感应定律得：E＝n
Δt
ΔΦ
，则磁通量的变化率为 =Bl2 ，故CD正确。
Δt
ω
本题选错误的，
故选：A。
[例题2] 如图（a）→（b）→（c）→（d）→（e）过程是交流发电机发电的示意图。线
圈的ab边连在金属滑环K上，cd边连在金属滑环L上，用导体制成的两个电刷分别压在两个
滑环上，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接。下列说法正确的是（ ）A．图（a）中，线圈平面与磁感线垂直，磁通量变化率最大
B．从图（b）开始计时，线圈中电流i随时间t变化的关系是i＝I sin t
m
C．当线圈转到图（c）位置时，感应电流最小，且感应电流方向改变ω
D．当线圈转到图（d）位置时，感应电动势最大，ab边感应电流方向为a→b
【解答】解：A、图（a）中，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，磁通量变化率为
0，故A错误；
B、图（b）中线圈与磁场平行，此时感应电流最大，则线圈中电流 i随时间t变化的关系是i＝
I cos t，故B错误；
m
C、当ω线圈转到图（c）位置时，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，产生的感应电
流最小，为零，电流方向将改变，故C正确；
D、当线圈转到图（d）位置时，磁通量最小，磁通量的变化率最大，故感应电动势最大，ab边
感应电流方向为b→a，故D错误。
故选：C。
[例题3] （多选）如图1所示，一个面积为S的矩形线圈在匀强磁场中做匀速转动，穿过
线圈的磁通量随时间变化如图2所示，下列说法正确的是（ ）
A．t 时刻线圈平面垂直于中性面
1
B．t 时刻ad边的速度方向跟磁感线垂直
2
C．t 时刻线圈平面与中性面重合
3
D．在如图1所示位置时，电流方向改变一次
【解答】解：A、t 时刻磁通量最大，线圈平面垂直于磁感线，处于中性面，故A错误；
1B、t 时刻磁通量为零，线圈平面垂直于中性面，感应电动势最大，故 ad边的速度方向跟磁感线
2
垂直，故B正确；
C、t 时刻磁通量最大，线圈平面垂直于磁感线，线圈平面与中性面重合，故C正确；
3
D、每次经过中性面位置时，电流方向发生改变，图1所示位置垂直中性面，电流方向不改变，
故D错误；
故选：BC。
[例题4] 图1是一手摇发电机，其原理可简化为矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向
的中心轴OO′匀速转动，产生随时间变化的感应电动势。
已知矩形线圈abcd的匝数为N，边长ab＝cd＝L ，bc＝ad＝L ．线圈所在处磁感应强度为B．
1 2
线圈的角速度为 ．当线圈转动到图2所示位置时，其平面与磁场方向平行。
（1）求线圈转动ω到图2位置时ab边切割磁感线产生的感应电动势大小并判断ab两端电势的高
低；
（2）从线圈处于图2位置开始计时，t时刻线圈转至截面图中虚线所示位置，推导t时刻线圈产
生的感应电动势大小为e＝NBL L cos t；
1 2
（3）如图3所示，线圈的ab、cdω边分ω别通过电流与两个滑环e、f相连，滑环e、f与二极管
D、外电阻相连，组成闭合回路。二极管具有单向导电性，即加正向电压时其电阻可忽略不计，
加反向电压时电阻可视为无穷大。已知线圈电阻为r，外电阻为R，电路其余部分电阻不计。计
算经过一段较长时间t（远大于线圈转动周期）的过程中，外电阻R上产生的热量。
L
【解答】解：（1）ab边切割磁感线产生的电动势为：E＝NBL V，其中V＝ 2
1
2
ω
1
可得：E= NBL L ，b端电势高。
1 2
2
ω
（2）线圈匀速转动过程中，ab、cd边都切割磁感线产生感应电动势，总电动势为两边产生的电
动势之和。
即：e＝2e
ab
如图，经过时间t，ab边绕OO′转过的角度 ＝ t，此时ab边的速度方向如图中所示，
θ ωv与磁场方向的垂直分量：v ＝vcos ＝vcos t
1
根据电磁感应定律，在ab边上产生的θ 感应电ω动势大小为：e
ab
＝NBL
1
vcos t
L
ω
又：v＝ 2
2
ω
由此可得：e＝NBL L cos t
1 2
（3）设线圈中感应电动ω势最ω大值为E
m
，有效值为E有 ，线圈的转动周期为T
E
m 2
( )
则有：E ＝NBL L ， √2 T E 2
m 1 2 ⋅ = 有 ⋅T
R 2 R
ω
1
得：E有 = NBL
1
L
2
2
ω
时间t内产生的总热量：Q总= E
有
2
t
R+r
R
而R上产生的热量为：Q = Q
R R+r
得：Q
R=
(NBL
1
L
2
ω) 2Rt
4(R+r) 2
1
答：（1）线圈转动到图2位置时ab边切割磁感线产生的感应电动势大小为 NBL L ；b端电
1 2
2
ω
势的高。
L
（2）根据电磁感应定律，在ab边上产生的感应电动势大小为NBL vcos t，又：v＝ 2，由此
1
2
ω ω
可得：e＝NBL L cos t。
1 2
（3）外电阻R上产
ω
生的
ω 热量为(NBL
1
L
2
ω) 2Rt
。
4(R+r) 2题型二 交流电有效值的求解
1．正弦式交流电的有效值：
I＝，U＝，E＝
2．非正弦式交流电有效值的求解需根据电流的热效应进行计算．
[例题5] 发电机的示意图如甲所示，边长为L的正方形金属框，在磁感应强度为B的匀强
磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动，阻值为R的电阻两端的电压如图乙所示。其他电阻不计，
图乙中的U 为已知量。在金属框转动一周的过程中（ ）
m
A．框内电流方向不变
1
B．电动势的有效值为 U
m
2
4BL2
C．流过电阻的电荷量为
R
D．电阻产生的焦耳热为πU BL2
m
2R
【解答】解：A、当线框转动时，框内电流方向每经过中性面一次都要变化一次，故A错误；
B、由图乙可知，电动势的最大值为U ，该电流等效为正弦式交流电，故电动势的有效值为 U
m
U ，故B错误；
= m
√2
ΔΦ
C、金属框转过半周流过电阻的电荷量为：q=I•Δt Δt 2BL2，由于有换向器，电流方向一
= =
R R
4BL2
直为正方向，所以金属框转过一周流过电阻的电荷量为：q′＝2q= ，故C正确；
RD、因为U ＝B L2，则 U ，根据焦耳定律，可知金属框转过一周电阻产生的焦耳热为：
m = m
BL2
ω ω
Q U2 2π πU BL2，故D错误。
= ⋅ = m
R ω R
故选：C。
[例题6] 如图甲所示为一台小型旋转电枢式交流发电机的构造示意图，内阻r＝1 ，外电
路电阻R ＝R ＝18 ，电路中其余电阻不计，发电机的矩形线圈在匀强磁场中以恒定的Ω角速度
2 2
绕垂直于磁场方向Ω的固定轴转动，线圈匝数 n＝10，转动过程中穿过每匝线圈的磁通量 随
ω时间t按正弦规律变化，如图乙所示，取 ＝3.14，则（ ） Φ
π
A．t＝1.57×10﹣2s时，该小型发电机的电动势为零
B．t＝3.14×10﹣2s时，矩形线圈转到中性面位置
C．串联在外电路中的交流电流表的示数为2A
D．感应电动势的最大值为20V
【解答】解：AB、在t＝1.57×10﹣2s和t＝3.14×10﹣2s时，穿过线圈内的磁通量为0，则线圈转到
中性面的垂面位置，感应电动势最大，故AB错误；
2π
CD、线圈转动过程中产生感应电动势的最大值为：E ＝nBS ＝n × =10×1.0×10﹣2
m m
T
ω Φ
2π V＝20V，有效值为：E E 10 V，故串联在外电路中的交流电流表的示数为：
× = m= √2
3.14×10-2
√2E E 10√2
= = =
I A A。故C错误，D正确。
R +r R R 18×18 =√2
12 1 2 +r +1
R +R 18+18
1 2
故选：D。
[例题7] （多选）图甲为风力发电的简易模型。在风力作用下，风叶带动与杆固连的永磁
体转动，磁铁下方的线圈与电压传感器相连。在某一风速时，传感器显示如图乙所示，则（
）
A．磁铁的转速为5 r/s
B．线圈两端电压的π有效值为6√2V
C．交变电流的电压表达式为u＝12sin5 tV
D．该交变电流可以直接加在击穿电压为π6√2V的电容器上
1
【解答】解：A、电流的周期为T＝0.4s，故磁体的转速为 n= =2.5r/s，故A错误；
T
B、通过乙图可知电压的最大值为12V，故有效值U U 6 V，故B正确
= m= √2
√2
2π
C、周期T＝0.4s，故 = =5 rad/s，故电压的表达式为U＝12sin5 t（V），故C正确
T
ω π π
D、电容器的击穿电压为交流电的最大值，而交流电的最大值大于电容器的击穿电压，故不能加
在击穿电压为6√2V的电容器上，故 D错误。
故选：BC。
[例题8] （多选）如图所示，匝数为n的正方形线圈abcd的电阻为r，线圈外接电阻R，
理想电压表与电阻R并联，线圈ab边和cd边的中点连线OO′，恰好位于磁感应强度为B的
匀强磁场的边界上，线圈绕OO′为轴以角速度 匀速转动，电压表的示数为U，下列说法中
正确的是（ ） ωA．从图示位置开始计时，电动势的表达式为e=√2Usin t
√2(R+r)U ω
B．穿过线圈的磁通量的最大值为 =
m
nRω
Φ
√2U
C．线圈从图示位置转过90°的过程中通过电阻R的电荷量为
nRω
2U2
D．线圈从图示位置转到90°位置时，电阻R的瞬时功率为
R
【解答】解：A、线圈绕OO′轴以角速度 匀速转动，产生正弦式交变电流，电压表示数：U
ω
RE
= ，
R+r
U(R+r) √2U(R+r)
E= ，感应电动势的最大值：E =√2E= ，故从图示位置开始计时，电动
m
R R
√2U(R+r)
势的表达式为e= sin t，故A错误；
R
ω
B、圈转动时，总有一条边切割磁感线，且 ac边和bd边转动的线速度大小相等，当线框平行于
L 1 1 1
磁场时，产生的感应电动势最大为：E ＝nBLv＝nBL • = nBL2 = nBS = n ，则：
m m
2 2 2 2
ω ω ω Φ ω
√2(R+r)U
= ，故B正确；
m
nRω
Φ
L2
B⋅
n△∅ 2 BL2 √2U
C、由法拉第电磁感应定律得：E= =n ，电荷量：q＝I△t＝n = ，
△t π 2(R+r) 2ωR
2ω
故C错误；
D、线圈从图示位置转到90°位置时，感应电动势最大，R两端电压最大，R两端电压的瞬时值
U'2 2U2
U′=√2U，瞬时功率：P= = ，故D正确；
R R
故选：BD。[例题9] 如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5T，边长L＝10cm的正方形线圈共100
匝，线圈总电阻r＝1 ，线圈绕垂直于磁感线的对称轴 OO'匀速转动，角速度 ＝2 rad/s，外
电路中的电阻R＝4 ，Ω求： ω π
（1）感应电动势的最Ω大值；
（2）由图示位置（线圈平面与磁感线平行）转过60°的过程中产生的平均速度感应电动势；
（3）由图示位置（线圈平面与磁感线平行）转过60°的瞬时感应电动势）；
（4）线圈转动一周产生的总热量；
1
（5）从图示位置开始的 周期内通过R的电荷量。
6
【解答】解：（1）感应电动势的最大值为：E ＝NBS ＝100×0.5×0.12×2 V＝ V。
m
√3 ω π π
×0.5×0．12
△∅ 2 3√3
（2）产生的平均感应电动势E=n =100× V = V
△t 1 2
6
π
（3）由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势为：e＝E cos 60°＝ ×0.5V= V
m
2
π
2π
（4）周期为：T= =1s
ω
E π
m 2 2
( ) ( )
线圈转动一周产生的总热量为：Q √2 √2 π2
= t= ×1J= J
R+r 4+1 10
△∅ E 1
（5）平均电动势：E=n 电流：I= 在 周期内通过电阻R的电荷量为：
△t R+r 6
q=q=I⋅△t
N△∅ NBSsin60° √3
即为：q= = = C
R+r R+r 20
答（1）感应电动势的最大值为 V；
（2）由图示位置（线圈平面与π磁感线平行）转过 60°的过程中产生的平均速度感应电动势为3√3
V；
2
π
（3）由图示位置（线圈平面与磁感线平行）转过60°的瞬时感应电动势为 V；
2
π2
（4）线圈转动一周产生的总热量为 ；
10J
1 √3
（5）从图示位置开始的 周期内通过R的电荷量为 C。
6 20
题型三 交变电流“四值”的比较
交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
物理量 物理含义 重要关系 适用情况及说明
e＝E sin ωt 计算线圈某时刻的受力情
m
瞬时值 交变电流某一时刻的值
i＝I sin ωt 况
m
E ＝nBSω
m
峰值 最大的瞬时值 讨论电容器的击穿电压
I ＝
m
(1)计算与电流的热效应
E＝ 有关的量(如电功、电功
U＝ 率、电热等)
跟交变电流的热效应等效
有效值 I＝ (2)电气设备“铭牌”上
的恒定电流的值
适用于正(余)弦式交变电 所标的一般是有效值
流 (3)保险丝的熔断电流为
有效值
交变电流图象中图线与时 ＝Bl
计算通过电路横截面的电
平均值 间轴所夹的面积与时间的 ＝n
荷量
比值 ＝
[例题1] 如图甲所示，标有“220V，40W”的电灯和标有“20 F，300V”的电容器并联
接到交流电源上，电压表为交流电压表。交流电源的输出电压如图乙μ所示，闭合开关，下列判
断正确的是（ ）T
A．t= 时刻，交流电压表V的示数为零
2
B．电灯会烧坏
C．电容器有可能被击穿
D．交流电压表V的示数保持110√2V不变
【解答】解：AD、交流电压表示数为有效值220V不变，故AD错误；
B、电压有效值正好等于灯泡额定电压，不会烧坏，故B错误；
C、电压峰值为约为311V，超过了电容器击穿电压，故C正确；
故选：C。
[例题2] 如图1所示，线圈abcd的面积是0.05m2，共100匝；线圈总电阻为1 ，外接电
Ω
1
阻R＝9 ，匀强磁场的磁感应强度为B= T，当线圈以300r/min的转速匀速旋转时，求：
π
Ω
（1）线圈中感应电动势的峰值E 。
m
（2）若线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时表达式。
1
（3）线圈转过 s时电动势的瞬时值多大？
30
（4）在图2中画出电动势随时间变化的图象，要用对应的物理量符号标清坐标系和对应的数值。
【解答】解：（1）转速为300r/min＝5r/s，则转动的角速度 ＝2 n＝10 rad/s，
1 ω π π
线圈中感应电动势的峰值E ＝NBS =100× ×0.05×10πV =50V．
m
π
ω（2）若线圈处于中性面开始计时，线圈中感应电动势的瞬时表达式e＝E sin t＝50sin10 t。
m
1 1 ω π
（3）线圈转过 s时电动势的瞬时值E=50sin10π× V =25√3V。
30 30
（4）电动势随时间的变化规律成正弦变化，如图所示。
答：（1）线圈中感应电动势的峰值为50V。
（2）若从图示位置开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时表达式为：e＝50sin10 t （V）。
1 π
（3）线圈转过 s时电动势的瞬时值为25√3V。
30
（4）在图2中画出电动势随时间变化的图象，如图所示。
[例题3] 如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab
的左侧有垂直于纸面向里（与ab垂直）的匀强磁场，磁感应强度为B．M和N是两个集流环，
负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：
1
（1）从图示位置起转过 转的时间内负载电阻R上产生的热量；
4
1
（2）从图示位置起转过 转的时间内通过负载电阻R的电荷量；
4
（3）电流表的示数。
1
【解答】解：（1）转速为n，则 ＝2 n；s= r2
2
ω π π
最大感应电动势E ＝BS ，
m
ω1
E
Q＝（ m）2 1 n π4B2r4n；
√2 × × =
R 4 8R
1 πr2
（2）转 圈时磁通量的变化量为 ＝BS＝B ；
4 2
Φ
T 1
所用的时间t= = ；
4 4n
△Φ
则平均电动势E= =2n Br2；
△t
π
2nπBr2 1 Bπr2
电量Q=It= × = ；
R 4n 2R
（3）则因只有一半区域内有磁场，由有效值的计算公式可得：
E2 （E ）2 1 T
T= m × ×
R √2 R 2
E Bπ2r2n
解得有效值E= m= ；
2 2
E π2Bnr2
则电路中电流I= = ；
R 2R
π2Bnr2
电流表示数为I=
2R
1 π4B2r4n
答：（1）从图示位置起转过 转的时间内负载电阻R上产生的热量为
4 8R
1 Bπr2
（2）从图示位置起转过 转的时间内通过负载电阻R的电荷量为
4 2R
π2Bnr2
（3）电流表的示数为
2R
