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人教A版数学--高考解析几何复习专题二
知识点一 椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题,椭圆中的定值问题
典例1、已知焦点在x轴的椭圆C： 离心率e= ，A是左顶点，E（2，
0）
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面
积的最大值
随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点 ，且经过点 ．
（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点 ，求 的面积的最大值．典例2、已知椭圆 的左右焦点为 ，且 ，直线 过 且与
椭圆 相交于 两点，当 是线段 的中点时， ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当线段 的中点 不在 轴上时，设线段 的中垂线与 轴交于点 ，与 轴交
于点 为椭圆的中心，记 的面积为 的面积为 ，当 取得最大值
时，求直线 的方程．
随堂练习：已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ， 为
坐标原点，
（1）若 的面积为 ，求椭圆 的标准方程：
（2）过点 作斜率 的直线 交椭圆 于不同两点 ， ，点 在椭圆的内部，
在椭圆上存在点 ，使 ，记四边形 的面积为 ，求 的最大值.
典例3、已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当椭圆 和圆 ： .过点 作直线 和 ，且两直线的斜率之积
等于 ， 与圆 相切于点 ， 与椭圆相交于不同的两点 ， ．
（i）求 的取值范围； （ii）求 面积的最大值．随堂练习：已知椭圆 的左，右顶点分别为A，B，直线 交椭圆C于P，Q
两点，直线 与
x轴不平行，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，已知 .
（1）求证：直线 恒过定点；（2）设 和 的面积分别为 ，求 的
最大值.
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例4、已知 ， 是椭圆E： 上的两点．
（1）求椭圆E的方程．
（2）若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径
的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，
请说明理由．随堂练习：已知椭圆 过点B（0，1），A为其左顶点，且直线AB的
斜率为 .
（1）求E的方程；（2）不经过B点的直线l与E相交于C，D两点，若两直线BC，BD
的斜率之和为 ，求直线l所过的定点.典例5、已知椭圆 经过点 和点 ．
（1）求椭圆 的标准方程和离心率；
（2）若 、 为椭圆 上异于点 的两点，且点 在以 为直径的圆上，求证：直线
恒过定点．
随堂练习：已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交
于A，B两点，使得 为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请
说明理由.典例6、已知椭圆 过点 ，椭圆的左、右顶点分别为 ，点P
坐标为 ， 成等差数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若对斜率存在的任意直线l与椭圆恒有M，N两个交点，且 ．证明：直
线l过定点．
随堂练习：已知椭圆 ： 过点 ，且点A到椭圆 的右顶点的
距离为 .
（1）求椭圆 的方程；（2）已知 为坐标原点，直线 ： 与 交于M，N两点，记线段MN
的中点为P，连接OP并延长交 于点Q，直线 交射线OP于点R，且
，求证；直线 过定点.
人教A版数学--高考解析几何复习专题二
典例1、答案：（1） （2）
解:（1）∵ ∴ ，a=4， 椭圆的标准方程为
；
（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得 ，
设P ，Q ，则∴三角形APQ面积为： ，
令
∵函数y=x+ 在 上单调递增
∴当u= ，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值 .
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为椭圆的焦点为 且过 ，所以
所以 ， ，所以椭圆方程为： ；
（2）因为 ，
因为 ，所以 ，此时P点位于短轴端点处
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）由于 ，所以 ，则右焦点的坐标为 ，
当 时，代入椭圆方程为 ，故当 是线段 的中点时，此时 轴，
故 ，又 ，联立即可求解
解得 ， ， ， 椭圆 的标准方程： ；（2）由线段 的中点 不在 轴上可知直线 有斜率且不为0，
设过椭圆 的右焦点的直线 的方程为 ， ， 设 ， ， ，
，
联立 整理得： ，
由韦达定理得 ， ． ．
为线段 的中点，则可得点 ，．
，
又直线 的斜率为 ，直线 的方程为： ．
令 得， ，故 令 得， ,故
因此
,
, 故令 ， 故 ，记 ，
故当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故当 时， 取最大值 ，故此时 取最大值 ，
此时 ， 此时直线 的方程为
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1） ，∴ ， ， ，又 ，
解得 ，所以椭圆 的标准方程为： .
（2） ，∴ ，椭圆 ，
令 ，直线l的方程为： ，
联立方程组： ， 消去y得 ，
由韦达定理得 ， ， 有 ，
因为： ，所以 ， ，将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ，
而此时： . ，
而 ， O点到直线l的距离
，
所以： ，
因为点P在椭圆内部，所以 ，得 ， 又 ，所以
，当 ，即 时等号成立. 所以 的最大
值是 .
典例3、答案： （1） （2）（i） ；（ii）
解：（1）由题意， ，解得 ， ， ，所以椭圆的标准方
程为 .
（2）（i）由题意，两直线 、 的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，设 的斜率为 ，则 的斜率为 ， 则直线 的方程为 ，即
，
直线 的方程为 ，即 ，
与圆 相切于点 ， ，化简得 ，
由 得， ，
，化简得， ，
由 得， ，代入上式化简得， ，
解得 ， 又 ，则 ，得 ，
所以 的取值范围是 .
（ii）设 ， ，
由（1）可知 ， ， ，
又 ， 又原点 到直线 的距
离 ，面积
，
设 ，则 ，由 以及 得 ，
所以当 时， 面积取最大值 . 所以 面积的最大值是 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）依题意， ，设 ，
直线 方程为 ，由 消去x并整理得：
， ，则 ，
因 在椭圆上，有 ，直线BP斜率 ，有
，
则 ，即 ， 而，
解得 ，此时 ，直线 ： 恒过点 ，所以直线 恒过定点
.
由（1）知， ，令 ，
，
则
，
令 ，函数 在 上单调递增，则当 时，
取得最小值 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 .典例4、答案： （1） （2）定点 ，理由见解析.
解：（1）将 ， 代入椭圆方程可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 ；
（2）若直线 的斜率不存在，设直线方程为 ，由题可得 为等腰直角三角
形，
则可将 代入椭圆 ，解得 （舍去）或 ，即直线方程
为 ；
若直线 的斜率存在，设方程为 ，设 ，
联立方程 ，可得 ，
则 ，可得 ，
①， ②，
由题可得 ，则 ，即 ，代入①②，整理可得 ，解得 或 ，
若 ，直线为 ，经过点 ,不符合，
若 ，直线为 ，经过定点 ，
综上所述，直线l过定点 .
随堂练习：答案： （1） ； （2） .
解：（1）由题意，直线AB为 ，即 ，故当 时 ，
所以 ，椭圆 过 ，则 ， 所以椭圆E为 .
（2）设直线BC与直线BD的斜率分别为 ， .
若直线l与x轴垂直，设直线 ， 且 ， 可得C，D分别为 ，
，
则 ，得 ，不符合题设. 从而可设直线
.
将 代入 得： .
由题意 . 设 ， ，则 ，.
而 .
所以 ，即 ，解得 或
（舍去）.
当且仅当 时 ，于是直线 ，即 ，
所以直线l过定点 .
典例5、答案：（1）椭圆 的标准方程为 ，离心率为 （2）证明见解
析
解：（1）将点 、 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，则
，
所以，椭圆 的标准方程为 ，离心率为 .
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、
，
联立 可得 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，同理可得 ，
由已知 ，则
，
所以， ，即 ，解得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ，不合乎题
意；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，合乎题
意；
②当直线 轴，则点 、 关于 轴对称，所以， ， ，即点
，
由已知 可得 ， ， ，由已知
，
则 ，所以， ，因为
，解得 ，此时直线 的方程为 ，则直线 过点 . 综上所述，直线 过定点
.
随堂练习：答案：（1） （2）存在，
解：（1） ， ，椭圆 ，将 代入可得
，故 ，
椭圆方程为： ；
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，
，
联立方程可得： ，
， ，
为常数，代入韦达定理可知 ，即 为常数，
，故
且 ，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验 也成立，故存在定点 .
典例6、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意知： ， ， 成等差数列．
可得：
解得： 又 ， ，解得： 故椭圆标准方程为：
（2）设直线方程为
联立 ，化简得：可得： ， ，
则有：
可得： 解得： 或 故直线方程为：
或
所以直线恒过点 或
又因为直线l与椭圆恒有两个交点，故易知定点必在椭圆内，故直线l恒过点
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意得， ，解得 或 （舍去）， 则椭圆
的方程为
将 代入 ： 得， ，解得 ， 则椭圆 的方程为
.（2）设 ， ， ： ，
联立 ，得 ，
由 得 ，∴ ，∴ .
由斜率公式可知 ，∴ ： ，∴ .
联立 ，得 ，即 .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，此时满足 ，
则直线 为： ，则直线 过定点 .
